兩種基因類型的丙肝傳染病混合模型的動(dòng)力學(xué)分析

董亞麗，喬志琴

(中北大學(xué)理學(xué)院，山西太原 030051)

兩種基因類型的丙肝傳染病混合模型的動(dòng)力學(xué)分析

董亞麗，喬志琴

(中北大學(xué)理學(xué)院，山西太原 030051)

鑒于中國(guó)丙肝患者中所含基因類型主要分為2種，且在臨床上有急性和慢性之分，為了更好的研究基因類型對(duì)丙肝的影響，針對(duì)急性和慢性2種基因類型丙肝進(jìn)行生物數(shù)學(xué)建模，分析討論其相應(yīng)平衡態(tài)的存在性及穩(wěn)定性。結(jié)果表明，基本再生數(shù)較大的丙肝會(huì)長(zhǎng)期存在，而基本再生數(shù)較小的丙肝會(huì)逐漸消亡，當(dāng)且僅當(dāng)基本再生數(shù)相等時(shí)，2種基因類型的丙肝才可能共存。數(shù)值模擬分析驗(yàn)證了該結(jié)果的正確性。因此，對(duì)不同基因類型的患者進(jìn)行分類治療是必要的。

穩(wěn)定性理論；丙肝；基因類型；急性感染；慢性感染；基本再生數(shù)

丙肝是由丙型肝炎病毒感染所引起的疾病，其傳染性很強(qiáng)，一旦感染很難治愈，且極易轉(zhuǎn)為慢性肝炎并發(fā)生肝硬化，甚至誘發(fā)肝癌。 臨床上將丙肝分為急性和慢性2種[1-2]，兩者的早期癥狀均不明顯，很容易被忽視。國(guó)內(nèi)外至今也沒(méi)有可以有效預(yù)防丙肝的疫苗和治療方案[3-4]，所以對(duì)丙肝的病理傳播性態(tài)進(jìn)行研究具有重要意義。

很多文獻(xiàn)已經(jīng)通過(guò)建立傳染病模型對(duì)丙肝進(jìn)行研究，如文獻(xiàn)[5]考慮了人口變化這一因素， 并且引入慢性感染，建立了一個(gè)SIS模型；文獻(xiàn)[6]通過(guò)建立SIR模型來(lái)研究注射毒品者這一特殊群體之間的丙肝傳染情況；文獻(xiàn)[7-8]在考慮免疫力減弱的情況下，恢復(fù)者再次成為易感者，建立SIRS模型；文獻(xiàn)[9]指出有效治療在一定程度上可以阻止丙肝繼續(xù)傳播及再次感染；文獻(xiàn)[10]分析了抗病毒治療的重要性；文獻(xiàn)[11]考慮了丙肝的再次感染會(huì)產(chǎn)生后向分支；文獻(xiàn)[12]研究了滲流理論在多個(gè)染病階段的疾病傳播中的作用。

可以看出，以上模型都屬于單一基因類型的丙肝傳染病模型，事實(shí)上，文獻(xiàn)[13-14]中指出：目前丙肝有6種基因型(1-6)和11種基因亞型(1a-c, 2a-c, 3a-b, 4a, 5a, 6a)，不同基因型或亞型感染的地理分布，抗病毒治療的效果及疾病嚴(yán)重程度等均存在差異。中國(guó)南方沿海城市丙肝病毒基因型主要以1b型為主，占90%以上，而北方城市其他基因型主要以2a型為主，占總數(shù)的46%～70%，因此考慮含有不同基因類型的丙肝模型更具有實(shí)際意義。

本研究以中國(guó)總?cè)丝谧鳛檠芯繉?duì)象，在急慢性分類的情況下考慮2種基因類型(1b與2a)的丙肝感染者，將總?cè)巳篘分為易感者S，1b型急性感染者P1，1b型慢性感染I1，2a急性感染者P2，2a型慢性感染者I2，恢復(fù)者R， 建立的倉(cāng)室圖如圖1所示。

圖1 倉(cāng)室圖Fig.1 Schematic diagram of the classification

其對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型為

(1)

1 邊界平衡點(diǎn)及共存平衡點(diǎn)

1.1 無(wú)病平衡點(diǎn)分析

定理2 當(dāng)01或R2>1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)E0不穩(wěn)定。

證明 模型(1)在E0處的雅克比矩陣如下：

顯然，有2個(gè)相同的特征值，為-μ<0,而其他4個(gè)特征根滿足方程：

[λ2+Bλ+C][λ2+Dλ+E]=0,

其中：

C=(μ+ε1+σ1)(μ+α1)(1-R1),

E=(μ+ε2+σ2)(μ+α2)(1-R2)。

1)當(dāng)R1>1時(shí)，顯然有C<0，則E0不穩(wěn)定。

2)當(dāng)R2>1時(shí)，顯然有E<0，則E0不穩(wěn)定。

3)當(dāng)00,E>0,

(μ+ε1+σ1)(1-R1)>0，

(μ+ε2+σ2)(1-R2)>0，

則E0局部漸近穩(wěn)定。

定理3 當(dāng)0

證明 構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

則V沿系統(tǒng)(1)關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為

(μ+ε1+σ1)(μ+α1)(R1-1)P1+

(μ+ε2+σ2)(μ+α2)(R2-1)P2,

顯然，當(dāng)0

1.2 單基因平衡點(diǎn)分析

考慮模型(1)的單基因平衡點(diǎn)，當(dāng)R1>1時(shí)，存在平衡點(diǎn)E1；當(dāng)R2>1時(shí)，存在平衡點(diǎn)E2。

定理4 當(dāng)R1>1且R1>R2時(shí)，平衡點(diǎn)E1局部漸近穩(wěn)定；當(dāng)R1>1且R11且R2>R1，平衡點(diǎn)E2局部漸近穩(wěn)定；當(dāng)R2>1且R2

證明 模型(1)在E1處的雅克比矩陣如下：

顯然，其對(duì)應(yīng)的特征值有1個(gè)為-μ<0, 其他5個(gè)特征根滿足方程：

[λ2+a1λ+a2][λ3+a3λ2+a4λ+a5]=0,

其中：

a5=μ(μ+ε1+σ1)(μ+α1)(R1-1)。

1)當(dāng)R1>1且R1

2)當(dāng)R1>1且R1>R2時(shí)，

a2>0,

a4>μ(2μ+α1+σ1+ε1)-

a3a4-a5>

(2μ+α1+σ1+ε1+μ)(μ(2μ+α1+σ1+ε1))-

(μ(μ+ε1+σ1)(μ+α1))>

μ(μ+α1)(μ+ε1+σ1)-Λβ1(μ+α1+ε1v1)>0。

由Routh-Hurwitz判據(jù)可知：當(dāng)R1>1且R1>R2時(shí)，方程的根均具有負(fù)實(shí)部，E1局部漸近穩(wěn)定。

根據(jù)對(duì)稱性可知：當(dāng)R2>1且R2>R1時(shí)，E2局部漸近穩(wěn)定；當(dāng)R2>1且R2

定理5 當(dāng)R1>1且R1>R2時(shí)，E1全局穩(wěn)定； 當(dāng)R2>1且R2>R1時(shí)，E2全局穩(wěn)定。

證明 構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

則V沿系統(tǒng)(1)關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為

μS*-β1(P1+v1I1)S-

β2(P2+v2I2)S-μS]+

[β2(P2+v2I2)S-(ε2+σ2+μ)P2]+

由于算數(shù)平均數(shù)大于等于幾何平均數(shù)，故

1.3 共存平衡點(diǎn)分析

此情況為經(jīng)典的SIR模型，此處不再討論。

2 數(shù)值模擬

首先，選取如下參數(shù)得到圖2 a)，Λ=5,μ=0.09,β1=0.05,β2=0.03,α1=0.5,α2=0.6,ε1=0.2,ε2=0.25,v1=0.9,v2=0.91,σ1=0.7,σ2=0.6，直接計(jì)算得R1=3.661 9,R2=2.357 6，當(dāng)t→∞時(shí)，系統(tǒng)(1)的解(S(t),P1(t),P2(t),I1(t),I2(t),R(t))→(15.171 2,3.671 3,0,1.244 5,0,35.469 0)，此時(shí)R1和R2滿足條件R1>1,R2>1且R1>R2,從圖2 a)中可以看出，S,P1,I1,R最終趨于穩(wěn)定，而P2和I2最終趨于0，即E1是全局穩(wěn)定的。

其次，選取如下參數(shù)得到圖2 b)，Λ=5,μ=0.09,β1=0.05,β2=0.007 888,α1=0.5,α2=0.5,ε1=0.2,ε2=0.2,v1=0.9,v2=1.1,σ1=0.7,σ2=0.4,經(jīng)計(jì)算得R1=3.661 9,R2=1,當(dāng)t→∞時(shí)，系統(tǒng)(1)的解(S(t),P1(t),P2(t),I1(t),I2(t),R(t))→(15.171 2,3.671 3,0,1.244 5,0,35.469 0),此時(shí)R1和R2滿足條件R1>1,R2=1,觀察圖2 b)可以發(fā)現(xiàn)，S,P1,I1,R最終趨于穩(wěn)定，而P2和I2最終趨于0，即E1是全局穩(wěn)定的。

再次，選取如下參數(shù)得到圖2 c)，Λ=5,μ=0.09,β1=0.05,β2=0.008,α1=0.5,α2=0.52,ε1=0.2,ε2=0.3,v1=0.9,v2=0.85,σ1=0.7,σ2=0.58,經(jīng)計(jì)算得R1=3.661 9,R2=0.649 7,當(dāng)t→∞時(shí)，系統(tǒng)(1)的解(S(t),P1(t),P2(t),I1(t),I2(t),R(t))→(15.171 2,3.671 3,0,1.244 5,0,35.469 0),此時(shí)R1和R2滿足條件R1>1,0

綜合考慮圖2可得，當(dāng)R1>1且R1>R2時(shí)，E1是全局穩(wěn)定的。由對(duì)稱性可知，當(dāng)R2>1且R2>R1時(shí)，E2是全局穩(wěn)定的。

圖2 當(dāng)R1>1且R1>R2時(shí)，E1是全局穩(wěn)定的Fig.2 When R1>1 and R1>R2, E1is globally stable

筆者選取如下參數(shù)得到圖3，Λ=5,μ=0.08,β1=0.073 95,β2=0.050 625,α1=0.5,α2=0.22,ε1=0.2,ε2=0.5,v1=1.1,v2=1,σ1=0.4,σ2=0.32,經(jīng)計(jì)算得R1=9.375,R2=9.375,此時(shí)R1和R2滿足條件R1=R2>1，觀察圖3可以發(fā)現(xiàn)，S,P1,I1,P2,I2,R最終均趨于穩(wěn)定，即2種基因類型的丙肝共存。

圖3 當(dāng)R1=R2>1時(shí)，1b型和2a型丙肝均流行Fig.3 When R1=R2>1, the types of 1b and 2a all exist

3 結(jié) 論

本文建立了一個(gè)含有2種基因類型的丙肝傳染病模型，通過(guò)研究各平衡態(tài)(無(wú)病平衡點(diǎn)、單基因平衡點(diǎn)、共存平衡點(diǎn))的存在性和穩(wěn)定性，得出以下結(jié)論：不同類型的疾病是否可以共存取決于其基本再生數(shù)，具有較大基本再生數(shù)的疾病會(huì)長(zhǎng)期存在， 而具有較小基本再生數(shù)的疾病會(huì)逐漸消亡，當(dāng)且僅當(dāng)兩者的基本再生數(shù)相等時(shí)，2種疾病才可能共存。由此可見，基本再生數(shù)是判斷疾病是否傳播的重要參量，醫(yī)學(xué)上對(duì)于不同基因類型的患者進(jìn)行分類治療很有必要。

筆者將本文討論結(jié)果總結(jié)為圖4，其中A區(qū)域滿足條件：R1>1且R1>R2，此時(shí)1b型丙肝將一直存在，2a型丙肝將逐漸消亡。B區(qū)域滿足條件：R2>1且R2>R1，此時(shí)2a型丙肝將一直存在，1b型丙肝將逐漸消亡。C區(qū)域滿足條件：0

圖4 2種基因類型的丙肝存在區(qū)域Fig.4 Existence of the two types of HCV

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Dynamic analysis of mixture model about Hepatitis C Virus with two genetic types

DONG Yali, QIAO Zhiqin

(School of Science, North University of China, Taiyuan, Shanxi 030051， China)

There are two clinical types of acute and chronic stages and two main genetic types of Hepatitis C Virus(HCV) in China. In order to study the effect of genetic of HCV, the mathematical model about the two genetic types of HCV within acute and chronic stages are established, and the corresponding existence and stability of equilibrium are analyzed. The results show that the strain with the larger reproduction number persists for a long time and the other strain dies out; if and only if two strains have the same reproduction number, the coexistence may occur. The correctness of this conclusion is verified by numerical simulation. So it is necessary to classify patients with different genetic types in medicine.

stability theory； Hepatitis C Virus(HCV)； genetic types； acute infection； chronic infection； the basic reproduction number

1008-1534(2017)01-0001-06

2016-10-16;

2016-12-06；責(zé)任編輯：張 軍

國(guó)家自然科學(xué)基金(11401541)；博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金(20111420120006)

董亞麗(1990-)，女，山西朔州人，碩士研究生，主要從事生物數(shù)學(xué)方面的研究。

喬志琴副教授。E-mail:qiaozhiqin@nuc.edu.cn

O175

A

10.7535/hbgykj.2017yx01001

董亞麗，喬志琴.兩種基因類型的丙肝傳染病混合模型的動(dòng)力學(xué)分析[J].河北工業(yè)科技,2017,34(1):1-6. DONG Yali, QIAO Zhiqin.Dynamic analysis of mixture model about Hepatitis C Virus with two genetic types[J].Hebei Journal of Industrial Science and Technology,2017,34(1):1-6.