充分理解：做好解答分式方程的每一個(gè)步驟

樊梅芳

分式方程是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，對(duì)可化為一元一次方程的分式方程的學(xué)習(xí)，是在掌握了一元一次方程的解法和分式的運(yùn)算基礎(chǔ)上進(jìn)行的.其重點(diǎn)是可化為一元一次方程的分式方程的解法及列分式方程解決問題，難點(diǎn)是能判斷方程是否產(chǎn)生增根，理解分式方程產(chǎn)生增根的原因，并能解決有關(guān)增根的問題.在實(shí)際學(xué)習(xí)中，關(guān)于分式方程的問題出現(xiàn)錯(cuò)誤較多，現(xiàn)對(duì)練習(xí)中經(jīng)常出現(xiàn)的易混易錯(cuò)點(diǎn)剖析如下.

一、漏掉“檢驗(yàn)”，解答過程不完整或產(chǎn)生增根

例1 解方程：[1x-3]=[3x].

【錯(cuò)解】方程兩邊同乘x（x-3），得：

x=3（x-3），

解這個(gè)方程，得：

x=[92].

所以x=[92]是原方程的解.

【分析】本題中缺少解分式方程的重要步驟——檢驗(yàn).錯(cuò)解的最后一步改為：“檢驗(yàn)：當(dāng)x=[92]時(shí)，x（x-3）≠0，所以x=[92]是原方程的解”.

【點(diǎn)評(píng)】解分式方程的一般步驟是：（1）去分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；（2）解整式方程；（3）檢驗(yàn)，在求出未知數(shù)的值后應(yīng)檢驗(yàn)這個(gè)值是否使得原方程有意義且成立.

例2 解方程：[x-2x+2]-[x+2x-2]=[16x2-4].

【錯(cuò)解】方程兩邊同乘（x+2）（x-2），得：

（x-2）2-（x+2）2=16，

解這個(gè)方程，得：x=-2.

所以x=-2是原方程的解.

【分析】本題方程中未知數(shù)x的取值范圍是x≠-2且x≠2，但是在去分母把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后，未知數(shù)x的取值范圍擴(kuò)大為任意實(shí)數(shù)，所以x=-2是原方程的增根.這里漏掉“檢驗(yàn)”導(dǎo)致了錯(cuò)誤.本題錯(cuò)解的最后一步改為“檢驗(yàn)：當(dāng)x=-2時(shí)，（x+2）（x-2）=0，x=-2是增根，所以原方程無解”.

【點(diǎn)評(píng)】解分式方程時(shí)要注意未知數(shù)的取值范圍，作為檢驗(yàn)方程解的條件.

二、常數(shù)項(xiàng)漏乘公分母，解答錯(cuò)誤

例3 解方程：[x2x-5]+[55-2x]=1.

【錯(cuò)解】方程兩邊同乘（2x-5），得：

x-5=1，

解這個(gè)方程，得：x=6.

檢驗(yàn)：當(dāng)x=6時(shí)，2x-5≠0，所以x=6是原方程的解.

【分析】本題中去分母時(shí)方程右邊的常數(shù)項(xiàng)“1”沒有乘（2x-5），并且在“檢驗(yàn)”時(shí)沒有發(fā)現(xiàn)x=6不符合原方程。

【點(diǎn)評(píng)】此類錯(cuò)誤很難檢查出來，所以在解可化為一元一次方程的分式方程時(shí)，要認(rèn)真做好每一步，避免出現(xiàn)類似的錯(cuò)誤.

【正解】方程兩邊同乘（2x-5），得：

x-5=2x-5，

解這個(gè)方程，得：x=0.

檢驗(yàn)：當(dāng)x=0時(shí)，2x-5≠0，

所以x=0是原方程的解.

三、忽略分?jǐn)?shù)線的括號(hào)作用，解答錯(cuò)誤

例4 解方程：[2x-2]+3=[1-x2-x].

【錯(cuò)解】方程兩邊同乘（x-2），得：

2+3（x-2）=-1-x，

解這個(gè)方程，得：x=[34].

檢驗(yàn)：當(dāng)x=[34]時(shí)，x-2≠0，

所以x=[34]是原方程的解.

【分析】本題方程右邊的分式[1-x2-x]乘（x-2）后應(yīng)得-（1-x），正確結(jié)果為x=[32].

【點(diǎn)評(píng)】分式中的分?jǐn)?shù)線具有括號(hào)的作用，如果分子是多項(xiàng)式，那么去分母時(shí)應(yīng)用括號(hào)把分子括起來.

四、數(shù)量關(guān)系理解不清，導(dǎo)致用方程解決實(shí)際問題錯(cuò)誤

例5 一輛汽車從甲地開往相距90千米的乙地，出發(fā)后第一個(gè)小時(shí)按原計(jì)劃的速度勻速行駛，一小時(shí)后以原來速度的1.5倍勻速行駛，并比原計(jì)劃提前20分鐘到達(dá)乙地.求前一個(gè)小時(shí)的行駛速度.

【錯(cuò)解】設(shè)前一個(gè)小時(shí)的行駛速度為x千米/小時(shí)，則一小時(shí)后的速度為1.5x千米/小時(shí).

根據(jù)題意，得：[90x]-[901.5x]=20

【分析】本題中時(shí)間表達(dá)式錯(cuò)誤且時(shí)間單位不統(tǒng)一.根據(jù)行程問題中的路程、速度、時(shí)間三者的關(guān)系可得，原計(jì)劃的時(shí)間為[90x]小時(shí)，實(shí)際所用的時(shí)間應(yīng)為[1+90-x1.5x]小時(shí)，相等關(guān)系是：原計(jì)劃的時(shí)間-實(shí)際的時(shí)間=20分鐘，但所設(shè)未知數(shù)的單位是千米/小時(shí)，所以應(yīng)將20分鐘化為[13]小時(shí)，正確的方程為：

[90x]-[1+90-x1.5x]=[13]，

解得：x=45.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=45是所列方程的解，所以前一個(gè)小時(shí)的行駛速度是45千米/小時(shí).

【點(diǎn)評(píng)】用分式方程解決實(shí)際問題時(shí)，要仔細(xì)分析題中的數(shù)量關(guān)系，并統(tǒng)一各個(gè)量的單位，再根據(jù)相等關(guān)系列出方程，最后還要檢驗(yàn)所得結(jié)果是否符合實(shí)際問題的意義.

（作者單位：江蘇省連云港市贛榆區(qū)黑林中學(xué)）