聚焦數學期望的交匯性

劉淑靜

數學學科的系統性和嚴謹性決定了數學知識之間深刻的內在聯系. 這里的聯系，既包括各部分知識在各自發展過程中的縱向聯系.又包括各部分知識之間的橫向聯系，知識的縱橫聯系必然形成知識網絡的交匯，近年來“強調基礎、能力立意、在知識網絡交匯點處設計試題”已經成為最近兩年高考試題的主要特色.因此，在學習中，應該關注并研究數學交匯問題的求解，以開拓視野，進一步提高數學的思維能力.本文結合實例簡要介紹數學期望與其他知識的交匯性.

一、與不等式整合

例1 若隨機事件A在1次試驗中發生的概率為p（0

（1）求方差Dξ的最大值；

（2） 求2Dξ-1Eξ的最大值.

解析 隨機變量ξ的所有可能取值為0，1，并且有P（ξ=1）=p， P（ξ=0）=1-p，

從而Eξ=0×（1-p）+1×p=p，Dξ= （0-

p）2×（1-p）+ （1-p）2×p=p-p2，

（1）Dξ =p-p2=-（p2-p+14）+14=- （p-12） 2+14，∵0

（2） 2Dξ-1Eξ= 2（p-p2）-1p=2-（2p+1p），

方形，則必能分割成（k+4）-1=k+3個正方形.故第一步應對n=6，7，8

的情形加以驗證.第二步，則只需從k遞推到k+3.

證明：（1）當n=6，7，8時，由圖1中各圖所示的分割方法知，命題成立.

圖1

（2）假設當n=k（k∈N*，且k≥6）時命題成立，即一個正方形必能分割成k個正方形.那么，只要把其中任意一個正方形兩組對邊的中點分別連結起來，即把該正方形再分割成4個小正方形，則正方形的個數就增加了3個.因而原正方形就分割成了k+3個正方形，即當n=k+3時命題也成立.

因為任何一個大于5的自然數n都可以表示成6+3p，7+3p，8+3p（p∈N）中的一種形式，所以根據（1）和（2），可知命題對任何大于5的自然數n都成立.

五、歸納、猜想、證明

例5 （2015年湖北）已知數列an的各項均為正數，bn=n（1+1n）nann∈N+.計算b1a1，b1b2a1a2，b1b2b3a1a2a3，由此推測計算b1b2…bna1a2…an的公式，并給出證明.

解 b1a1=1·（1+11）1=1+1=2；

b1b2a1a2=b1a1·b2a2=2·2（1+12）2=（2+1）2=32；

b1b2b3a1a2a3=b1b2a1a2·b3a3=32·3（1+13）3=（3+1）3=43.

由此推測： b1b2…bna1a2…an=（n+1）n. （*）

證明 下面用數學歸納法證明：

（1）當n=1時，左邊=右邊=2，（*）式成立.

（2）假設當n=k（k∈N+）時，（*）式成立，即b1b2…bka1a2…ak=（k+1）k.

當n=k+1時，bk+1=（k+1）（1+1k+1）k+1ak+1，由歸納假設可得

b1b2…bkbk+1a1a2…akak+1=b1b2…bka1a2…ak·bk+1ak+1=（k+1）k（k+1）（1+1k+1）k+1=（k+2）k+1.

所以當n=k+1時，（*）式也成立.

根據（1）和（2），可知（*）式對一切正整數n都成立.

（收稿日期：2016-07-12）