教學樓緊急疏散問題的數學模型

羅問哲

摘 要：本文針對某高中一教學樓在緊急情況下學生的疏散問題，采用數學建模的思想，在合理的假設下建立了疏散模型，并計算出安全疏散的最短時間，以此達到最短時間最快進行疏散。

關鍵詞：教學樓；緊急疏散；數學模型

中圖分類號：O175文獻標志碼：A文章編號：2095-9214（2016）12-0258-02

一、問題重述

學校人口十分密集而中學生在日常生活中很少遇見應急狀況。當應急情況發(fā)生時，中學生很少能夠保持鎮(zhèn)定。所以我們應該未雨綢繆，提前制定出疏散方案，從而盡可能減少人員損失提高疏散效率。

某高中教學樓一共有三層，每層樓含三個教室，一個廁所，兩個辦公室，通過實際測量，每層樓高4.6米，兩邊各有樓道一個，平面圖如圖1所示。本文針對教學樓的以上特點，提出幾種疏散模型，發(fā)現(xiàn)逃生時間與速度及其他變量的關系，從而指導學生在最短時間內，疏散到安全地帶。

二、模型假設

（1）整棟教學樓共有495名師生，其中所有教室都是滿的，假設每個教室里人數為55人（含一位老師），每個辦公室里無人。

（2）假設每個人的行走能力相同即疏散速度相同，且有序疏散。

（3）人與人之間間距相等，厚度相同。

（4）師生從指定出口（或消防安全出口）到操場指定位置，所用時間為常數。

（5）每位師生均處于清醒狀態(tài)，且疏散過程中沒有摔倒、停留、沿途返回的情況。

三、符號設定

四、問題分析

由假設（3）可知，每個人之間的間距與厚度是相同的，為p+q，假設每一個臺階上有一人向下逃離，且半層樓共用13級臺階，如圖2所示。

根據樓梯臺階測量數據，看計算樓梯水平長

S樓2-h2=62-2.32=5.54米

所以可得

p+q=2×S樓2-h213=2×5.5413≈0.83米.

五、疏散時間模型的建立

（一）合理分流式疏散

由該校的樓層平面圖可知，兩個教室均處于靠右出口的位置。右邊兩個教室都可以從右出口逃生。但學生如果只從一個門出教室必定會造成擁堵，且浪費時間，所以應從每個教室的前后門分流出教室。

假設分別從左邊第一教室的左右門出門人數為k1，k2，如圖3所示。若想要同時完成疏散，則出門時間相同。則從左門與右門疏散的人數k1，k2，滿足下列關系式

k1+k2=55（k1-1）（p-q）=（k2-1）（p-q）+d-d門p+q=0.83d=9d門=1.5（1）

化簡上述關系式，可得

k1-k2=9k1+2=55（2）

上述關系式表明從左門至少應安排9人疏散，這樣才不會浪費時間，解得

k1=32，k2=23

同理可計算出第二、三教室中從左門與右門疏散的人數與第一教室相同。

（二）各樓層疏散模型

通過實測可以知道，一樓各教室門口直接與操場相連。所以每門疏散人員數可相等，所以一樓疏散完全所用時間為

t1=1V人K2-1（p+q）+T（3）

對于二樓的疏散，由實際疏散情況我們可以知道，可分為等待與不等待兩種情況。

等待狀態(tài)模型從右邊第三教室左門的第一人到達右門時，右門的同學還未疏散完畢，即k2>9人時，

t2′=1V人K2-1（p+q）+T（4）

不等待狀態(tài)模型：當k2>9人，

t2″=1V人（2K-1）（p+q）+2S樓V人+T（5）

所以可以得到若d-d門>p+q，就有t2″>t2′，現(xiàn)在可知d-d門=7.5米，而根據文獻可得p+q[0.5，2.5]。所以由此可得只要滿足了k2>9人，則等待條件成立，所以疏散時間最短

t2min=t2′（6）

三樓人員的疏散模型為

T3=t2min+T3min（7）

等待狀態(tài)模型當第三層樓的同學跑到二樓時，發(fā)現(xiàn)二樓的同學還未疏散完畢，等待模型為

T3=t2′+t3′=t2′+1V人+（2K+K1）（p+q）.（8）

將（4）式代入（8）式可得

T3=1V人（4K+2K1-1）（p+q）+2S樓V人+T（9）

等待條件為

2S樓<（2K-1+K1）（p+q）.（10）

不等待狀態(tài)模型即三樓同學可以順利通暢地跑到安全位置。

所以不等待狀態(tài)模型為：

T3=t2′+t3″=t2′+1V人（2K+K1-1）（p+q）+2S樓V人（11）

將（4）式代入（11）式可得

T3=1V人（4K+2K1-2）（p+q）+4S樓V人+T（12）

不等待狀態(tài)模型的成立條件為：

2S樓（2K-1+K1）（p+q）（13）

以上分流方式為較為合理的分流方式，但還可以進行優(yōu)化。

（三）疏散模型的優(yōu)化

由于p+q與V人為變量。對（p+q）∈[1.0，2.5]上取出5個數值進行計算，得到各自對應的速度v。其結果如下表：

從而得到p+q與V人為一次函數關系，所以無法通過調整數值大小進行優(yōu)化，所以為2分56秒。

為了更加節(jié)省時間，假設樓道上同時方便3人行走，為了方便奔走，人與人之間應留出更多的空間，由文獻【1】的啟發(fā)，應該按照下圖“品”字方式進行疏散，如圖4所示。

如上圖所示，我們將每三個人劃分為一個單位，將這樣的模型稱作“品”字模型，必要條件為：

2p+q

實際上，2p+q<2（p+q）=2×0.83=1.66

二、三樓由于樓道寬度不夠，所以只能2人并排行走，但走到了樓梯口由于樓梯口變寬，所以到樓梯口后可由2人并排行走改為“品”字行走模式，由三樓跑到二樓所用時間△t=2S樓V人，二樓到一樓時間同樣為△t。

分別取3個V的值，可計算出疏散時間

T3=1V人+（4K+2K1-2）（p+q）+4S樓3V人+T

由此得出T3=155+5+5=165秒，所以優(yōu)化后時間縮短為2分45秒。

由合理分流模型計算出的時間與“品”字模型計算出的時間比較。在相同的厚度、間距與行走速度下。可得出“品”字模型與分流模型結合可得到最佳疏散方案。

六、合理建議

1、由于學校人口密集，所以每個學校都應該制定出合理的疏散計劃，以便防患于未然，能更加安全地面對緊急情況的發(fā)生。

2、每班的老師應主動組織學生進行疏散，從而使疏散更加有效。

3、每位靠近出口的同學應就近疏散，以減少疏散時間。

4、每位同學到樓梯口時，應主動自覺按照“品字模型進行疏散。

5、每位同學應服從老師的安排、管理，不能慌亂，要有序疏散。

（作者單位：成都棠湖外國語學校）

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