IPOWA算子及其在正態隨機多準則決策中的應用*

任 劍，成鵬飛，周向紅

1.湖南大學 工商管理學院，長沙 410082

2.湖南商學院 湖南省移動電子商務協同創新中心，長沙 410205

3.湖南科技大學 管理學院，湖南 湘潭 411201

IPOWA算子及其在正態隨機多準則決策中的應用*

任 劍1,2，成鵬飛3+，周向紅3

1.湖南大學 工商管理學院，長沙 410082

2.湖南商學院 湖南省移動電子商務協同創新中心，長沙 410205

3.湖南科技大學 管理學院，湖南 湘潭 411201

REN Jian,CHENG Pengfei,ZHOU Xianghong.IPOWA operator and its application in normal stochastic multi-criterion decision-making.Journal of Frontiers of Computer Science and Technology,2017,11(1):155-162.

現實中，很多現象近似服從正態分布。為了解決準則值為正態隨機變量且決策者風險態度不確定的多準則決策問題，提出了一種基于區間可能有序加權平均（interval possible ordered weighted averaging，IPOWA）算子與可能性系數的方法。通過正態隨機變量的線性組合方法，算出各方案的線性加權正態隨機變量。根據正態隨機變量的3σ原則，將線性加權正態隨機變量轉化為隨機區間數。對隨機區間數進行兩兩比較，得到可能度矩陣，利用區間可能有序加權平均算子，集結可能度矩陣中每行元素的值。采用風險態度的可能性系數，計算各方案的綜合評價值，進而確定各方案的最終排序。最后，通過兩個算例的對比分析，表明所提方法具有排序結果穩定，支持信息充分等特點。

多準則決策；正態隨機變量；區間可能有序加權平均算子；可能度矩陣；風險態度的可能性系數

1 引言

正態隨機變量的概率密度函數總體上呈現“兩頭低，中間高”的特征，在數學、物理及工程等領域有著很重要的理論價值和應用價值。中心極限定理指出：大多數獨立同分布的隨機事件，整體上服從正態分布。在實際隨機多準則決策中，若缺乏對準則值隨機性的深入了解以及無法獲取充足決策信息，則隨機準則值的概率或概率密度函數難以確定。此時，可將大多數隨機準則值近似為服從正態分布。由于這種方式在處理隨機不確定性上更具靈活性和實用性，引起眾多學者的關注。

在正態隨機多準則決策領域，主要有以下研究方法：（1）仿真法。劉琳等人采用模糊隨機仿真法得到正態分布區間屬性值的綜合評估值[1]。（2）算子法。王堅強等人提出一種基于方案貼近度與加權連續區間有序加權平均（weighted continuous-intervalargument ordered weighted averaging，WC-OWA）算子的正態隨機多準則決策方法[2]。汪新凡等人定義了正態分布區間數的加權算術平均（weighted arithmetic averaging，WAA）算子、有序加權平均（ordered weighted averaging，OWA）算子和混合加權平均（hybrid weighted averaging，HWA）算子，求解正態分布區間多準則群決策問題[3]。（3）Outranking法。姜廣田等人先后運用PROMETHEE法、隨機占優關系與ELECTREⅢ法求解正態隨機多準則決策問題[4-5]。（4）可能度法。徐改麗等人根據離差最大化原理確定準則權重，利用可能度法對正態分布區間數進行排序[6]。（5）行為決策法。陳振頌等人基于前景均值-方差準則，求解正態三角模糊隨機多屬性決策問題[7]。上述方法大多數結合區間數或模糊數的性質，處理正態分布的準則值，且考慮了準則權重不完全確定或未知情形，較好解決了正態隨機多準則決策問題。然而，對于決策者的風險態度由于情緒、環境等變化可能導致的不確定性，沒有深入探討。

連續型信息集結算子可有效處理正態分布的準則值，且考慮了決策者風險偏好、風險中立、風險規避等類型，在正態隨機多準則決策領域有著很好的應用前景。最常見的是連續區間有序加權平均（continuous-interval-argument ordered weighted averaging, C-OWA）算子及其拓展形式。Yager為了集結區間數，提出C-OWA算子[8]。徐澤水基于此，定義了加權C-OWA（WC-OWA）算子，用來處理兩個以上區間的數據集結[9]。Yager等人定義了（continuous ordered weighted geometric,C-OWG）算子，應用于具有區間乘性偏好關系的決策中[10]。Zarghamia等人提出模糊隨機修正OWA算子進行不確定性多準則決策，并應用于流域管理中[11]。Zhou等人定義了連續泛型OWA算子、加權連續泛型OWA算子、有序加權連續泛型OWA算子、組合連續泛型OWA算子、組合連續泛型丘奎特積分集結（combined continuous generalized Choquet integral aggregation,CC-GCIA）算子，并利用這些拓展的連續泛型OWA算子進行有區間數的群決策[12]。Zeng等人定義了不確定概率有序加權平均距離（uncertain probabilistic ordered weighted averaging distance,UPOWAD）算子，應用于區間多準則群決策問題中[13]。上述算子已經成功應用于區間數決策問題中。鑒于正態隨機變量可近似轉化為區間數，本文定義了區間可能有序加權平均（interval possible ordered weighted averaging，IPOWA）算子，考慮決策者的不同風險偏好類型及其可能性系數，構建相應的正態隨機多準則決策方法，并應用于城市雨澇災害風險承受能力綜合評估問題和多指標電力零售商選擇問題中進行算例分析。

2 正態隨機變量

2.1 正態隨機變量的線性組合方法

定理1[14]若有n個相互獨立的正態隨機變量，則服從正態分布。

定理2[14]若有n個相互獨立的正態隨機變量，則服從正態分布。

2.2 正態隨機變量的3σ原則

在準則值為正態隨機變量的多準則決策中，若決策者無法獲得更多準則的取值信息，則可將正態隨機變量近似為有限區間上服從均勻分布的隨機變量，可用區間數α=[αL,αR]表示這樣的隨機有限區間，滿足下列條件[2]：

3 IPOWA算子

4 風險態度的可能性系數

通常，決策者的風險態度會根據不同的決策情景表現出不確定性。例如：當股市低迷時，大多數中小股民減少股票投資；當股市趨好時，大多數中小股民加大股票投資。因此，引入風險態度的可能性系數。

定義4設α為風險偏好的可能性系數，β為風險中立的可能性系數，γ為風險規避的可能性系數，其中α，β，γ∈[0 ,1]，且α+β+γ=1。

風險態度的可能性系數可以根據歷史數據統計、行為實驗設計、主觀概率估計等方式獲得。

基于風險態度的可能性系數，方案ai的綜合評價值為(i∈M)：

5 IPOWA算子在正態隨機多準則決策中的應用

5.1 問題描述

在某一個多準則決策問題中，設有m個備選方案，記為A={a1,a2,…,am}；n個相互獨立的評價準則，記為C={C1,C2,…,Cn}；W=(w1,w2,…,wn)表示準則權重向量，wj是準則Cj的權重(j∈N)，0≤wj≤1且；正態隨機決策矩陣記為NSDM=(xij)m×n，xi(i∈M)是正態隨機變量集，表示方案ai在準則集C下的優劣表現，xij(i∈M,j∈N)是正態隨機變量，表示方案ai在準則Cj下的優劣表現；確定方案集A的排序。

5.2 決策步驟

步驟1根據正態隨機變量的線性組合方法，利用定理2，求得方案ai在準則集C下的線性加權正態隨機變量yi服從正態分布。

步驟2根據正態隨機變量的3σ原則，利用式（1）和式（2），將線性加權正態隨機變量yi轉化為隨機區間數。

步驟3利用定義2，對隨機區間數αi進行兩兩比較(i∈M)，得到可能度矩陣P=(pij)m×m。

步驟4利用定義3，求得、。

步驟5確定風險態度的可能性系數α、β、γ，利用式（4），計算方案ai的綜合評價值CEV(ai)(i∈M)。

步驟6根據CEV(ai)(i∈M)的大小，對方案集A進行排序。

Table 1 Normal stochastic decision-making matrix表1 正態隨機決策矩陣

6 算例分析

6.1 城市雨澇災害風險承受能力綜合評估的算例分析

近年來，由于極端氣候及我國城市“攤大餅式”建設等原因，導致城市雨澇災害頻發，造成嚴重的財產損失，危及人民生命安全，城市雨澇災害風險承受能力評估已成為亟待破解的新難題。某市水務管理部門決策者對本市3個城市片區A={a1,a2,a3}的雨澇災害風險承受能力進行綜合評估。基于成災模式分析，確定評估雨澇災害風險承受能力的指標體系C= {C1,C2,…,C6}：滲水能力C1、蓄水能力C2、排水能力C3、用水能力C4、救援能力C5、治水能力C6。指標權重向量W=(0.12,0.15,0.18,0.25,0.20,0.10)。正態隨機決策矩陣如表1所示。試評估各城市片區的雨澇災害風險承受能力。

利用定理2，求得方案ai在準則集C下的線性加權正態隨機變量yi(i∈M={1,2,3})如表2所示。

Table 2 Linear weighted normal stochastic variablesyi(i∈M)表2 線性加權正態隨機變量yi(i∈M)

利用式（1）和式（2），將線性加權正態隨機變量yi轉化為隨機區間數αi(i∈M)如表3所示。

Table 3 Stochastic interval numbersαi(i∈M)表3 隨機區間數αi(i∈M)

得到可能度矩陣P=(pij)3×3如表4所示。

Table 4 Possible degree matrixP表4 可能度矩陣P

根據決策者不同的風險偏好進行處理：當決策者為風險偏好型時，取Q1(x)=x12，ω1≈(0.577 4,0.239 1, 0.183 5)；當決策者為風險中立型時，取Q2(x)=x，ω2≈(0.333 3,0.333 3,0.333 3)；當決策者為風險規避型時，取Q3(x)=x2，ω3≈(0.111 1,0.333 3,0.555 6)。

Table 5 Result by interval possible ordered weighted averaging operator表5 區間可能有序加權平均算子的計算結果

Table 5 Result by interval possible ordered weighted averaging operator表5 區間可能有序加權平均算子的計算結果

風險偏好型IPOWAQ21 2 3ω1風險中立型IPOWAQ1ω2風險規避型IPOWAQ2ω3p1p2p3 0.408 0 0.785 9 0.502 6 0.342 8 0.722 0 0.435 3 0.259 5 0.638 7 0.348 9

利用本文方法獲得方案ai(i∈M)的排序結果，如表6所示。

Table 6 Ranking result of alternatives by IPOWAoperator表6 IPOWA算子得到的方案排序結果

Table 7 Comprehensive evaluation value表7 綜合評價值

方案集A的排序結果為：。

下面對本算例進行比較分析。

隨機模擬法是最常用的處理隨機變量的方法。文獻[16]提出一種云加權算術平均（cloud weighted arithmetic averaging，CWAA）算子集結云模型，并利用隨機模擬法處理集結云模型。云模型是一種泛型的正態隨機變量。根據類似思路，對表2中的線性加權正態隨機變量yi，以10為增量，隨機模擬10次到1 000次，并計算每回的均值，可得結果如圖1所示。從圖1中不難發現：y1、y2、y3的模擬結果較為穩定，即a2?a3?a1。

Fig.1 Result of stochastic simulation method圖1 隨機模擬法的結果

區間數可能度矩陣的排序向量法是較常用的比較區間數優劣的方法[6]。

可能度矩陣P=(pij)m×m的排序公式為：

利用式（5）可得排序向量K=(k1,k2,…,km)，比較ki(i∈M)的大小可得區間數的排序。

根據上述方法，求得表4中可能度矩陣P的排序向量K=(0.254 7,0.444 3,0.301 0)，并得到方案的排序結果：。

比較隨機模擬法、排序向量法、IPOWA算子法的排序情況，可得以下結論：

（1）三者得到了較一致的排序結果；

（2）隨機模擬法只考慮了決策者風險中立的情形，且沒有指示排序可能性大小的輔助信息；

（3）排序向量法具有指示排序可能性大小的輔助信息，但沒有考慮決策者的風險態度；

（4）IPOWA算子法既有指示排序可能性大小的輔助信息，也考慮了決策者的不同風險態度及其動態變化，另外所得排序結果的離差較大，對方案的區分度較好。

6.2 多指標電力零售商選擇的算例分析

為了更進一步檢驗本文方法的性能，下面利用文獻[5]中的算例數據進行對比分析。

當決策者為風險偏好型時，取Q′1(x)=x13，ω′1≈(0.480 7,0.125 0,0.087 7,0.069 8,0.058 9,0.051 5,0.046 1, 0.041 9,0.038 5)；當決策者為風險中立型時，取Q′2(x)=x,ω′2≈(0.1111,0.1111,0.1111,0.1111,0.1111,0.111 1, 0.111 1,0.111 1,0.111 1)；當決策者為風險規避型時，取Q′3(x)=x3，ω′3≈(0.001 4,0.009 6,0.026 1,0.050 8, 0.083 7,0.124 8,0.174 2,0.231 8,0.297 7)。

利用本文方法獲得方案ai(i∈M)的排序結果為：

（1）若決策者為風險偏好型

（2）若決策者為風險中立型

Table 8 Result by interval possible ordered weighted averaging operator表8 區間可能有序加權平均算子的計算結果

Table 8 Result by interval possible ordered weighted averaging operator表8 區間可能有序加權平均算子的計算結果

風險偏好型IPOWAQ′31 2 3ω′1風險中立型IPOWAQ′1ω′2風險規避型IPOWAQ′3ω′3p′1p′2p′3p′4p′5p′6p′7p′8p′9 0.558 7 0.555 2 0.418 1 0.565 9 0.711 5 0.567 6 0.574 8 0.575 1 0.580 6 0.496 1 0.488 1 0.350 1 0.499 0 0.645 1 0.501 1 0.503 0 0.508 8 0.508 9 0.452 8 0.441 3 0.301 2 0.452 5 0.598 2 0.454 9 0.453 1 0.462 8 0.459 1

（3）若決策者為風險規避型

在各種風險偏好情況下：決策者為風險偏好型和風險中立型時，排序結果完全一致；決策者為風險規避型時，排序結果與前兩種情況總體相近。在a8與a9、a6與a7、a1與a4三對方案上，的優劣順序相同，但三對方案內出現逆序，比較三對方案內兩個方案間的排序可能度，均非常接近0.5，因此三對方案內兩個方案間優劣相當。

當綜合三種情況時，可得方案集排序結果為：

通過本文方法與文獻[5]的排序結果對比可知：兩者排序結果總體相近，本文方法不需要準則閾值等輔助決策信息，計算步驟清晰，過程簡便。在a7與a8、a4與a6、a1與a2三對方案上，的優劣順序相同，但三對方案內出現逆序，比較三對方案內兩個方案間的排序可能度，均非常接近0.5，因此三對方案內兩個方案間優劣相當。

綜上分析，本文方法比傳統方法具有更好的排序結果和分析手段，性能優良。

7 結束語

本文介紹了正態隨機變量的線性組合方法和3σ原則，在分析有序加權平均算子的性質后，定義了IPOWA算子與風險態度的可能性系數，并提出了一種基于IPOWA算子與可能性系數的正態隨機多準則決策方法。最后通過兩個算例的對比分析，顯示本文方法具有以下優點：（1）將OWA算子引入區間數排序的可能度方法中，考慮決策者風險偏好、風險中立、風險規避三種風險態度；（2）引入風險態度的可能性系數，考慮不同決策情景引起決策者風險態度不確定的情形；（3）排序結果穩定性較高，且有更多決策支持信息，如排序可能度，可進行決策結果分析。

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REN Jian was born in 1979.He received the Ph.D.degree in management science and engineering from Central South University in 2010.Now he is an associate professor and M.S.supervisor at Hunan University of Commerce. His research interests include electronic commerce,decision theory and method,etc.

任劍（1979—），男，湖南岳陽人，2010年于中南大學管理科學與工程專業獲得博士學位，目前在湖南大學從事博士后研究工作，湖南商學院副教授、碩士生導師，主要研究領域為電子商務，決策理論與方法等。

CHENG Pengfei was born in 1969.He received the Ph.D.degree in management science and engineering from Central South University in 2008.Now he is a professor and M.S.supervisor at Hunan University of Science and Technology.His research interests include electronic commerce,decision theory and method,etc.

成鵬飛（1969—），男，湖南湘鄉人，2008年于中南大學管理科學與工程專業獲得博士學位，現為湖南科技大學教授、碩士生導師，主要研究領域為電子商務，決策理論與方法等。

ZHOU Xianghong was born in 1981.He received the Ph.D.degree in management science and engineering from Central South University in 2015.Now he is a lecturer at Hunan University of Science and Technology.His research interests include electronic commerce,decision theory and method,etc.

周向紅（1981—），男，湖南新邵人，2015年于中南大學管理科學與工程專業獲得博士學位，現為湖南科技大學講師，主要研究領域為電子商務，決策理論與方法等。

IPOWAOperator and ItsApplication in Normal Stochastic Multi-Criterion Decision-Making*

REN Jian1,2,CHENG Pengfei3+,ZHOU Xianghong3
1.School of Business,Hunan University,Changsha 410082,China
2.Mobile E-business Collaborative Innovation Center of Hunan Province,Hunan University of Commerce,Changsha 410205,China
3.School of Management,Hunan University of Science and Technology,Xiangtan,Hunan 411201,China
+Corresponding author:E-mail:chengpengfei69@126.com

In reality,most of the phenomena can approximately obey the normal distribution.In order to solve multicriterion decision-making problems with normal stochastic criterion evaluations and uncertain risk attitude of decision makers,this paper proposes a method based on interval possible ordered weighted averaging(IPOWA)operatorand possibility coefficients.Firstly,by the linear combination method of normal stochastic variables,the linear weighted normal stochastic variables of alternatives are gotten.Then,according to the3σprinciple of normal stochastic variables,the linear weighted normal stochastic variables are transformed into stochastic interval numbers. Furthermore,through the comparison of stochastic interval numbers,the possible degree matrix is attained.After that,using the IPOWA operator,the items of each row are integrated in the matrix.Accordingly,via the possibility coefficients of risk attitudes,the comprehensive evaluation values of alternatives are calculated.Moreover,the ranking order comes out.Finally,the comparative analysis of two illustrative examples shows the method has some features such as stable ranking result,sufficient support information and so on.

multi-criterion decision-making;normal stochastic variable;interval possible ordered weighted averaging operator;possible degree matrix;possibility coefficient of risk attitude

A

：C934

10.3778/j.issn.1673-9418.1604038

*The National Social Science Foundation of China under Grant No.15BJY163(國家社會科學基金);the Humanities and Social Science Foundation for Youth of Ministry of Education of China under Grant No.13YJCZH145(教育部人文社會科學研究青年基金); the Postdoctoral Science Foundation of China under Grant No.2013M531784(中國博士后科學基金);the Philosophy and Social Science Foundation of Hunan Province under Grant No.15JD21(湖南省哲學社會科學基金);the Major Project of the Social Science Achievement Evaluation Committee of Hunan Province under Grant No.XSP2016040508(湖南省社會科學成果評審委員會重大課題);the Scientific Research Project for the Outstanding Youth of Department of Education of Hunan Province under Grant No. 15B129(湖南省教育廳科學研究優秀青年項目).

Received 2016-04,Accepted 2016-08.

CNKI網絡優先出版:2016-08-15,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20160815.1659.018.html