談?wù)勏蛄繑?shù)量積的求法

徐學(xué)海

摘 要： 向量問(wèn)題是高考數(shù)學(xué)的一大熱點(diǎn)問(wèn)題，尤其對(duì)數(shù)量積的考查，儼然成為一種趨勢(shì).近些年，江蘇高考側(cè)重于考查以三角形為背景的向量數(shù)量積.廣大考生在求此類(lèi)問(wèn)題時(shí)由于受選取方法的影響，有時(shí)不能很快解決此類(lèi)問(wèn)題.為此本文將對(duì)以三角形為背景的向量數(shù)量積的求法做一些簡(jiǎn)單概括.

關(guān)鍵詞： 數(shù)量積 三角形 選取方法

例：在△ABC中，已知AB=4，AC=6，∠BAC=60°，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且=2，=3，點(diǎn)F為DE 中點(diǎn)，則·的值為

解法一（定義法）：在△ADE中，∠A=60°，AD=AE=2，則DE=2.∵F為DE中點(diǎn).∴DF=1，BD=2.BF=BD+DF-2BD·DF·cos120°=7.BF=.

cos∠DFB===.

·=||·||·cos∠DFB=×2×=4.

針對(duì)此題，定義法顯得有點(diǎn)復(fù)雜，這兩個(gè)向量的模長(zhǎng)并不是題干條件直接給出的，需要我們通過(guò)一定計(jì)算求解.并且在求解夾角的余弦時(shí)運(yùn)用到了余弦定理.總體分析，此題利用定義法可以求解，只是求此數(shù)量積時(shí)可能有更好的方法，需要我們探究.

通過(guò)對(duì)題干條件的分析，不難發(fā)現(xiàn)題目所求兩個(gè)向量的數(shù)量積借助于基底法可很快求解，具體解法如下：

解法二（基底法）：結(jié)合題意，以，為一組基底進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

上述利用基底法求解向量數(shù)量積，思路明確，簡(jiǎn)單易操作，為解題節(jié)省了時(shí)間.再仔細(xì)分析，可知該題以三角形為背景的模型清晰可見(jiàn)，兩條邊長(zhǎng)及夾角的信息明確，試著建立直角坐標(biāo)系，將向量的數(shù)量積用坐標(biāo)形式表現(xiàn)出來(lái)，且該題涉及的幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)可輕松得出.具體解法如下（結(jié)合下圖）：

解法三（坐標(biāo)法）：過(guò)B作BO⊥AC于O，通過(guò)計(jì)算，不難發(fā)現(xiàn)，O與E重合.如上圖所示.

上述三種方法都可順利求解本題答案，但就本題而言，可能很多同學(xué)最先想到的是方法二（基底法），的確為我們解題帶來(lái)了方便.但在求解向量數(shù)量積時(shí)，三種方法都要掌握，什么題型用什么方法，一定要多思考.下面就選取方法談一點(diǎn)想法.

在求解以三角形為背景的向量數(shù)量積時(shí)，方法的選取顯得特別重要，有時(shí)方法選取得適當(dāng)，可能會(huì)使解決此類(lèi)問(wèn)題的速度大大加快，為后面試題解決節(jié)省時(shí)間，一般情況下：

（1）在邊長(zhǎng)及夾角余弦較易求解的情況下選擇定義法（·=||·||cosθ，θ指與的夾角）.

（2）在定義法無(wú)法解決或不易解決及無(wú)法建系時(shí)，此時(shí)題干給的基底情況足夠明確，則選取基底法.

（3）題干背景給的是諸如等邊三角形、圓、正方形、長(zhǎng)方形等對(duì)稱(chēng)圖形時(shí)，可選取坐標(biāo)法解決.但提醒考生注意的是坐標(biāo)務(wù)必書(shū)寫(xiě)正確，否則直接導(dǎo)致答案錯(cuò)誤.

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