直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用□于泳

圓錐曲線將幾何與代數(shù)進(jìn)行了完美結(jié)合，直線與圓錐曲線的題型涉及函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學(xué)思想方法.將幾何問題轉(zhuǎn)化為易于計(jì)算的代數(shù)問題，這為研究問題提供了許多便利；但也不可避免地造成許多計(jì)算的繁瑣，同時(shí)對(duì)運(yùn)算能力提出較高要求.圓錐曲線作為高考必考內(nèi)容常被同學(xué)們看成一道分水嶺，跨過去往往數(shù)學(xué)就能取得高分，如何在有限的答題時(shí)間內(nèi)取得理想的答題效果，除了練就扎實(shí)的計(jì)算、化簡(jiǎn)等基本功之外還要了解減少運(yùn)算量的一些常用策略，扎實(shí)備考.現(xiàn)舉例說明.

一、回歸定義，善用幾何

解析幾何中，我們主要運(yùn)用代數(shù)的方法研究幾何問題，但很多時(shí)候，若能充分挖掘利用圖形的幾何特征，則會(huì)將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化.

例1已知橢圓x22+y2=1的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F的直線m與橢圓交于A，B兩點(diǎn).若AF=3FB，求直線m的方程.

法一：設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），F(xiàn)（1，0），AF=（1-x1，-y1），F(xiàn)B=（x2-1，y2），由AF=3FB

得1-x1=3（x2-1）

-y1=3y2，即x1=-3x2+4

y1=-3y2，

又因?yàn)閤212+y21=1，x222+y22=1，

所以（-3x2+4）22+（-3y2）2=1，（1）

9x222+9y22=9，（2），

由（2）-（1）得24x2-162=8，

解得x2=43，進(jìn)一步解得y2=13或y2=-13，所以直線m的斜率為k=1或k=-1，所以直線m的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.

評(píng)注：該解法是從代數(shù)角度——設(shè)未知數(shù)列方程組的辦法求出直線上點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出直線方程的斜率，重在計(jì)算.實(shí)際上，AB是過焦點(diǎn)的直線，可以從幾何角度求出直線的傾斜角，請(qǐng)看法二.

法二：如圖，分別自A、B作右準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為C、D，過B作AD的垂線，垂足為E，設(shè)AF=3x，BF=x，由橢圓的第二定義知AFAD=BFBC=e，AD=3xe，BC=xe，AE=2xe，e=22，在Rt△AEB中，AB=4x，cos∠BAE=AEAB=2xe4x=12e=22，∠BAE=45°，所以直線m的斜率為1，由橢圓的對(duì)稱性可知m的斜率也可為-1，所以直線m的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.

評(píng)注：該法重在挖掘圖中的幾何性質(zhì)，利……