2016年高考四川卷解析幾何壓軸題的五種求解視角

蔡勇全

一、試題再現與評價

已知橢圓E： x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點，點P（3，12）在橢圓上.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）設不過原點O且斜率為12的直線l與橢圓E交于不同的兩點A、B，線段AB的中點為M，直線OM與橢圓E交于C、D，求證：|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.

這道題目是2016年高考四川卷文科第20題，屬于解析幾何壓軸題，筆者有幸參與了本次試卷評閱工作，從試卷布局、試題難度以及評閱結果等情況分析來看，本題是整套試卷的壓軸題之一，尤其是第（Ⅱ）小問，放棄不做、胡亂書寫以及找不到解題突破口而導致得分率較低的現象比比皆是，究其原因，在于該小問綜合性強，解法靈活多樣，涉及的知識點較多，要求的運算能力較強，對學生的解題技能提出了較高的要求.

二、多視角求解

（Ⅰ）由題意可知，a=2b.又橢圓E過點P（3，12），則有34b2+14b2=1，解得b2=1，所以橢圓E的方程為x24+y2=1.

下面從五種視角探討本題第（Ⅱ）小問的求解策略，供大家參考.

視角一 借助兩點間距離公式及韋達定理

設直線l的方程為y=12x+m（m≠0），并設A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），由題意知x1≠x2.

聯立方程組x24+y2=1，y=12x+m，

化簡并整理得x2+2mx+2m2-2=0，x1與x2為此方程的兩個實根，所以x1+x2=-2m，x1x2=2m2-2，且由Δ>0可以得到-2

因為點M為線段AB的中點，所以x0=x1+x22=-m，y0=12x0+m=m2，點M的坐標為（-m，m2），所以直線OM的方程為y=-12x，

聯立方程組x24+y2=1，y=-12x解得點C（-2，22），D（2，-22），因此可得到|MC|·|MD|=（-m+2）2+（m2-22）2×

（-m-2）2+（m2+22）2=52（2-m）×52（2+m）=54（2-m2）.又因|MA|=|MB|，y1=12x1+m，y2=12x2+m，y1-y2=12（x1-x2），所以可以得到|MA|·|MB|=14|AB|2=

14[（x1-x2）2+（y1-y2）2]2=14[（x1-x2）2+

14（x1-x2）2]=516[（x1+x2）2-4x1x2]=

516[（-2m）2-4（2m2-2）]=54×（2-m2），因此，|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.

評注 判別式與韋達定理雖是代數基礎知識，但卻是求解解析幾何問題的利器與法寶，尤其是在解答直線與圓錐曲線相交問題時，其作用往往不可小覷.

視角二 借助點差法、韋達定理及兩點間距離公式

設A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），x1≠x2，所以x214+y21=1，x224+y22=1，兩式相減得，（x1-x2）（x1+x2）4+（y1-y2）（y1+y2）=0，即（x1-x2）x04+（y1-y2）y0=0，所以y0x0=-x1-x24（y1-y2）=-12，即x0=-2y0，點M的坐標為（-2y0，y0），所以直線l的方程為y-y0=12（x+2y0），即y=12x+2y0，直線OM的方程為y=-12x.由方程組x24+y2=1，y=12x+2y0可得x2+4y0x+8y20-2=0，x1與x2為此方程的兩個實根，由Δ>0可得-2<2y0<2，x1+x2=-4y0，x1x2=8y20-2.又因為|MA|=|MB|，y1=12x1+2y0，y2=12x2+2y0，y1-y2=12（x1-x2），所以|MA|·|MB|=14|AB|2=14[（x1-x2）2+（y1-y2）2]2=14[（x1-x2）2+14（x1-x2）2]=516[（x1+x2）2-4x1x2]=516[（-4y0）2-4（8y20-2）]=52（1-2y20）.

由方程組x24+y2=1，y=-12x可得C（-2，22），D（2，-22），因此可得|MC|·|MD|=（-2y0+2）2+（y0-22）2·

（-2y0-2）2+（y0+22）2=52（2-2y0）×52（2+2y0）=52（1-2y20），故|MA|·

|MB|=|MC|·|MD|.

評注 利用點差法直接找到了點M的橫、縱坐標之間的關系，避免了出現視角一中先利用中點坐標公式求得點M的橫坐標、再代入直線l的方程求得點M的縱坐標的運算過程，顯得簡捷高效.

視角三 借助向量的兩種運算及韋達定理

設直線l的方程為y=12x+m（m≠0），并設A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），x1≠x2.聯立方程組x24+y2=1，y=12x+m，化簡并整理得x2+2mx+2m2-2=0，x1與x2為此方程的兩個實根，所以x1+x2=-2m，x1x2=2m2-2，x0=x1+x22=-m，y0=12x0+m=m2，點M的坐標為（-m，m2），因為A、B兩點在直線l上，所以有y1=12x1+m，y2=12x2+m，y1y2=14x1x2+m2（x1+x2）+m2=12m2-12，y1+y2=12（x1+x2）+2m=m.又因MA=（x1+m，y1-m2），MB=（x2+m，y2-m2）， 所以有MA·MB=|MA|·|MB|cos180°=-|MA||MB|=（x1+m）（x2+m）+（y1-m2） （y2-m2）=x1x2+m（x1+x2）+y1y2-m2（y1+y2）+5m24=54m2-52.

因為點M的坐標為（-m，m2），所以直線OM的方程為y=-12x，由方程組

x24+y2=1，y=-12x解得點C（-2，22），D（2，-22），因為MC=（-2+m，22-m2），

MD=（2+m，-22-m2），

所以MC·MD=|MC||MD|cos180°=-|MC||MD|=（2+m）（-2+m）+（-22-m2）（22-m2）=5m24-52，因此可得-|MA||MB|=-|MC||MD|，故|MA||MB|=|MC||MD|

.

評注 引入向量并借用其兩種運算形式，可以使幾何問題代數化，達到事半功倍的解題效果.

視角四 借助直線參數方程、韋達定理及兩點間距離公式

設點M（x0，y0），直線l的參數方程為x=x0+255t，y=y0+55t，t為參數.將直線l的參數方程代入橢圓E的方程并整理得到8t2+45（x0+2y0）t+5x20+20y20-20=0，則Δ=80（x0+2y0）2-4×8（5x20+20y20-20）>0 ，即有（x0-2y0）2-8<0，且t1+t2=-52（x0+2y0），t1t2=5x20+20y20-208

.由于M是線段AB的中點，所以t1+t2=0，故x0=-2y0，代入（x0-2y0）2-8<0可得-2<2y0<2，因此|MA|·|MB|=|t1|·|t2|=|t1t2|=|5x20+20y20-208|=|5（-2y0）2+20y20-208|=52（1-2y20）.

又直線OM的方程為y=-12x，由方程組x24+y2=1，y=-12x可得C（-2，22），D（2，-22），又因M（-2y0，y0），故

|MC|·|MD|=（-2y0+2）2+（y0-22）2×（-2y0-2）2+（y0+22）2=

52（2-2y0）×52（2+2y0）=52（1-2y20），所以|MA|·|MB|=

|MC|·|MD|.

評注 利用直線或曲線的參數方程解決解析幾何問題，可以極大地簡化運算、減少運算量，達到快速解題的效果.

我們知道，在平面直角坐標系內，若A（x1，y1），B（x2，y2）為l：y=kx+b上不同兩點，則|AB|=（x1-x2）2+（y1-y2）2=（x1-x2）2[1+（y1-y2x1-x2）2]=1+k2|x1-x2|.借用這一知識，也能實現本題的如下快速解答：

視角五 借助弦長公式及韋達定理

設直線l的方程為y=12x+m（m≠0），并設A（x1，y1），

B（x2，y2），M（x0，y0），由題意知x1≠x2.

聯立方程組x24+y2=1，y=12x+m.

化簡并整理得x2+2mx+2m2-2=0，x1與x2為此方程的兩個實根，所以x1+x2=-2m，x1x2=2m2-2，且由Δ>0可以得到-2

因為點M為線段AB的中點，所以x0=x1+x22=-m，y0=12x0+m=m2，點M的坐標為（-m，m2），所以直線OM的方程為y=-12x，

由方程組x24+y2=1，y=-12x

可得C（-2，22），D（2，-22）.

首先，|MA|·|MB|=1+（12）2|x1-（-m）|·1+（12）2|x2-（-m）|=54|x1+m|·|x2+m|=54|x1x2+m（x1+x2）+m2|=54|2m2-2+m（-2m）+m2|=54|m2-2|=54（2-m2）.

其次，|MC|·|MD|=1+

（-12）2|

-2-m|·1+

（-12）2|2-（-m）|=54|m-2|·|m+2|=54|m2-2|=54（2-m2），所以

|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.

評注 公式|AB|=1+k2·|x1-x2|原本是用于計算直線與曲線相交時所得弦的長度，但本題

|MA|、|MB|、|MC|、|MD|都不是弦，卻巧妙地應用了該公式，其實是抓住了該公式可用于計算平面直角坐標系內任意橫坐標不相等的兩點間的距離這一本質內涵.

三、解題啟示

眾所周知，運算量大是解析幾何問題的突出特點，而運算量大的根源在于此類題目必然出現直線與曲線或曲線與曲線具有某種位置關系這一條件，但從如上案例的多種求解思路不難看出，抓住代數知識中的韋達定理應是求解此類問題的必經之路，同時抓住幾何內容中的參數方程、弦長公式以及實現代數與幾何相互轉化的向量工具等知識，是共同構成簡化運算、高效解題的不二法門，因此，在平時的教學中，我們應把這些知識、方法的掌握真正落到實處，為提高解題的有效性提供必要的保障.

（收稿日期：2016-07-12）