具有連續(xù)時(shí)滯和功能性反應(yīng)的微分方程的概周期解

嚴(yán)建明

（湖南財(cái)政經(jīng)濟(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 湖南 長沙 410205）

眾所周知,在種群動(dòng)力學(xué)的研究中,種群的持續(xù)生存和滅絕是人們非常關(guān)注的課題. 近年來,對于擴(kuò)散對種群的持續(xù)生存的影響已有不少的結(jié)果,人們通過擴(kuò)散可以挽救絕滅的種群,從而使其保持持續(xù)生存.1965年,Holling在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上,對不同的物種,提出了三種不同的功能性反應(yīng)函數(shù).對具有Holling I、II、III類功能性反應(yīng)的系統(tǒng),許多學(xué)者進(jìn)行了深入研究[1,2].由于概周期現(xiàn)象在實(shí)際問題中經(jīng)常可見,以周期現(xiàn)象作為特例，它是比周期現(xiàn)象更廣泛的現(xiàn)象。對于 Lotka-Volterra系統(tǒng)的概周期解的定性性質(zhì)（概周期解的存在唯一性和一致漸近穩(wěn)定性）的研究工作目前相對還較少[3,4,5,6].而對于同時(shí)具有連續(xù)時(shí)滯、擴(kuò)散、HollingⅡ類功能性反應(yīng)的Lotka-Volterra型競爭系統(tǒng)的研究就更少,本文就研究這種具有連續(xù)時(shí)滯、擴(kuò)散、HollingⅡ類功能性反應(yīng)的非自治競爭模型:

其中 ai( t), bi( t), ci( t), Dij( t)( i = 0,1,… ,n, j = 1,2,… n ) ,α(t )是連續(xù)的嚴(yán)格正的函數(shù).x0和 x1分別表示兩個(gè)競爭種群 X0和 X在斑塊 1中的密度, xj( j = 2 ,3,… ,n )是種群 X在斑塊j中的密度. Dij( t)( i, j = 1 ,2,… ,n )表示種群 X在斑塊之間的擴(kuò)散系數(shù). ki( s)是分段連續(xù)函數(shù),并且

記fL=inf f( t), fM= s up f( t ).本文我們假定方程(1)的系數(shù)滿足下列條件：

為了敘述的方便,我們作如下記號: 記

C+表示定義在[- τ ,0]上具有范數(shù)(其中代表歐幾里德范數(shù))的非負(fù)連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的Banach空間.因此,如果我們選C+為系統(tǒng)(1)的初始函數(shù)空間,易知對且則系統(tǒng)(1)在上存在唯一解 x ( t,φ),且對于有我們稱此解為系統(tǒng)(1)的正解.因此,在本文下面的研究中,我們總假定

對于系統(tǒng) (1),記 x（ t）= x（0,φ ）（t）是過（0,φ）的解,其中初值函數(shù)則 x （ t） 是唯一的,且 x （ t） ＞ 0 ,t ∈ [ 0 ,T ）,這里[0 ,T ） 是系統(tǒng)(1)的解的最大存在區(qū)間,這樣的解叫做系統(tǒng)(1)的正解.系統(tǒng)(1)的系數(shù)是連續(xù)的嚴(yán)格正的概周期函數(shù).

引理1[7]考慮泛函微分方程

及乘積系統(tǒng)

這里 f :R× C→R3連續(xù),對于φ∈C,定義范數(shù)為這里為 R3中的范數(shù).令

這里總是假設(shè)對φ關(guān)于t是一致概周期的,若存在連續(xù)函數(shù)

V:滿足如下條件:

(Ⅰ)其 中 a（ s）,b （ s） ∈ C IP, b （0 ） =0;

(Ⅲ) 存在連續(xù)非減函數(shù) p （ s） ,當(dāng) s ＞ 0 時(shí)，有 p （ s）＞ s,使得當(dāng)

對系統(tǒng)(1)作如下變換則系統(tǒng)（1）可化為如下等價(jià)系統(tǒng)：

定理 設(shè)系統(tǒng)(1)滿足以上給定的條件(2)(3)，且還滿足

證明 考慮系統(tǒng)(1)的乘積系統(tǒng)

定義集合

Ω*可知Ω*是系統(tǒng)(7)的最終正向不變集.則這里的Ω, Ω*如前面所定義.

對于乘積系統(tǒng)(9)在Ω×Ω上的任一解

從而由條件(8)可知存在常數(shù)γ＞0,使得有

由引理 1知，系統(tǒng)(1) 在區(qū)域Ω中存在一致漸近穩(wěn)定的概周期解,進(jìn)而如果系統(tǒng)(1)的右端關(guān)于t是ω-周期的,則系統(tǒng)(1)存在一個(gè)ω-周期解.

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