可拉伸梁方程一致緊吸引子的存在性

王素萍，邵旭馗

（隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅慶陽745000）

可拉伸梁方程一致緊吸引子的存在性

王素萍，邵旭馗

（隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅慶陽745000）

考慮了當(dāng)外力項h滿足條件C*（而非平移緊時），利用一致條件（C）證明了非自治可拉伸梁方程在強(qiáng)拓?fù)淇臻gD（A）×V中一致緊吸引子的存在性.

可拉伸梁方程；一致條件（C）；條件C*；一致吸引子

0 引言

假設(shè)Ω?R2是具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域.本文將討論并詳細(xì)證明下面非自治的非線性梁方程

一致吸引子的存在性.其中α，β，γ，k均為正常數(shù)，h（x，t）和g（u）是外力項.若γ＝0，g（u）＝0且h（x，t）≡0，方程（1）由Woinowsky-Krieger在1950年提出，u（x，t）描述了可拉伸梁的橫向偏斜.1973年，Ball[1]在文中討論了這類問題解的存在性，唯一性，正則性及古典解的存在性，隨后作者在文獻(xiàn)[2]中利用拓?fù)浞椒鞍肴旱娜踹B續(xù)性又獲得了這類方程解的存在性及漸進(jìn)性.而文獻(xiàn)[3]給出了梁方程指數(shù)吸引子的存在性，文獻(xiàn)[4-5]獲得了梁方程在強(qiáng)拓?fù)淇臻g中全局吸引子的存在性，文獻(xiàn)[6]證明了可拉伸梁方程在弱拓?fù)淇臻gE0＝V×H中的一致吸引子的存在性.類似問題的研究可參考文獻(xiàn)[7-13].本文利用一致條件（C）證明方程（1）在強(qiáng)拓?fù)淇臻gE1＝D（A）×V中一致緊吸引子的存在性.

1 預(yù)備知識

假設(shè)非線性函數(shù)g滿足下面條件：存在常數(shù)C1＞0，使得

令H＝L2（Ω），，H和V的內(nèi)積和范數(shù)分別用(·,·)，，它們的內(nèi)積被分別定義為

根據(jù)Poincare不等式，我們有

定義1[7]若∑是一參數(shù)集，，σ∈∑稱作Banach空間E上的過程族，如果是一個過程，即就是雙參數(shù)的映射族從E到 E滿足

定義2[8]過程族滿足一致（關(guān)于σ∈∑）條件（C），如果對任意固定和ε＞0，存在和E的有限維子空間Em，使得

其中dimEm＝m和Pm∶E→Em是一有界投影，記B（E）是E的所有有界子集的集合.

i）T（r）∑＝∑，?r∈R；

定理1[8]在假設(shè)I下，過程族，σ∈∑有緊一致（關(guān)于σ∈∑）吸引子，它滿足，如果它有

i）一致有界吸收集B0；

ii）滿足一致條件（C）.而且，如果E是一致凸的Banach空間，則逆也成立.

引理1[9]如果，則對，則下面的結(jié)論成立

定理2[6]（E0中有界一致吸收集的存在性）假設(shè)（F1）—（F3）成立，如果，則（1）式在E0中有一致吸收集.即就是，存在μ0＞0，對任何有界集B?E0，存在，使得

為方便起見，我們引進(jìn)符號E0＝V×H，E1＝D（A）×V.

2 E1中的一致吸引子

2.1 E1中的一致有界吸收集

定理3假設(shè)（F1）—（F3）成立，如果，則（1）式在E1中有一致吸收集.即就是，存在μ2＞0，對任何有界集B?E1，存在，使得

用Av＝Aut＋εAu乘以（1）式在H中作內(nèi)積

由（4）式，定理2，H?lder不等式及Young不等式，得

根據(jù)（F2），定理2和Sobolev嵌入定理，有g(shù)（u），g′（u）在L∞上一致有界的，即就是，存在常數(shù)K3＞0，使得

結(jié)合（8）-（12），由（7）式得

由ε的任意小，取ε＞0足夠小，使得

并令α－εγ＝δ，則由（13）式可得

根據(jù)（9）可得

即有

因此我們得到E1中的一致吸收集B1.證畢.

2.2 E1中的一致吸引子

引理2[10]設(shè)g∈C2（R，R）且滿足（F2），則g∶D（A）→V是緊連續(xù)的.

其中B1是E1中的一致（關(guān)于h∈H（h0））吸收集.

其中Qn∶D（A）→Gn都是正交投影，對任意的（u，ut）∈E1，作如下分解

取0＜σ0＜1，用Av2＝Au2t＋σAu2與方程（1）相乘，并在H中作內(nèi)積可得

[1]BALL J M.Initial-boundary value problems for an extensible beam[J].J Math Appl，1973，42（1）：61-90.

[2]BALL J M.Stability theory for an extensible beam[J].J Differential Equations，1973，14（3）：339-418.

[3]王素萍，馬巧珍，邵旭馗.梁方程的指數(shù)吸引子[J].西南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2011，33（9）：29-35.

[4]馬巧珍，孫春友，鐘承奎.非線性梁方程強(qiáng)全局吸引子的存在性[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報（A輯），2007，27（5）：941-948.

[5]陳小豹，馬巧珍.非線性可拉伸梁方程強(qiáng)全局吸引子的存在性[J].西北師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)學(xué)報），2008，44（6）：1-6.

[6]李志宇，馬巧珍.非線性可拉伸梁方程的一致吸引子[J].西南師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2012，37（4）：34-38.

[7]CHEPYZHOV V V，VISHIK M I.Attractors for equations of mathematical physics[M].Providence RI：Colloquium Publications American Mathematical Society，2002.

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[9]MAS，ZHONGCK.The attractors for weaklydamped non-autonomous hyperbolic equations with a newclass of external forces[J].Discrete Contin Dyn Syst，2007，18（1）：53-70.

[10]MAQZ，ZHONGCK.Existence ofstrongsolutions and global attractors for the suspension bridge equations [J].Nonlinear Anal，2007，67（2）：442-454.

[11]MAQZ，WANGSP，CHENXB.Uniformcompact attractors for the coupled suspension bridge equations[J]. Appl Math Comput，2011，217（14）：6604-6615.

[12]馬巧珍，鐘承奎.吊橋方程全局吸引子的存在性[J].四川大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2006，42（2）：271-276.

[13]ROBINSONJ C.Infinite-dimensional dynamical systems.An introduction todissipative parabolic PDEs and the theory of global attractors[M].Oxford：Cambridge University Press，2001.

Existence of Uniform Compact Attractors for the Tension Beam Equation

WANG Suping，SHAO Xukui
（School of Mathematical and Statistics,LongdongUniversity,Qingyang745000,Gansu,China）

When forcing term h only satisfies condition（C*）,the existence of uniform compact attractors for the non-autonomous extensible beam equations is proved in a strong topology space E1＝D（A）×V by using the uniform condition（C）.

extensible beam equations;uniform condition（C）;condition（C*）;uniform attractors.

O175.15

A

1001-4217（2016）04-0057-07

2015-12-17

王素萍（1981—），女，甘肅慶陽人，副教授.研究方向：無窮維動力系統(tǒng)及偏微分方程的研究. E-mail：shwangsp@163.com

國家自然科學(xué)基金資助項目（11161402）；甘肅省高等學(xué)校科研項目（2015A-147）；隴東學(xué)院青年科技創(chuàng)新項目（XYZK1401）．