立體幾何重點知識與題型分析

盧玉才

一、面積、體積和距離的計算

重要知識

類型名稱側(cè)面積表面積體積備注柱體圓柱S側(cè)=2πrhS側(cè)=2πrh

+2πrV=πr2hr是底面半徑

h是圓柱的高棱柱S側(cè)=ch

（直棱柱）S側(cè)=ch′

（正棱柱）S全=S側(cè)

+2S底V=Shc為底面的周長

h′為斜高

S為底面積

h為幾何體的高錐體圓錐S側(cè)=πrlS側(cè)=πrl

+πr2V=13πr2hr是底面半徑

l是母線長棱錐各側(cè)面

積之和各面面

積之和V=13ShS為底面積

h為幾何體的高球S球=4πR243πR3R為球的半徑題型分析

例1（1）如圖，長方體ABCDA1B1C1D1中，O為BD1的中點，三棱錐OABD的體積為V1，四棱錐OADD1A1的體積為V2，則V1V2的值為.

（2）已知圓錐的底面半徑為1，高為22，則該圓錐的側(cè)面積為.

解析：（1）設(shè)AB=a，AD=b，A1A=c.

則V1=13S△ABD·12A1A=abc12.

V2=13SADD1A1·12AB=abc6.∴V1V2=12.

（2）∵底面半徑為1，高為22，母線長

l=（22）2+12=3，∴圓錐的側(cè)面積為：

S側(cè)=12·2πr·l=12×2π×1×3=3π，故該圓錐的側(cè)面積為3π.

評注：三棱錐體積的計算，只需找到合適的頂點和底面，而四棱錐體積的計算，關(guān)鍵在高的計算，圓錐中的半徑、高和母線長，它們的關(guān)系可以通過一個直角三角形來溝通計算.

二、平行關(guān)系、垂直關(guān)系

重要知識

1.平行關(guān)系

類型證明方法直線與直線平行若a∥b，b∥c，則a∥c若a∥α，aβ，α∩β=l，則a∥l若a⊥α、b⊥α，那么a∥b若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，則a∥b直線與平面平行若aα，a∥b，bα，則a∥α若α∥β，mα，則m∥β平面與平面平行若aα，bα，α∥β，b∥β，a∩b=A，則α∥β若a⊥α，a⊥β，則α∥β2.垂直關(guān)系

類型證明方法直線與直線垂直若a，b所成的角為90°，則a⊥b若a⊥α，bα，那么a⊥b直線與平面垂直若l⊥a，l⊥b，aα，bα，a∩b=A，則l⊥α若α⊥β，aα，α∩β=b，a⊥b，那么a⊥β平面與平面垂直若aα，bα，a∥β，b∥β，a∩b=A，則α∥β若a⊥α，a⊥β，則α∥β題型分析

例2如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD.

（1）證明：PA⊥BD；

（2）設(shè)PD=AD=2，求點D到面PBC的距離.

解析：（1）證明：因為∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=3AD.從而BD2+AD2=AB2，∴BD⊥AD，又由PD⊥底面ABCD，BD面ABCD，可得BD⊥PD.∴BD⊥面PAD，PA面PAD，∴PA⊥BD.

（2）法1：在平面PDB內(nèi)作DE⊥PB，垂足為E.∵PD⊥底面ABCD，BC面ABCD，∴PD⊥BC，由（1）知BD⊥AD，又BC∥AD，∴BC⊥BD，又AD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD，又DE面PBD，∴BC⊥DE.又DE⊥PB，PB∩BC=B，則DE⊥平面PBC.由題設(shè)知，PD=AD=2，則BD=23，PB=4，根據(jù)DE·PB=PD·BD，得DE=3，即點D到面PBC的距離為3.

法2：設(shè)點D到平面PBC的距離為d，由（1）得BD⊥AD，∴AB=4，VPBCD=12VPABCD=12×13×SABCD×PD=16×2×4×32×2=433，又VPBCD=VDPBC=13S△PBC×d，由……