基于復Contourlet和各向異性擴散的圖像降噪算法

謝佩軍

摘要：提出了一種將復Contourlet變換和各向異性擴散相結合的圖像降噪方法。通過復Contourlet變換對圖像進行分解后，分別采用KAD對高頻分量進行擴散，CDD對低頻分量進行擴散，最后，經復Contourlet逆變換實現圖像重構。并從主觀視覺效果和定量評價兩個方面，對該方法與其他降噪方法進行比較分析。實驗結果表明，該方法不僅具有良好的降噪效果，并且能夠較好地保留圖像邊緣和細節特征。

關鍵詞：復Contourlet變換；KAD；CDD；圖像降噪

中圖分類號：TP391 文獻標識碼：A DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2016.04.010

0 引言

圖像是人類獲取信息的重要來源，圖像在形成、傳輸、處理等過程中勢必會受到噪聲的干擾，從而影響人眼或圖像設備對實際圖像的分析與理解。為了提高圖像質量，便于后續的圖像分割、特征提取、圖像分析等，圖像降噪顯得尤為關鍵。近年來，隨著數學理論的不斷發展與深化，逐步滲透到各個應用領域，模糊數學、小波理論、遺傳算法等被廣泛融入各種圖像處理算法。基于偏微分方程（partialdifferential equation，PDE）的各向異性擴散（anisotropicdiffusion，AD）方法以其優越的性能被廣泛應用于圖像降噪、圖像修復、圖像分割等，并取得了較大進展。與傳統的圖像降噪方法相比，各向異性擴散方法的突出優點是去除圖像噪聲的同時，能夠保留甚至增強圖像中的邊緣信息。這類算法包括PM模型、TV模型（Total Variation）等，其缺點是對于含有高程度噪聲或乘性噪聲的低信噪比圖像，容易丟失細小邊緣和紋理信息，從而影響降噪效果。

傳統的圖像降噪方法中，小波變換具有理想的多分辨率特性與時頻特性，能夠針對不同分辨率圖像和噪聲特點實現降噪。但小波變換只能獲取有限方向的細節信息，從而限制了其降噪效果。Donoho和Vetterlit31于2002年提出的Contourlet變換，是對小波變換進行的一種新擴展，其具有多分辨率、時頻局域化、各向異性等特點，能夠稀疏地表示圖像。Contourlet變換結合拉普拉斯金字塔和方向濾波器組，分開實現多尺度分解與方向分析，可充分體現圖像輪廓和高維奇異性等信息。Contourlet變換在圖像紋理檢測、圖像降噪方面的應用都取得較理想的效果。但由于分解前的下采樣和重構前的上采樣，導致Contourlet變換缺乏平移不變性，且存在頻譜混疊現象和高冗余度，在圖像降噪過程中易出現偽Gibbs現象，從而嚴重影響圖像質量。因此，近幾年來有人將小波變換、Contourlet變換等多尺度變換與各向異性擴散相融合，在有效去除圖像噪聲的同時，也能夠較好地保持邊緣信息。馬秀麗等及武曉玥等均將NSCT與TV擴散相結合，能夠大大減少Gibbs偽影，但算法引入了兩次TV擴散，計算復雜度較高，影響了計算效率。吳一全等提出Contourlet域的非線性擴散去噪，分別采用TV模型、PM模型對圖像低頻分量與高頻分量進行擴散，去除普通噪聲較理想。但對于強噪聲污染的圖像，上述幾種方法采用TV擴散均易產生階梯效應，影響處理效果。丁亮等采用不同強度的各向異性擴散對圖像Contourlet系數矩陣分別進行處理，能夠克服階梯效應，但受Contourlet變換的較強振蕩性、缺乏平移不變性的影響，導致降噪不夠充分。

近年來提出的復Contourlet變換（Complex Con-tourlet Transform）能夠在不同程度上解決上述模型存在的問題，復Contourlet變換采用雙樹復小波（DT-CWT）的多尺度分解與方向濾波器組（DFB）的方向分析，具有良好的平移不變性、低冗余度等優點。陳新武等提出了基于復Contourlet變換的紋理圖像檢索系統，克服了Contourlet變換時頻局部化特性差、缺乏平移不變性等不足，實現較高的檢索效率。吳一全等將復Contourlet變換與TV擴散、PM擴散結合實現圖像去噪，取得較優越的去噪效果，但對強噪聲的處理，仍會出現一定程度的階梯效應。

針對上述問題，本文將復Contourlet變換與改進型各向異性擴散方法相結合，增強各向異性擴散的圖像降噪效果，且復Contourlet變換能夠彌補各向異性擴散模型的不足。該算法的基本步驟為：首先通過復Contourlet變換對圖像進行分解得到高頻和低頻分量，然后高頻分量采用核各向異性擴散（kernel anisotropie diffusion，KAD）進行處理，低頻分量部分采用曲率驅動擴散（curvature-drivendiffusion，CDD）進行處理，最后，通過復Contourlet逆變換實現圖像重構，得到降噪圖像。本文提出的方法與上述文獻中的幾種方法進行對比，從定性與定量兩個方面來比較分析圖像降噪效果。

1 基于復Contourlet變換和各向異性擴散的圖像降噪

1.1 復Contourlet變換

復Contourlet變換由雙樹復小波（DT-CWT）多分辨率分解和方向濾波器組（DFB）的方向分析構成。DT-CWT變換由兩棵離散小波樹對實部與虛部實現并行運算，每層分解得到6個不同方向的高頻子帶和2個低頻子帶，并將DFB級聯于高頻子帶，進一步擴展高頻子帶，從而提高方向分辨率，更全面地描述圖像中的細節信息。復Contourlet變換關注幅值與相位兩方面信息，并具有時頻局部化特性好、近似的平移不變性等優點，確保在圖像分解和重構的過程中能夠完整地保留細節信息，提高降噪效果。

1.2 核各向異性擴散（KAD）

基于各向異性擴散的圖像降噪，其基本思想就是求解以原始圖像為初始值的非線性擴散方程，最初由Perona和Malik提出，簡稱PM模型。PM模型利用梯度算子來識別圖像中噪聲和邊緣引起的梯度變化，并采用領域加權平均的方式去除噪聲引起的梯度變化。PM模型由線性擴散方程改進而來，其連續形式為：

（1）其中，div表示散度算子，▽表示梯度算子，u₀表示原始圖像，||||表示幅度，c（||▽u||）表示擴散系數。進一步將（1）式進行離散化，得到相應的有限差分形式：

（2）其中，l是時間步長，p是像素位置，ξ_p是像素p的領域集，λ是加權值。梯度值為：

（3）Perona和Malik提出兩種形式的擴散系數c（||▽u||）為：

（4）

（5）其中，參數k是梯度閾值，（||▽u||/k）²決定了圖像降噪與細節保持的平衡度。

PM模型對于圖像污染程度較低的加性噪聲具有較理想的降噪效果，但對于低信噪比圖像與圖像中強噪聲污染的處理存在一定局限性，梯度算子難以區分噪聲和邊緣引起的梯度變化。這種情況下，PM擴散的去噪效果較差，甚至會引入新的噪聲。

圖像中的邊緣和噪聲均為高頻分量，且噪聲隨機分布于多維空間，從而可采用非線性方式映射到一個高維空間，然后在高維空間進行降噪。Yu等于2008年提出了核各向異性擴散模型（KAD），將圖像中噪聲和邊緣的識別看作非線性可分的分類問題，然后，通過核函數的非線性映射轉換成高維特征空間的線性可分問題，并利用梯度算子實現擴散過程的有效控制。KAD模型的理論依據來自于Cover定理，即：對于復雜非線性可分的模式分類問題，將輸入空間映射到高維空間更易于簡化和解決問題。假設存在非線性變換，可將原空間中的圖像數據映射到高維特征空間，則在高維特征空間中能夠更高效地實現降噪。

核方法可通過一組再生核函數有效地表示輸入數據的非線性關系，并且能夠簡化數據算法。核方法無需明確的映射函數，只要能將特征空間中的算法表達式轉換為內積形式，則該算法就能夠通過核函數轉換至相應的核方法。基于上述分析，由核擴散||▽[Φ（u）]||替代梯度幅度||▽u||，得到KAD模型的偏微分形式：

（6）相應的有限差分形式為：

（7）其中，||▽[ΦI（u）||表示由映射函數Φ所定義的特征空間的核梯度模，也稱為核邊緣檢測算子。

選擇式（5）作為PM模型的擴散函數，則相應的核擴散系數為：

（8）

梯度閾值k的合理選取對核擴散具關鍵性作用，影響核梯度幅度的擴散程度，k過小則無法有效降噪，k過大則會模糊細節。綜合考慮，采用Black等人提出的中值絕對偏差法（MAD）：

（9）

其中，MAD為零均值的正態分布函數。合適的梯度閾值保證核擴散能夠實現良好的降噪效果，同時保持圖像邊緣的完整性。

1.3 曲率驅動擴散（CDD）

TV模型由Rudin等人提出并應用于計算機視覺領域，是一種較理想的圖像正則化處理方法，被廣泛應用于圖像降噪。TV模型圖像降噪的基本思想是將問題歸結為一個泛函的最小化問題，即求解如下方程的最小值：

（10）其中，Ω表示圖像區域，λ是Lagrange常數，表示圖像的噪聲影響程度。相應的Euler-Lagrange方程為：

（11）其中，ψ滿足ψ（0）=0和limψ（x）=∞。

但TV模型易受區域大小的限制而不能滿足視覺“連接性準則”，在圖像降噪過程中易產生過度擴散。針對這個問題，Chan等人在TV模型的基礎上引入曲率項，提出曲率驅動擴散（CDD）模型，可通過曲率來調整各向異性擴散系數。CDD模型將TV模型的擴散系數1/|▽u|修正為g（|k|）/|▽u|，此處，g（|k|）為曲率k的增函數，確保CDD模型能夠在邊緣區域盡可能終止擴散，防止過度擴散。g（·）的定義為：

（12）

一般取g0）=s^p，s>0，p≥1。

可以得到CDD穩定模型：

（13）

其中，D是待處理區域，E是待處理區域的外領域。CDD模型的擴散強度受圖像灰度梯度值和等照度線曲率兩者的共同影響，在等照度線曲率較大處擴散強度隨之增大，隨著曲率的減小擴散強度逐漸減弱，從而解決了TV擴散不滿足“連接性準則”的問題，CDD模型具有良好的穩定性與理想的擴散效果。

1.4 基于復Contourlet和各向異性擴散的算法步驟

Step1：原始圖像的復Contourlet分解。

首先，原始含噪圖像由DT-CWT進行多分辨率分解，選擇“antonini”和“qshift_b”濾波器；然后，并將DFB級聯于高頻分量，對6個不同方向高頻分量進行分解，濾波器選擇“pkva”。

Step2：低頻分量處理。

原始圖像經過復Contourlet分解所得到低頻分量，主要是信號信息，噪聲信息基本都在高頻分量中。低頻分量采用曲率驅動擴散（CDD）模型進行擴散，CDD擴散受多重空間幾何信息的控制，具有良好的穩定性與理想的擴散效果。

Step3：高頻分量處理。

高頻分量包含大量的圖像細節與噪聲信息，因此，高頻分量的有效處理對算法的降噪效果有關鍵性影響。采用核各向異性擴散模型（KAD）對高頻分量進行擴散，并根據中值絕對偏差法（MAD）選取合適的梯度閾值k，確保理想的擴散效果。

Step4：降噪圖像重構。

將擴散后的低頻和高頻分量進行復Contourlet逆變換，實現圖像重構，得到降噪圖像。

復Contourlet圖像降噪算法流程如圖l所示。

2 實驗結果與分析

針對本文提出的復Contourlet變換與改進型各向異性擴散圖像降噪算法，采用大量各類噪聲圖像進行降噪效果的實驗。比較分析本文方法與文獻提出的NSCT與自適應TV擴散相結合的方法（NSCT TV）、文獻提出的基于Contourlet變換的各向異性擴散方法（CT AD）、文獻提出的復Contourlet變換與TV擴散及PM擴散結合的方法（CCT TP）的降噪效果。

對受高斯噪聲污染的標準圖像lena進行降噪實驗，噪聲均值為0，標準差為20，實驗結果如圖2所示。實驗過程中，NSCT TV方法和CT AD方法的均選擇“9-7”塔式分解和方向濾波器組進行三層分解；CCT_TP方法將圖像進行復Contourlet分解后，高頻部分進行TV擴散，低頻部分進行PM擴散。從視覺效果上來看，NSCT_TV方法能夠有效地減少Gibbs偽影，降噪效果較好，但是處理效率較低。CT_AD方法對噪聲具較好的抑制效果，但部分圖像細節和邊緣出現一定程度的模糊，CCT_TP方法能夠較好地保留圖像邊緣和紋理特征，但會產生一定的階梯效應。相比于其他幾種方法，本文方法不但能夠很好地抑制噪聲，而且提升了圖像視覺質量，很好地保持了圖像邊緣和細節特征。

定量分析采用均方差MSE，峰值信噪比PSNR和結構相似度SSIM三個指標對本文方法與上述方法的處理效果進行對比，如表1所示。MSE和PSNR表征各算法的降噪效果，MSE值越小，PSNR值越大則說明降噪效果越好。SSIM從結構、對比度和亮度三個方面測評兩幅圖像的相似度，SSIM值介于0和1之間，其值越接近1，則說明降噪效果越理想。

由表1可以看出，本文方法處理后圖像的MSE值最小，且MSE值至少比其他方法少20；PSNR值最大，且PSNR值比其他方法大1～3 dB；SSIM值為0.98，最接近于1。因此，驗證了本文算法的圖像降噪能力優于其他方法。

3 結論

本文提出復contourlet變換和各向異性擴散的圖像降噪算法，首先對圖像進行復contoudet分解，然后高頻分量采用KAD進行擴散，低頻分量采用cDD進行擴散，取得較好的降噪效果。經過大量的對比實驗表明，本文算法在主觀視覺效果與定量評價指標上，均優于上述NST TV方法、CT AD方法和CCT TP方法。本文算法具良好的平移不變性和抗振蕩性，在有效去除噪聲的同時，能夠較好地保留圖像邊緣和細節特征。