關于廣義量詞many的廣義三段論推理

李 晟，袁兆隆

(四川師范大學 a.邏輯與信息研究所,b.政治教育學院，成都 610066)

關于廣義量詞many的廣義三段論推理

李 晟a,b，袁兆隆a,b

(四川師范大學 a.邏輯與信息研究所,b.政治教育學院，成都 610066)

三段論在自然語言信息處理和知識推理中占據著突出的地位，它們在自亞里士多德以來的邏輯中也一直扮演著重要作用。我們用廣義量詞many對傳統三段論推理進行了擴展，利用廣義量詞理論和集合論，從語法上證明了14個廣義三段論推理的有效性。這一方法為其他廣義量詞的廣義三段論提供了一個簡單合理的數學模式。

傳統三段論；廣義三段論；廣義量詞；推理

一 引言

自亞里士多德以來的古代邏輯對直言三段論(categorical syllogisms)、假言三段論(hypothetical syllogisms)、預疑三段論(prosleptic syllogisms)[1]、模態三段論都有所研究。其中，影響最為廣泛的是起源于亞里士多德的直言三段論，在直言三段論的基礎上，經過哲學家和邏輯學家們的改進和發展，逐漸形成了傳統三段論[2]。經過深入研究，一些學者發現大多數自然語言推理不僅僅與傳統三段論推理有關，而且還與廣義三段論(generalized syllogisms)推理有關[3]。

傳統三段論揭示的是一階邏輯中的標準量詞(即全稱量詞和存在量詞)推理性質。在256個傳統三段論中，只有24個三段論才是有效的。事實上，在自然語言中，大部分三段論是廣義三段論，傳統三段論僅僅占一小部分。廣義三段論揭示的是廣義量詞的推理性質。正如廣義量詞是一階邏輯中的標準量詞的擴展一樣，廣義三段論是傳統三段論的擴展，因此也叫做擴展三段論[4]。正如對傳統三段論的有效性加以判斷是經典邏輯的重要內容一樣，對廣義三段論的有效性加以判斷則是現代邏輯(尤其是自然語言邏輯，更具體地說是廣義量詞理論)的重要內容。

對于廣義三段論及其有效性的研究，國外學者取得了可喜的成果。比如：Moss(2010)[5]使用動詞see或love對傳統三段論邏輯進行了擴展，在此基礎上，給出了關于{all,some,see}這一英語語言片段的完全性和可靠性證明；Murinová 和Novák(2012)[6]在Peterson(2000)[7]的廣義三段論研究的基礎上，利用模糊類型論(fuzzy type theory)這一高階模糊邏輯的知識，從語法上形式化地證明了包括24個有效的傳統三段論在內的105個廣義三段論的有效性。Endrullis和Moss(2015)[8]124-139研究了關于most這一居間量詞(intermediate quantifier)的廣義三段論的有效性，并給出了關于{all,some,most}這一英語語言片段的完全性和可靠性證明。

雖然國外學者對廣義三段論及其有效性的研究取得了這些成果，但是這些研究都存在著一定的缺憾。比如Murinová 和Novák(2012)[6]利用模糊類型論這一高階模糊邏輯知識，對廣義三段論的證明過程顯得繁瑣復雜。我們發現利用廣義量詞理論[9]和集合論的知識，就可以簡潔明了地對廣義三段論進行形式化及其有效性的證明。這正是本文主旨之所在。

正如廣義量詞可以包括一階邏輯中的標準量詞一樣，廣義三段論可以包括傳統三段論。在下文中，如果沒有特別說明，廣義量詞都是指包含一階邏輯中的兩個標準量詞的廣義量詞，廣義三段論都是指包含傳統三段論在內的廣義三段論。限于篇幅原因，本文把重點放在自然語言中常見的廣義量詞many的廣義三段論的有效性的探討上。

二 相關基礎知識

廣義量詞包括：全稱量詞和存在量詞、限定詞、以及由a/an、the或其他量化關系指稱所形成的所有名詞短語。比如，正好三個小孩、你的手、所有的商品、幾乎不、沒有、兩者都不、一打的、不超過五分之三的等，都是廣義量詞。在自然語言中，最常見的廣義量詞是〈1〉類型量詞和〈1,1〉類型量詞，而且“對〈1〉類型量詞的研究常?？梢赞D化成對〈1,1〉類型量詞的研究”[10]16，因此，〈1,1〉類型量詞是廣義量詞理論研究的重點。在自然語言中，大多數限定詞對應的都是〈1,1〉類型廣義量詞。

下面我們給出本文將用到的廣義量詞的真值定義。

定義1：常見廣義量詞的真值定義

(1)all(S,P)?S?P；

(2)no(S,P)?S∩P=?；

(3)some(S,P)?S∩P≠?；

(5)most(S,P)?|S∩P|≥0.5|S|；

(7)many(S,P)?|S∩P|≥0.6|S|；

(9)almost all(S,P)?|S∩P|≥0.9|S|；

根據定義1，直觀上，在相同的論域下，我們很容易得到以下事實。

事實0：

(1)的意思是，由“所有的S都是P”，可以推出“大多數S都是P”；(4)的意思是，由“大多數S都不是P”，可以推出“有些S不是P”；其他的意思類似。

證明：(1)假設all(S,P)成立，根據定義1的(1)可知：all(S,P)?S?P，而|S∩P|=|S|≥0.5|S|，即|S∩P|≥0.5|S|，再根據定義1的(5)“most(S,P)?|S∩P|≥0.5|S|”可知：most(S,P)成立。證畢。

(8)的證明與(4)的證明類似，而其他的證明則與(1)的證明類似。

三 關于many的有效的廣義三段論推理模式及其證明

在Murinová與Novák(2012)[6]、林勝強和張曉君(2014)[11]、張曉君(2014)[12]等人工作的基礎上，我們可給出如下14個關于many的有效的廣義三段論推理模式及其證明。

事實1：廣義三段論all(M,P) &many(S,M) ?many(S,P)是有效的。

證明：假設all(M,P) &many(S,M)這兩個前提都成立，那么根據定義1對all和many的真值定義可知：all(M,P)?M?P，many(S,M)?|S∩M|≥0.6|S|。即：M?P且|S∩M|≥0.6|S|，因此，|S∩P|≥0.6|S|。再根據many的真值定義可知：many(S,P)成立。證畢。

例如：(1)大前提：所有的蘋果都賣完了。

小前提：很多上周進的水果都是蘋果。

結論：很多上周進的水果都賣完了。

這一廣義三段論實例例證了事實1是有效的。

事實2：廣義三段論all(M,P) &many(S,M)?most(S,P)是有效的。

證明：根據事實1可知：all(M,P) &many(S,M)?many(S,P)，再根據事實0的(11)可知：many(S,P)?most(S,P)，因此，all(M,P) &many(S,M)?most(S,P)。事實2得證。

事實3：廣義三段論all(M,P) &many(S,M)?some(S,P)是有效的。

根據事實1和事實0的(7)可以直接證得事實3。

事實4：廣義三段論all(M,P) &almost all(S,M)?many(S,P)是有效的。

證明：假設all(M,P) &almost all(S,M)這兩個前提都成立，那么根據定義1對all和almost all的真值定義可知：all(M,P)?M?P，almost all (S,M)?|S∩M|≥0.9|S|。即：M?P且|S∩M|≥0.9|S|，因此，|S∩P|≥0.9|S|。再根據almost all的真值定義可知：almost all (S,P)成立。再根據事實0的(9)“almost all(S,P)?many(S,P)”可知：many(S,P)成立。證畢。

事實6的證明與事實5的證明類似。

例如：(2)大前提：所有的山西人都習慣把多年積攢的錢財留給兒女。

小前提：在成都打工的人中沒有人習慣把多年積攢的錢財留給兒女。

結論：在成都打工的人中很多人都不是山西人。

這一廣義三段論實例例證了事實7是有效的。

事實8的證明與事實7的證明類似。

例如：(3)大前提：所有在市中心買寫字樓的人都是本地人。

小前提：很多做藥材生意的人都不是本地人。

結論：很多做藥材生意的人都沒有在市中心買寫字樓。

這一廣義三段論實例例證了事實9是有效的。

根據事實9和事實0的(12)可以證明事實10。

事實11的證明與事實5的類似。

根據事實11和事實0的(12)可以直接證得事實12。

事實13的證明與事實5的類似。

四 結論

通過仔細觀察上述14個關于many的有效的廣義三段論推理模式，就會發現：這些有效的三段論在前提中要么包含all這樣的全稱肯定命題(事實1-4、事實7-10、事實14這9個事實就是如此)，要么包含no這樣的全稱否定命題(事實5-8、事實10-13、事實14這9個事實就是如此)，要么二者兼之(事實7、事實8和事實14這3個事實就是如此)。這一規律與傳統三段論的規律是吻合的，即：當肯定或否定一類對象的全部時，也就肯定或否定了這類對象中的部分。這一規律對于其他廣義量詞(比如most、few、at lest half of the、almost all等)是否也成立呢？雖然我們還不能夠對此斷然下結論，但是這一規律將為我們尋找關于其他廣義量詞的有效的廣義三段論，還是有很大的啟迪作用的。

事實上，利用本文的研究方法，還可以研究由兩個及其以上的廣義三段論嵌套而成的語篇推理的有效性。例如：“所有的蘋果都賣完了，很多上周進的水果都是蘋果，所以很多上周進的水果都賣完了。上周進的所有水果都是從城北批發市場進的，所以很多上周從城北批發市場進的水果都賣完了?！边@一語篇推理其實是有兩個廣義三段論組成，而且第一個三段論的結論是第二個三段論的大前提。

總之，本文充分利用了包含〈1,1〉類型廣義量詞的語句可表示成Q(S,P)這樣的三分結構，以及這類量詞的真值定義和簡單的集合論知識，對廣義三段論進行了簡潔明了的形式化表示和證明。自然語言中〈1,1〉類型廣義量詞非常多，而利用本文的研究方法，就可以對其他廣義量詞的廣義三段論進行形式化，以及對它們有效性進行證明。因此，本文的研究方法具有很大的普適性和廣泛的應用價值，尤其是對自然語言信息處理和計算機科學中的知識表示和知識推理而言更是如此，而且這些研究也將推動廣義量詞理論向縱深方向發展。

[1]BOBZIEN S.Ancient Logic[EB/OL].[2016-01-26].http://plato.stanford.edu/entries /logic-ancient,2015.

[2]余維發.亞里士多德三段論與其他傳統三段論之區別[J].哈爾濱學院學報,2006，(9):23-26.

[3]郝一江.自然語言語篇推理的形式化探究[J].湖南科技大學學報(社會科學版),2016，(1):33-37.

[4]張曉君,林勝強.如何利用廣義量詞的語義性質判斷擴展三段論的有效性[J].邏輯學研究，2013，(2):42-56.

[5]MOSS L.S.Syllogistic logics with verbs[J].Journal of Logic and Computation,2010,20(4):947-967.

[7]PETERSON P.Intermediate Quantifiers: Logic,Linguistics,and Aristotlian Semantics[M].Aldershot：Ashgate,2010.

[8]ENDRULLIS J,MOSSL S.Syllogistic logic with “Most”[C]//V.de Paiva et al.(eds.).Logic,Language,Information,and Computation,Volume 9160 of the series Lecture Notes in Computer Science.2015.

[9]PETERS S,WESTERSTHL D.Quantifiers in Language and Logic[M].Oxford: Claredon Press,2006.

[10]林勝強.廣義量詞的現代對當方陣研究[J].四川師范大學學報(社會科學版),2015,(1):15-20.

[11]林勝強,張曉君.廣義量詞的推理模式研究[J].湖南科技大學學報(社會科學版),2014,(6):29-33。

[12]張曉君.廣義量詞理論研究[M].廈門：廈門大學出版社，2014.

[責任編輯：帥 巍]

Generalized Syllogistic Reasoning Including the Generalized Quantifier “many”

LI Shenga,b,YUAN Zhao-longa,b

(a.Institute of Logic and Information,b.College of Political Education,Sichuan Normal University,Chengdu,Sichuan 610066,China)

Syllogistic arguments are prominent in natural language information processing and knowledge reasoning,and they have played important role in logic since Aristotle .The generalized quantifier “many” is applied in this paper to expand the traditional reasoning of generalized syllogisms,and the validity of 14 generalized syllogisms is syntactically proved by means of generalized quantifier theory and set theory.This method provides a simple and reasonable mathematical model of generalized syllogisms for other generalized quantifiers.

classical syllogisms;generalized syllogisms;generalized quantifiers;reasoning

2016-03-06

國家社科基金西部項目“面向中文信息處理的漢語主謂句的邏輯語義及其推理模式研究”(15XYY012)。

李晟(1986—)，男，四川德陽人，邏輯學博士，四川師范大學邏輯與信息研究所研究員，主要研究現代邏輯、自然語言邏輯等；

袁兆隆(1992—)，男，廣東中山人，四川師范大學政治教育學院碩士研究生，主要研究現代邏輯和自然語言邏輯。

B812.23

A

1000-5315(2017)01-0015-05