平面解析幾何中的典型錯誤及錯因剖析

朱振華

平面解析幾何是高中數學教材中的重要內容之一，也是高考考查的重點知識，同時所涉及的知識甚多，能力要求也高.復習這部分內容時同學們要理清概念，靈活地運用思想與方法解決問題，特別要注意對平時訓練中出現的易錯題多加分析.下面從剖析解析幾何的典型易錯知識與方法加以分析，以提高大家的辨別能力，提高解題速度與正確率.

易錯剖析一：基本概念理解偏差致錯

例1經過點P（-5，-4），且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為5的直線方程是.

錯解：由題意，設所求方程為y+4=k（x+5），即kx-y+5k-4=0.

由12·（5k-4）·（4k-5）=5得，k無解，故不存在這樣的直線.

錯因分析：截距概念模糊不清，誤將直線在x軸和y軸上的截距作距離使用而掉入“陷阱”.事實上，直線與兩坐標軸所圍成的三角形面積為12·|5k-4|·|4k-5|，而不是12·（5k-4）·（4k-5）.

正解：由題意設所求方程為y+4=k（x+5），即kx-y+5k-4=0.

由12·|5k-4|·|4k-5|=5得，k=85或k=25.

故所求直線方程為8x-5y+20=0或2x-5y-10=0.

評注：“距離”與“截距”、兩直線夾角與到角等基本概念，看似基礎，實則涉及到一類問題的本質，理解入陷阱，易致錯.

易錯剖析二：知識掌握不重細節致錯

例2過點（3，3）且橫、縱截距相等的直線方程.

錯解：設所求方程為xa+ya=1，將（3，3）代入得a=6，得直線方程為x+y-6=0.

錯因分析：上述錯解所設方程為xa+ya=1，其中不含橫、縱截距為0的特殊情形，事實上，橫、縱截距為0且過點（3，3）的直線y=x也符合條件，主要審題不全致錯.

正解：x+y-6=0或x-y=0.

例3過點A（5，10）且到原點的距離是5的直線的方程為.

錯解：設直線斜率為k，其方程為y-10=k（x-5），即kx-y+（10-5k）=0.

由點到直線的距離公式，得|10-5k|k2+1=5，解得k=34.

故所求直線方程為3x-4y+25=0.

錯因分析：題中僅考慮了斜率存在的情況，忽視了斜率不存在的情況，即經過A且垂直于x軸的直線，落入“陷阱”，其實x-5=0也符合題意.