別讓分數從指尖溜走

王磊

分式方程部分的知識，是考試中常見的考查項目，同學們在復習的時候，一定要抓住分式方程的核心概念，牢固掌握常用的解題方法和技巧.

一、不讓分數流失在基本概念的辨析中

例1 下列方程：①[x+25]=1；②[1+x2x]=4；③[2xx+2]-1=[22+x]；④[13]x-1=x；⑤[1π]+1=3x，其中，是分式方程的是 .（填序號）

【解析】本題主要考查了分式方程的概念，想要拿滿分，本題需要對每個式子進行精準的辨析.①④⑤這三個式子中，分母中不含有表示未知數的字母，π在數學里表示一個已知數.②和③兩個式子中，分母都含有表示未知數的字母.解答這類題目要抓住兩個重點：一是要認識到，分母中是否含有未知數，這是分式方程與整式方程的根本區別；二是判斷一個方程是不是分式方程，要看這個方程的分母中是否含有表示未知數的字母，像π雖然是字母，但它并不表示未知數.

【小試身手】1.下列方程是分式方程的是（ ）.

A.[x-12]=3 B.[61-π]+x=1

C.[2x+15]=2 D.[2x+1]=[3x+1]-1

例2 （2016·湖北黃岡三模，7分）已知關于x的方程[3-2xx-3]-[2-mxx-3]=-1無解，求m的值.

【解析】本題考查了對分式方程的根和增根的理解.分式方程無解分為兩種情況，一是相應的整式方程無解，二是求出的整式方程的值，使分式方程無意義.

解：原方程兩邊都乘（x-3），得

3-2x-（2-mx）=-（x-3），（1分）

整理，得（1-m）x=-2.（2分）

∵原分式方程無解，

∴m=1或x=[-21-m]=3，（5分）

解之，得m=1或m=[53].（7分）

【小試身手】2.若關于x的分式方程[2x-3]+[x+m3-x]=2有增根，則m的值是（ ）.

A.m=-1 B.m=0

C.m=3 D.m=0或m=3

3.已知關于x的方程[xx-3]-2=[mx-3]的解為正數，求m的取值范圍.

二、不讓分數流失在分式方程的解答中

例3 （2015·江蘇常州，4分）解方程：[x3x-1]=2-[11-3x].

【解析】本題考查了解分式方程的知識，解分式方程的基本思路是：將分式方程轉化為整式方程，再利用整式方程的解法求解.解題過程分為三步：（1）去分母，在方程的兩邊都乘最簡公分母，約去分母，把分式方程轉化為整式方程；（2）解整式方程；（3）驗根，把整式方程的解代入最簡公分母，若最簡公分母為0，則整式方程的解不是原分式方程的解，否則，這個解就是原分式方程的解.

解：原方程可化為：[x3x-1]=2+[13x-1]

方程兩邊同時乘（3x-1），得：

x=2（3x-1）+1，（1分）

解得：x=[15].（2分）

檢驗：當x=[15]時，3x-1≠0，（3分）

∴x=[15]是原方程的解.（4分）

【小試身手】

4.[2x]-[11+x]=0.

5.[1x-2]-3=[x-12-x].

三、不讓分數流失在分式的應用過程中

例4 （2016·江蘇揚州，10分）動車的開通為揚州市民的出行帶來了方便.從揚州到合肥，路程為360km，某趟動車的平均速度比普通列車快50%，所需時間比普通列車少1h，求該趟動車的平均速度.

【解析】本題考查了分式方程的運用，考查了用方程思想解決實際問題的能力.本題中，抓住路程相同是關鍵，用時間作為等量關系的主線，利用“坐動車所用的時間比坐普通列車所用的時間少1h”這句話，列方程解答.與用整式方程解應用題不同的是，用分式方程解應用題要注意雙檢驗.一是要檢驗所求得的解，是不是所列方程的解；二是要檢驗所求得的解，是否符合應用題的實際情況.最后要提醒的是，在解應用題時，各部分要完整，別忘記寫“答”.

解：設普通列車的速度為xkm/h，動車的平均速度為1.5xkm/h.（1分）

由題意可得[360x]-[3601.5x]=1，（5分）

解得：x=120.（7分）

經檢驗，x=120是原分式方程的解，且符合題意.（9分）

答：該趟動車的平均速度為120km/h.（10分）

【小試身手】6.張家界到長沙的距離約為320km，小明開著大貨車，小華開著小轎車，都從張家界同時去長沙，已知小轎車的速度是大貨車的1.25倍，小華比小明提前1h到達長沙.試問：大貨車和小轎車的速度各是多少？

7.王師傅檢修一條長600m的自來水管道，計劃用若干小時完成，在實際檢修過程中，每小時檢修管道長度是原計劃的1.2倍，結果提前2h完成任務，王師傅原計劃每小時檢修管道多少米？

（作者單位：江蘇省連云港市海州實驗中學）