一類上三角矩陣的計(jì)算研究

何超林，于媛，朱桂靜

（華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東廣州510631）

一類上三角矩陣的計(jì)算研究

何超林，于媛，朱桂靜

（華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東廣州510631）

針對(duì)一類特殊的上三角矩陣，主要對(duì)其兩種特殊形式下的矩陣與分塊矩陣進(jìn)行了分析及其應(yīng)用研究，得到了矩陣Tn的幾個(gè)性質(zhì)和分塊循環(huán)矩陣Bm，k行列式的一種低階計(jì)算公式及其相關(guān)的若干性質(zhì).

三角矩陣；分塊矩陣；行列式；極限

上三角矩陣是矩陣論里面非常重要的一類矩陣，具有良好的性質(zhì)，比如若爾當(dāng)塊或史密斯標(biāo)準(zhǔn)型矩陣.作為計(jì)算算子，更是有其獨(dú)特的作用.文獻(xiàn)[1-2]對(duì)整數(shù)環(huán)上的單位上三角矩陣群及其子群結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究.文獻(xiàn)[3-5]給出了范德蒙行列式的多種推廣及其行列式計(jì)算.文獻(xiàn)[6-8]對(duì)循環(huán)矩陣進(jìn)行了推廣和對(duì)其正交性、求逆、特征值與特征向量等問(wèn)題進(jìn)行了研究.本文對(duì)文獻(xiàn)[1-2]的單位上三角矩陣群的另外一種特殊形式下的上三角矩陣群的矩陣進(jìn)行了兩種特殊形式下的分析探究，并借助文獻(xiàn)[3-5]的范德蒙行列式的推廣計(jì)算著重對(duì)分塊循環(huán)矩陣的行列式計(jì)算及其矩陣序列的斂散性進(jìn)行了研究.

1 預(yù)備知識(shí)

特別地，當(dāng)a1＝d（），d（）為關(guān)于的首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式，aj＝0，j=2，3，…，n，則Tn為史密斯標(biāo)準(zhǔn)型的矩陣；當(dāng)a1＝，a2＝1，aj＝0，j＝3，4，…，n時(shí)，J＝Tn為n階若爾當(dāng)塊.對(duì)于，容易發(fā)現(xiàn)有.

定義2設(shè)B1，B2，…，Bm為k∈N+階方陣，稱矩陣為關(guān)于｛Bi｝，i＝1，2，…，m，m∈N+的分塊循環(huán)矩陣，簡(jiǎn)記為Bm，k.

定理1[9]（凱萊-哈密頓定理）設(shè)A是n階矩陣，f（）是A的特征多項(xiàng)式，則f（A）＝O.

定理2[3]準(zhǔn)Vandermonde行列式計(jì)算，A（jj＝1，2，3，…，n）為非O的可交換k∈N+階矩陣，E為k∈N+階單位方陣，則

2 主要定理

定理3設(shè)矩陣Tn，aj為任一實(shí)數(shù)，j＝1，2，…，n，則（Tn－a1I）n＝O.特別的，a1＝0，aj∈R時(shí)，（Tn）n＝O.

證明：由Tn的定義，易知Tn的特征多項(xiàng)式為：，所以由定理1可得：f（Tn）＝（Tn－a1I）n＝O.其中a1＝0時(shí)，f（Tn）＝（Tn）n＝O，證畢.

定理4設(shè)矩陣Tn，，則有?x，y∈R，有

由于j，t的任意性，所以?j，t∈N+，有

由定理4易得如下的結(jié)論：

特別地，（Tn（x））r＝Tn（rx）.

證明：由G易知：

所以G存在單位元.又?x∈R，Tn（x）∈G，?Tn（－x）∈G，使得Tn（x）·Tn（－x）＝Tn（0），所以G存在逆元.另一方面，由定理4易知G滿足結(jié)合律與交換律，所以（G，·）構(gòu)成一個(gè)交換群，證畢.

則當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)，矩陣序列｛Tn(k)（x）｝收斂且，I為n階單位矩陣.

證明：若x＝0，則Tn（x）＝I，則有，所以矩陣序列收斂.

此類特殊的三角矩陣除了本身的一些性質(zhì)外，在分塊矩陣的行列式計(jì)算以及分塊矩陣的矩陣分析中同樣起到比較好的作用.

定理7設(shè)分塊循環(huán)矩陣Bm，k（m,k∈N+），則

考慮（*）式的右邊的矩陣的第一列，有

同理可得（*）式右邊的矩陣的第j列有

故（*）可化為：

推論7.1設(shè)分塊循環(huán)矩陣Bm，k，若， j＝1，2，…，m則m＝1，.

定理8設(shè)分塊循環(huán)矩陣Bm，k，矩陣V為關(guān)于矩陣Aj（j＝1，2，…，m）的準(zhǔn)范德蒙矩陣，若.則矩陣序列｛（BV）t｝在m≥2且m≠3時(shí)發(fā)散；在m＝3時(shí)，序列收斂，且，其中O為零矩陣，.

當(dāng)j＝m－1時(shí)，有

由推論7.1知j≠m－1時(shí)，f（Aj）＝（0），故lj＝（O，O，…，O）T，j＝1，2，…，m-2，m，則有，其中

當(dāng)m≠3，m≥2時(shí)，

這類特殊的矩陣還有很多性質(zhì)值得我們?nèi)ヌ骄浚貏e是在分塊矩陣的行列式的計(jì)算當(dāng)中的應(yīng)用.

[1]劉合國(guó)，吳佐慧，周芳.單位上三角矩陣群的注記[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2011，54（2）：211-218.

[2]劉合國(guó)，吳佐慧.單位上三角矩陣群的注記（II）[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2012，55（4）：673-688.

[3]齊登記.準(zhǔn)Vandermonde行列式[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2006，29（2）：254-256.

[4]尤蘭，王振.Vandermonde行列式的一類推廣[J].科教文匯，2014（292）：49-50.

[5]陳祥恩，程輝，劉仲奎，等.第三類廣義Vandermonde行列式的計(jì)算[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2012，28（1）：162-164.

[6]何承源.循環(huán)矩陣的一些性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2001，31（2）：211-217.

[7]李天增，王瑜.循環(huán)矩陣的形式及求逆方法[J].四川理工學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009，22（4）：47-50.

[8]姜友誼，劉興洪.二步循環(huán)矩陣的性質(zhì)[J].西南民族大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2005，32：60-62.

[9]方保镕，周繼東，李醫(yī)民.矩陣論[M].北京：清華大學(xué)出版社，2004.

Computation on First-Class Upper Triangular Matrix

HE Chaolin,YU Yuan,ZHU Guijing
（School of Mathematical Sciences,South China Normal University,Guangzhou 510631,Guangdong,China）

Aiming at one particular upper triangular matrix,two particular forms of matrices and block matrices are mainly analyzed and researched.Several characters of matrix Tnand one low-order calculation formula and several related characters on the determinant of block circulant matrix Bm,kare obtained.

triangular matrix;block matrix;determinant;extremity

O151.21

A

1001-4217（2016）04-0024-07

2015-08-06

何超林（1990—），男，廣東廣州，碩士研究生.研究方向?yàn)槌醯葦?shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教學(xué).E-mail：609059099@qq.com