收納錯誤 變廢為寶

劉立軍

一元二次方程是初中數學的重點內容，是中考中代數部分考查的熱點.但在解一元二次方程有關問題時，許多同學常常由于忽視一些概念、原理以及題目自身的隱含條件，從而導致錯解.現就幾種常見的錯誤進行分析，希望能對同學們的學習有所幫助.

一、 對“一元二次方程概念”理解模糊

例1 下列方程中是關于x的一元二次方程的是（ ）.

A.x2+[1x2]=0 B.ax2+bx+c=0

C.（x-1）（x+2）=1 D.3x2-2xy=0

【錯解】B.

【正解】選項A中含分式，選項D中含兩個未知數，故都不是一元二次方程，選項B中二次項的系數a可能為0，則不一定是一元二次方程.故選C.

【點評】一元二次方程有三個特點：

（1）只含有一個未知數；

（2）未知數的最高次數是2；

（3）是整式方程.

二、用直接開平方法漏掉一個根

例2 解方程（x-1）2=4.

【錯解】兩邊開平方，得x-1=2，∴x=3.

【正解】x1=3，x2=-1.

【點評】對x2=a（a>0）直接開平方，x有兩個平方根x1=[a]，x2=[-a]，本題中直接開平方漏了“負的”平方根，相應的也漏掉方程的一個根.

三、 用“配方法”時出錯

例3 解方程2x2-8x-5=0.

【錯解】移項得2x2-8x=5，配方得2x2-8x+42=5+42，即（2x-4）2=21，所以2x-4=[±21]，原方程的解為

x1=[4+212]，x2=[4-212].

【正解】x1=[4+262]，x2=[4-262].

【點評】在配方時，當二次項系數為1時，方程兩邊同時加上“一次項系數一半的平方”，若二次項系數不為1，先“化1”.

四、用“公式法”時出錯

例4 解方程x2=3x+4.

【錯解】∵a=1，b=3，c=4，

∴b2-4ac=9-16=-7<0，

∴方程無實數解.

【正解】x1=4，x2=-1.

【點評】在用公式法解一元二次方程時，應先將方程化為一般式ax2+bx+c=0（a≠0），然后準確地找出a，b，c的值，利用公式

x=[-b±b2-4ac2a]求解.

五、忽視等式的基本性質

例5 一元二次方程x（x-2）=2-x的根是（ ）.

A.-1 B.0 C.1和2 D.-1和2

【錯解】方程兩邊同時除以x-2，得x=-1.

故選A.

【正解】x（x-2）=2-x，

移項得：x（x-2）+（x-2）=0，

因式分解：（x-2）（x+1）=0，

x-2=0或x+1=0，x1=2，x2=-1.

故選D.

【點評】等式兩邊同時乘或除以同一個不為零的整式，等式仍然成立，錯解中沒有考慮到x-2等于0的情況，容易漏根.

六、忽略檢驗根的存在性

例6 關于x的方程x2-kx+2k=0的兩根的平方和是5，則k的值是（ ）.

A.-1或5 B.1 C.5 D.-1

【錯解】A.

設方程的兩根為x1，x2，

則x1+x2=k，x1x2=2k.

∵x12+x22=5，

∴（x1+x2）2-2x1x2=5，

∴k2-4k-5=0，∴k1=5，k2=-1.

【正解】D.

當k=5時，原方程變為x2-5x+10=0，b2-4ac=-15<0，

當k=-1時，原方程變為x2+x-2=0，b2-4ac=9>0，∴k=-1.

【點評】很多同學認為解出答案即大功告成，忽視了在實數范圍內利用根與系數的關系時必須要以根的存在作為前提條件，所以求得的結果還要代入原方程檢驗根的存在性.

七、應用一元二次方程根的判別式出錯

例7 關于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有實數根，則m的取值范圍是（ ）.

A.m≤3 B.m<3

C.m<3且m≠2 D.m≤3且m≠2

【錯解】A、B、C.

【正解】因為關于x的一元二次方程（m-2）·x2+2x+1=0有實數根，所以m-2≠0且b2-4ac≥0，即22-4×（m-2）×1≥0，解得m≤3，

∴m的取值范圍是m≤3且m≠2.故選D.

【點評】①方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數根，隱含著兩個條件：一是a≠0，二是判別式b2-4ac>0，解題時常容易忽視a≠0而出現錯誤.

②一元二次方程“有實數根”，包括有相等的實數根和不相等的實數根這兩種情況，此時b2-4ac≥0，不能漏掉等號；若未指明方程是一元二次方程，“有實數根”不能與“有兩個實數根”等同，應分a≠0和a=0兩種情況討論.

（作者單位：江蘇省連云港市海州實驗中學）