函數應用：分清模型解決問題

霍彩霞

函數應用題一直是中考命題的重點內容，成本最低、利潤最高、產量最大、效益最好、用料最省等實際問題是中考命題的熱點素材.下面結合2016年中考試題，對中考中函數應用題進行分類展示.

一、圖像信息型

例1 （2016·新疆）小明的父親從家走了20分鐘到一個離家900米的書店，在書店看了10分鐘的書后，用15分鐘返回家，下列圖中表示小明的父親離家的距離與時間的函數圖像的是（ ）.

【分析】觀察圖像可知父親散步的過程分為三段，即出去20分鐘，看報10分鐘，返回15分鐘，再考察這三段距離變化的情況.

【解析】出去20分鐘，離家的距離是逐漸增大的，圖像呈上升的趨勢；看報10分鐘，離家的距離沒有發生變化，此時圖像與橫軸平行；返回15分鐘，離家的距離是逐漸縮小的，圖像呈下降的趨勢；且回家的時間比離家的時間少，下降的圖像陡，故選擇B.

【解后反思】對于用圖像描述分段函數的實際問題，要抓住以下幾點：①看圖像的升降趨勢：當函數隨著自變量的增加而增加時，圖像呈上升趨勢，反之，呈下降趨勢；函數不隨自變量的變化而變化，即函數是一個定值，圖像與橫軸平行；②看圖像的曲直：函數隨著自變量的變化而均勻變化的，圖像是直線；函數隨著自變量的變化而不均勻變化的，圖像是曲線；③兩個階段的圖像都是一次函數（或正比例函數）時，自變量變化量相同，而函數值變化越大的圖像與x軸的夾角就越大；④要對圖像及其數量關系進行分析，準確確定各個分段中的函數關系，抓住圖像中的轉折點及拐點，這些拐點處往往是運動狀態發生改變或者相互的數量關系發生改變的地方.

二、一次函數型

例2 （2016·浙江湖州）隨著某市養老機構（養老機構指社會福利院、養老院、社區養老中心等）建設穩步推進，擁有的養老床位不斷增加.

（1）該市的養老床位數從2013年底的2萬個增長到2015年底的2.88萬個，求該市這兩年（從2013年底到2015年底）擁有的養老床位數的平均年增長率；

（2）若該市某社區今年準備新建一個養老中心，其中規劃建造三類養老專用房間共100間，這三類養老專用房間分別為單人間（1個養老床位），雙人間（2個養老床位），三人間（3個養老床位），因實際需要，單人間房間數在10至30之間（包括10和30），且雙人間的房間數是單人間的2倍，設規劃建造單人間的房間數為t.

①若該養老中心建成后可提供養老床位200個，求t的值；

②求該養老中心建成后最多提供養老床位多少個？最少提供養老床位多少個？

【分析】（1）設平均年增長率為x，根據“2015年的床位數=2013年的床位數×（1+增長率）2”列方程求解.（2）①設規劃建造單人間的房間數為t（10≤t≤30），根據“可提供的床位數=單人間數×1+雙人間數×2+三人間數×3”列方程求解；②設該養老中心建成后能提供養老床位y個，根據“可提供的床位數=單人間數×1+雙人間數×2+三人間數×3”列函數關系式，得出結論.

解：（1）設平均年增長率為x，由題得方程：2（1+x）2=2.88，解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合題意舍去）.

答：該市這兩年擁有的養老床位數的平均年增長率為20%.

（2）①設規劃建造單人間的房間數為t（10≤t≤30），則建造雙人間的房間數為2t，三人間的房間數為100-3t，由題意得：t+4t+3（100-3t）=200，解得t=25；②設該養老中心建成后能提供養老床位y個，由題意得：y=t+4t+3（100-3t）=-4t+300（10≤t≤30），∵k=-4<0，∴y隨t的增大而減小.當t=10時，y的最大值為260；當t=30時，y的最小值為180.

答：該養老中心建成后最多提供養老床位260個，最少提供養老床位180個.

【解后反思】找出表示題目全部含義的數量關系，得到函數關系式是解題的關鍵，然后根據實際問題的特點，確定出自變量的取值范圍，再在自變量范圍內求函數的最大（小）值.

三、反比例函數型

例3 （2016·山東德州）某中學組織學生到商場參加社會實踐活動，他們參與了某種品牌運動鞋的銷售工作，已知該運動鞋每雙的進價為120元，為尋求合適的銷售價格進行了4天的試銷，試銷情況如表所示：

（1）觀察表中數據，x、y滿足什么函數關系？請求出這個函數關系式；

（2）若商場計劃每天的銷售利潤為3000元，則其單價應定為多少元？

【分析】（1）由表中數據得出xy=6000，即可得出結果；（2）由題意得出方程，解方程即可，注意檢驗.

解：（1）由表中數據得：xy=6000，

∴y=[6000x]，∴y是x的反比例函數，故所求函數關系式為y=[6000x]；

（2）由題意得：（x-120）y=3000，把y=[6000x]代入得（x-120）·[6000x]=3000，解得x=240，經檢驗，x=240是原方程的根.

答：若商場計劃每天的銷售利潤為3000元，則其單價應定為240元.

【解后反思】本題考查了反比例函數的應用，列分式方程解應用題；根據題意得出函數關系式和列出方程是解決問題的關鍵.

四、二次函數型

例4 （2016·湖北黃石）科技館是少年兒童節假日游玩的樂園.如圖1所示，圖中點的橫坐標x表示科技館從8：30開門后經過的時間（分鐘），縱坐標y表示到達科技館的總人數.

圖中曲線對應的函數解析式為y=[ax2 0≤x≤30，bx-902+n 30≤x≤90，]10：00之后來的游客較少可忽略不計.

（1）請寫出圖中曲線對應的函數解析式；

（2）為保證科技館內游客的游玩質量，館內人數不超過684人，后來的人在館外休息區等待.從10：30開始到12：00館內陸續有人離館，平均每分鐘離館4人，直到館內人數減少到624人時，館外等待的游客可全部進入.請問館外游客最多等待多少分鐘？

【分析】（1）將點A（30，300）代入y=ax2求出a；將點A（30，300）、B（90，700）代入y=b（x-90）2+n求出b、n.（2）館外游客最多等待的時間由三部分組成：①10：00前人數達到684人的等待時間（利用y=b（x-90）2+n的圖像求解）；②從10：00到10：30的等待時間；③從684人減少到624人等待的時間（利用“平均每分鐘離館4人”求解）.

解：（1）略解，

y=[13x2 0≤x≤30，-19x-902+700 30≤x≤90.]

（2）當y=684時，代入y=[-19]（x-90）2+700，得[-19]（x-90）2+700=684，解得x1=78，x2=102（不合題意，舍去），∴90-78=12.

又[684-6244]=15，∴館外游客最多等待的時間為12+30+15=57（分鐘）.

答：館外游客最多等待57分鐘.

【解后反思】（1）求二次函數解析式，表達式中有幾個待定系數，就需要幾個點代入函數解析式，然后解方程組求出待定系數，從而求出函數解析式；（2）解答分段的二次函數實際問題，先要根據函數值（或自變量的取值范圍）選用相應的二次函數解析式，再利用函數的性質解決相關的問題.

五、函數、方程和不等式綜合型

例5 （2016·四川內江）某學校課外興趣活動小組準備圍建一個矩形苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊用長為30米的籬笆圍成.已知墻長為18米（如圖2所示），設這個苗圃園垂直于墻的一邊的長為x米.

（1）若苗圃園的面積為72平方米，求x；

（2）若平行于墻的一邊長不小于8米，這個苗圃園的面積有最大值和最小值嗎？如果有，求出最大值和最小值，如果沒有，請說明理由；

（3）當這個苗圃園的面積不小于100平方米時，直接寫出x的取值范圍.

【分析】（1）根據矩形面積=長×寬，列出方程，解一元二次方程可求得x；（2）由8≤30-2x≤18，得6≤x≤11，分情況討論最大值和最小值；（3）列出一元二次不等式并解之即可.

解：（1）根據題意，得x（30-2x）=72，整理，得2x2-30x+72=0，解得x1=3，x2=12.

由x=3得30-2x=24>18，∴舍去；由x=12得30-2x=6，∴垂直于墻的一邊的長為12米.

（2）若8≤30-2x≤18，則6≤x≤11.由題意有x（30-2x）=-2x2+30x=-2[x-152][2]+[2252]，∴當x=[152]時，苗圃園的面積有最大值為[2252]（平方米）；當x=11時，苗圃園的面積有最小值，最小值為x（30-2x）=88（平方米）.

（3）6≤x≤10.

【解后反思】本題考查二次函數、一元二次方程與不等式的應用，難點是一元二次不等式的解法，方法是先求出對應的一元二次方程的解，再確定一元二次不等式的解集.

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區實驗初級中學）