利用李薩如圖形確定頻率比的一種新方法

魏慧麗，何武光?，王 昭

(1. 湖北工程學院物理與電子信息學院，湖北 孝感 432000；2. 德宏師范高等專科學校，云南 潞西 678400)

利用李薩如圖形確定頻率比的一種新方法

魏慧麗1，何武光1?，王 昭2

(1. 湖北工程學院物理與電子信息學院，湖北 孝感 432000；2. 德宏師范高等專科學校，云南 潞西 678400)

在大學物理教學中分析李薩如圖像時，通常使用傳統的方法，即切點數反比法、或十字交點數反比法確定李薩如圖像水平與豎直方向分振動頻率比。但切點數反比法無法確定有端點的李薩如圖像的頻率比，而十字交點數反比法分析時，學生容易出現較多疑問。而此提出的新的分析方法——單曲線數正比法，其分析過程與分振動物理含義結合緊密，容易理解，應用簡單，對封閉以及有端點的李薩如圖形分析都適用。

李薩如圖形 頻率比 單曲線數正比法

1 引言

在大學物理教學中，示波器在不同頻率比、不同初相位以及不同的初相位差[1,2]等的信號源條件下，呈現出不同的李薩如圖像，如圖1所示。學生根據現有教學中的方法，如切點數反比法，十字交點數反比法等，對李薩如圖像進行分析，確定水平與豎直兩個分振動的頻率比時，存在一些局限和疑問。針對此問題，我們在總結和分析現有方法的基礎上，提出一種新方法——單曲線數正比法，讓學生更容易理解和掌握。

圖1 常見李薩如圖形

2 李薩如圖形頻率比的幾種確定方法

2.1 切點數反比法

對于封閉的李薩如圖形，我們利用切點數反比法可以很順利得到水平與豎直振動的頻率之比。即假設一封閉的李薩如圖像內切一矩形。李薩如圖形與矩形一水平邊切點數記為Nx，與矩形一豎直邊切點數為Ny，則水平振動和豎直振動的頻率之比等于水平邊切點數與豎直邊切點數之反比，表達式為：

但是對于如圖2(b)類似有端點的李薩如圖形，我們無法再利用切點數反比法計算頻率比。在此以水平和豎直振動頻率比為3∶2的兩幅典型李薩如圖形為例，對以上結論做進一步說明。如圖2(a)及(b)所示，李薩如圖形內切于矩形ABCD。對于圖2(a)，封閉李薩如圖形與矩形AB邊切點數為Nx=2，與BC邊切點數為Ny=3，則水平與豎直方向振動頻率之比為：

圖2 切點數反比法確定頻率比

即可驗證封閉李薩如圖形水平與豎直方向振動頻率之比等于水平與豎直切點數的反比。可以簡單解釋如下：封閉李薩如圖形與矩形水平邊AB的切點數表示豎直方向的分振動完全振動次數Nx，與矩形豎直邊BC的切點數代表的是水平方向分振動的全振動次數Ny。以AD邊切點F，G及BC邊切點E為例，在水平方向上，與切點E對應的有兩條單曲線EmF，EnG。在這里，我們所說的單曲線為水平方向或豎直方向兩邊界上，切點與切點或切點與交點之間李薩如圖像中的一段曲線。在AD和BC邊之間的一條單曲線代表李薩如圖形水平方向的一次半周期振動，而單曲線EmF及EnG共同代表水平方向一個來回的全振動，與BC邊的3個切點即代表水平方向三次全振動，與AB邊的2個切點代表豎直方向的兩次全振動。因此，得到結論：水平與豎直方向分振動頻率之比等于水平方向與豎直方向的切點數的反比。

但是，此類結論針對如圖2(b)這類有端點李薩如圖形，并不太好解釋，因為不好確定切點數。因此切點數反比法適合計算封閉的李薩如圖形的頻率比，而不適合有端點的李薩如圖形的頻率比計算。

2.2 十字交點數反比法

十字交點數反比法對于封閉和有端點的李薩如圖像的頻率比計算都適合[3]。在前面所述的方法——切點數反比法的基礎上，此方法需要再分別作一條水平和一條豎直的輔助線，即十字交叉線。假設李薩如圖形的所有單曲線與水平方向的交點數為Nx，與豎直線的交點數為Ny，則水平和豎直方向分振動的頻率之比等于水平與豎直交點數的反比，表達式為：

我們仍然以水平和豎直振動頻率比為3:2的兩幅典型李薩如圖形為例，進行解釋說明。如圖3(a)及(b)所示，分別在圖2(a)及(b)水平和豎直方向上畫兩條線，即十字交叉線OP和MN。先分析圖3(a)圖，李薩如圖形與水平線OP交點數Nx=4，與豎直線MN交點數為Ny=6，因此水平與豎直方向的分振動的頻率之比為：

圖3 十字交點數反比法確定頻率比

再分析圖3(b)，李薩如圖形與OP交點數為Nx=2，與MN交點數為Nx=3，同理可得到水平與豎直方向的分振動頻率之比為：

因此，水平與豎直分振動的頻率之比，等于李薩如圖像的單曲線分別與十字線的水平線、豎直線交點數的反比。十字線交點數反比法適用于所有封閉和有端點的穩定李薩如圖形。可以解釋推論如下：李薩如圖像的單曲線分別與十字線中水平線交點數表示豎直方向的半周期振動次數，與豎直線交點數代表水平振動的半周期振動次數。因此我們可以得到上述結論。這里需要注意的地方是，我們強調的是單曲線（如EmF，EnG）與十字線交點的數目，因此，當十字交叉線經過李薩如自身的交點時，即兩條單曲線的交點與其中一條十字線相交，如圖3(b)李薩如圖與虛線HQ的一個交點K，此處交點數應記為2。

但是，在大學物理教學中用十字線交點數反比法講解，會有如下弊端：

（1）學生容易將李薩如圖像的單曲線與十字線的交點數目，理解為李薩如圖像與十字線的交點數目。即三線交于一點時容易出錯，如圖3(b)中K點。另外，當十字線處于切點處的交點也容易忽略，如圖3(b)中Q點；

（2）利用這種方法講解，學生的重點放在數交點的數目上，而非重點理解交點數目及數目比值所表示物理含義，因此即使得到錯誤的結論，也很少覺察錯誤的結果；

（3）這種方法需要作輔助線，有時李薩如圖形中的線條本身就比較密集，再作輔助線使得圖像更為復雜。

（4）學生在分析Nx與Ny兩個數據前后以及成反比時容易弄反，而導致結果錯誤。

基如此，我們提出了第三種方法——單曲線數正比法，見以下內容分析。

2.3 單曲線數正比法

單曲線數正比法對于封閉和有端點的李薩如圖形都適用。大學物理教學中所介紹的李薩如圖形，幾乎都可以內切于一個矩形。從水平方向，我們只需要計從矩形最左邊AD起始點（切點或交點處）到最右邊BC相應的切點或交點處截止的所有單曲線數Nx，從矩形最上邊AB邊起始點（即與AB的切點或交點處）到最下邊DC相應切點或交點截止的所有單曲線數Ny，則水平與豎直振動頻率比等于相應水平與豎直單曲線數之比，表達式為：

仍以頻率比為3:2的李薩如圖形為例，如圖4(a)及(b)所示，李薩如圖形與AD邊切點為E、F、G，與BC邊切點為H、I、J，則在水平方向上的單曲線數6條，分別為Em3I, Em4J, Fm1H, Fm6J, Gm2H, Gm5I。可解釋如下：每條單曲線表示這個方向的半周期振動，單曲線數為6，則表示水平分振動的半周期振動的次數為6。同理，在同一時間里，豎直方向的半周期振動次數為4。又半周期數之比等于整周期數之比，因此，水平與豎直方向振動的頻率之比為：

圖4 單曲線數正比法確定頻率比

因此，水平和豎直分振動的頻率之比等于水平與豎直方向單曲線數之比。此方法對封閉和有端點李薩如圖像計算兩分振動的頻率比都適用。相對于前兩種方法，單曲線數正比法對于學生而言直觀，簡單，更容易理解其物理含義，甚至可以不用畫任何輔助線（圖4中的輔助線只為輔助說明分析），并且不容易出錯，特別是頻率之比等于相應方向有限長單曲線數目之比，而不是反比，大大提高學生分析正確率。

3 結論

現在大學教改正在如火如荼展開中，所學的內容增多，有些課時不得不進行大幅壓縮，大學物理的教學課時同樣如此，甚至是課時量對半減少。那么，如何在更少的課時，有效的傳授一些知識方法，不僅需要老師在備課中對教學內容深入的鉆研和仔細的甄選，同時，也要對教學的方法做進一步思考。而此方法針對相關內容的講解，大大提高老師和學生教學過程中的成效性。因此，單曲線數正比法分析李薩如圖形的頻率比在課堂上推廣講解有一定積極意義。

[1] 張學文. 初相位對李薩如圖形的影響分析. 湖北師范學院學報(自然科學版)[J]. 2000,20（1）: 56-60.

[2] 吉莉，劉景旺，孫光東. 用Excel測試李薩如圖形實驗得出的新結論. 現代物理知識[J]. 2005, 17（2）：50-52 .

[3] 楊繼先. 李薩如圖形的性質研究. 西華大學學報(自然科學版)[J]. 2008, 27（6），98-100.

O321

：A

：1003-7551(2016)02-0029-04

2016-05-19

湖北省教育廳科學技術研究項目（B2015031）

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