恰用范圍限制，提高解題效率

謝曉玲

在解決問題的過程中，有意識地將未知問題轉化為易于解決的或已經解決的問題的思想是解決數學問題的主要思想之一.在這一過程中，如果能特別關注變量的取值范圍，并用好這些范圍限制，可以幫助我們找到問題解決的突破口，盡可能避免解題失誤，從而提高解題效率，因此我們在教學中要重視這一問題，讓學生養成重視變量的取值范圍的好習慣.

1.相關概念、性質的限制

解題過程中首先要認真分析題意，注意問題涉及的相關概念和性質.如“傾斜角”、“二面角”、“等差數列”、“函數單調性”等，這些概念是在一定范圍內建立起來的.解題時應特別注意這些限制的應用.

例1：求過點A（a，b），B（na，nb）（n≠1，a≠0）的直線的斜率及傾斜角.

解：∵n≠1，a≠0，∴na-a=（n-1）a≠0，∴k===.

設直線AB的傾斜角為θ，則tanθ=.

當ab>0時，>0，θ為銳角，則θ=tarctan；

當ab<0時，<0，θ為鈍角，則θ=π-arctan.

點評：（1）研究直線的傾斜角時，一定要弄清斜率變化范圍及傾斜角范圍，同時注意反三角函數的范圍.（2）應用斜率公式求直線的斜率時，要注意條件x≠x，遇到字母要注意對字母的取值進行討論.當已知斜率求傾斜角時，若含參數，則要對斜率的正負進行討論，當k>0時，α為銳角，此時α=arctank；當k<0時，α為鈍角，此時α=πtarctank.

相關題目：（1）已知α、β都是銳角，tanα=，sinβ=，求α+2β的值.

（2）已知函數f（x）=x+（a+1）x+b的圖像，=（1，-1）平移后所得的圖像過點（4，2），且對一切實數x，f（x）≥x恒成立，求實數a、b的值.

2.函數定義域、值域的限制

有些數學問題中含有中間變量或需引入中間變量，我們可以用中間變量與其他變量之間的函數關系的定義域或值域為限制變量的取值范圍.

例2：已知ABC是邊長為2的正三角形，P、Q依次是AB、AC邊上的點，且線段PQ將ABC分成面積相等的兩部分，設AP=x，AQ=t，PQ=y，求：

（1）t關于x的函數關系式；（2）y關于x的函數關系式；

（3）y的最小值與最大值.

解：（1）∵S=，∴xtsin60°=，∴xt=2，t=，

∵t≤2，∴≤2，∴x≥1，又∵x≤2，∴1≤x≤2，

∴t關于x的函數為t=（1≤x≤2）.

（2）∵y=x+t-2xtcos60°=x+-2，

∴y=（1≤x≤2）.

（3）令f（x）=t+，易證f（t）在（0，2]上為減函數，在[2，+∞）上為增函數.

∵1≤x≤2，∴1≤x≤4，∴當x=2，即x=時；

當x=1或x=4，即x=1或x=2時，x+取最大值5，此時y取最小值.

點證：（1）利用函數知識解決具體問題，務必考慮函數的定義域.（2）本題中x的范圍，很多學生會錯誤地認為0≤x≤2，主要原因是對“PQ將△ABC分成面積相等的兩部分”認識不足.（3）本題通過考慮函數f（t）=t+的單調性探究y的最值，一般地，f（x）=ax+（a>0，b>0）的圖像是雙曲線，y軸和直線y=ax是它的兩條漸近線，f（x）在0，上為減函數；在，+∞上為增函數，由對稱性可知f（x）在-∞，-上為增函數；在（-，0]上為減函數.

相關題目：（1）求函數y=sinx+cosx+sinxcosx的值域；（2）求函數y=x+的值.

3.約束條件的范圍限制

有些數學問題中含有多種變量（或未知量），而這些量又在一定條件下相互約束，我們可利用這些條件限制某些變量的取值范圍為消元轉化后解決問題創造條件.

例3：已知△ABC的周長為6，BC、CA、AB成等比數列，求、的取值范圍.

解：·=accosB=ac·，

∵a+c=6-b，b=ac，∴·=27-（b+3），

∵a+b+c=a+c+=6≥2+，

∴b≤2，a，b，c是三角形的三邊，a，b，c成等比數列.

不妨設a≥b≥c，a=，c=bq，0

∵a+b+c=6，∴b=，

由b+c≥a得1+q≥，

∴≤q≤1，由b=（≤q≤1），求出（-1）≤b≤2，

∴·的取值范圍是 [2，（3-）].

點評：由△ABC的周長為6，BC、CA、AB成等比數列，求出0

相關題目：（1）已知a≥0，b≥0，且a+b=1，求a+b的最大值.

（2）已知3sin2α-cosβ=3，求α，β的值.

4.隱含條件的限制

在許多問題中，約束條件不夠明顯，而是隱含在題意深處，需要我們認真分析、發現.

例4，△ABC中，已知sinA+cosA=，求cos2A.

解：由sinA+cosA=，兩邊平方得sin2A=-；

∵A是△ABC的內角，A∈（，π），

∴<2A<2π，∴cos2A>0，∴cos2A=.

點評：角A的取值范圍是什么，是解決本題的關鍵，題中隱含了兩個條件：（1）A不是銳角，否則sinA+cosA>1，這與sinA+cosA=<0矛盾.

（2）A？埸（，]，否則sinA+cosA>0與sinA+cosA≤<0，<Α<π，本題若不能發現以上兩個隱含條件，就不能很好地解答本題.

5.不等式的綜合限制

有時為了解決問題，需要綜合應用不等式知識和前所述各種方法完成.

例5，如圖所示，直線l的方程x=-，其中P>0；橢圓中心D（2+，0）焦點，在x軸上，長半軸長為2，短半軸長為1，它的一個頂點A（，0），問P在哪個范圍內取值時，橢圓上有四個不同的點，它們每一個點到點A的距離等于該點到直線l的距離.

解：依題意知橢圓方程為+y=1，以A為焦點，以l為準線的拋物線方程為y=2px，所以橢圓上有四個點到A的距離等于到l的距離等于方程組+y=1y=2Px有四組不同的解.

消元整理可行x+（7P-4）x++2P=0.①

∵P>0，∴方程組有四組不同的解等價于方程①有兩組相等的正根（記為x，x）.

∴Δ=（7P-4）-4（+2P）>0x+x=-（7P-4）>0x-x=+2P>0

∵P>0，∴0

∴所求P的范圍為0

點評：本題將曲線的交點個數問題轉化為方程組的解的個數問題，在轉化過程中一定要注意轉化的等價性，因此在解答過程中要綜合應用不等式知識得到關于P的恰當范圍限制.

相關題目：（1）在等差數列{a}中，3a=8a>0，問當n為何值時，數列{a}的前n項和S最大.

（2）設f（x）=|lgx|且f（a+b）b>0，求a+b的取值范圍.

總之，在教學過程中一定要引導學生重視變量的范圍限制，恰當地用好變量的范圍限制，這樣可以幫助學生提高解題效率，避免解題失誤.