用幾何的觀點(diǎn)解釋線性代數(shù)問題

王恒太　許友軍　鄭立景　馮軍詞

摘 要： 本文主要從幾何角度解釋了線性代數(shù)中的概念、定理和主要結(jié)論。

關(guān)鍵詞： 線性代數(shù) 解析幾何 嵌入式教學(xué)

一、線性代數(shù)和解析幾何的分析和比較

線性代數(shù)是普通高等學(xué)校理工科開設(shè)的一門基礎(chǔ)課，主要研究線性方程的解的結(jié)構(gòu)及應(yīng)用，課時(shí)短，概念多且抽象，與高中所學(xué)知識(shí)銜接不大，在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用背景少。目標(biāo)已經(jīng)從中學(xué)時(shí)的求解具體方程組轉(zhuǎn)化為判斷抽象的方程組有無(wú)解的問題。同時(shí)解的個(gè)數(shù)會(huì)出現(xiàn)無(wú)窮個(gè)情況，于是將無(wú)窮個(gè)解用有限個(gè)解表示出來(lái)成為大學(xué)里線性代數(shù)要解決的問題之一。因此，大多數(shù)理工科學(xué)生在學(xué)習(xí)中感覺困難大，理解起來(lái)困難。

所謂解析幾何，就是在空間建立直角坐標(biāo)系后，使空間的點(diǎn)與坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng)，而空間中的線和面作為點(diǎn)的軌跡與它的方程建立聯(lián)系[1]。理科里有專門的解析幾何課程，有的與高等代數(shù)合為一門課程，工科專業(yè)學(xué)生的解析幾何部分出現(xiàn)在高等數(shù)學(xué)某一章中。在解析幾何中介紹二維和三維向量的幾何表示及意義，二維的曲線和三維的曲面是后面研究的必備基礎(chǔ)。正是有了直觀的幾何映像，學(xué)生更有興趣和動(dòng)力學(xué)習(xí)解析幾何.

線性代數(shù)的語(yǔ)言是抽象且富于概括性的，因此是比較難以理解的。解析幾何的研象主要是低維的，在現(xiàn)實(shí)世界中能夠找到例子或者畫出，相對(duì)來(lái)言更直觀和易懂。可以用代數(shù)知識(shí)解決具體幾何問題，也可以用解析幾何形象地闡述代數(shù)問題，在教學(xué)中二者不可分離。

線性代數(shù)中的概念、定理比較抽象，對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)難以理解，原因之一是在現(xiàn)實(shí)生活中缺乏實(shí)例和直觀圖示。解析幾何中的曲線和曲面在線性代數(shù)教學(xué)中起著模型和示例作用。通過(guò)長(zhǎng)期教學(xué)實(shí)踐，我們發(fā)現(xiàn)這些具體模型對(duì)幫助學(xué)生理解抽象的概念和理論起著重要作用。這些模型將抽象的代數(shù)概念、代數(shù)過(guò)程、代數(shù)結(jié)構(gòu)具體化，幫助學(xué)生完成從具體到抽象、再?gòu)某橄蟮骄唧w的認(rèn)知過(guò)程。

二、將二者結(jié)合起來(lái)學(xué)習(xí)的必要性

1.有助于加深學(xué)生對(duì)這兩門學(xué)科的理解。

這兩門課有一個(gè)共同的研究對(duì)象——向量。在線性代數(shù)中，研究的都是n維向量，由于現(xiàn)實(shí)世界的局限性，我們只能畫出三維以下的向量，對(duì)于高維向量，只能將它的每一個(gè)分量寫出來(lái)，不能給人直觀的認(rèn)識(shí)，也就沒有直觀的幾何解釋。這就要求教師從解析幾何中二維和三維向量的直觀幾何映像推測(cè)出高維向量的性質(zhì)，然后用代數(shù)嚴(yán)密的語(yǔ)言證明。在幾何上，n維向量的每一個(gè)分量都決定了它在高維空間中的位置，在代數(shù)上，n維向量的每一個(gè)分量都有其具體的含義。換句話說(shuō)，解析幾何為線性代數(shù)提供了直觀背景，線性代數(shù)為解析幾何提供了研究工具[2]。事實(shí)上，線性代數(shù)的許多概念、過(guò)程和結(jié)論都存在幾何原型，一些抽象的代數(shù)結(jié)論有了幾何解釋以后，常常會(huì)變得通俗易懂。相反，很多看起來(lái)復(fù)雜的幾何結(jié)論，如果從代數(shù)觀點(diǎn)來(lái)看，則十分簡(jiǎn)易且通俗易懂。更重要的是線性代數(shù)作為一門抽象思維學(xué)科，給出更為本質(zhì)、更為廣泛的結(jié)果，從這個(gè)角度講，線性代數(shù)可以視為高維空間的解析幾何。解析幾何中的向量是線性代數(shù)中向量的具體和低維情形。通過(guò)研究高維向量的線性相關(guān)性和正交化等特點(diǎn)，對(duì)低維向量和空間圖形的面積和體積有更深刻的理解。

2.有助于培養(yǎng)同學(xué)們多學(xué)科交叉學(xué)習(xí)能力。

未來(lái)的世界是信息時(shí)代，嚴(yán)格意義上講已經(jīng)沒有學(xué)科的界限，我們獲取的信息可能綜合了各門學(xué)科的知識(shí)，必須具備各學(xué)科的知識(shí)才能將信息讀懂并得到需要的資料，將線性代數(shù)與解析幾何結(jié)合，正是讓我們從另一個(gè)側(cè)面將向量線性相關(guān)性正交化過(guò)程和曲線的方程轉(zhuǎn)變形理解得更加深刻，對(duì)提高本科教學(xué)質(zhì)量、培養(yǎng)更全面的人才有巨大的幫助。

三、教師應(yīng)該注意的問題

1.應(yīng)該對(duì)兩門課都比較熟悉。

在全日制高校中教師要想上好線性代數(shù)課，前提是應(yīng)該系統(tǒng)教過(guò)微積分中的解析幾何部分或者給數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生上過(guò)高等代數(shù)與解析幾何，切實(shí)要求老師對(duì)各學(xué)科有較強(qiáng)的把握，對(duì)這兩門課中各個(gè)知識(shí)點(diǎn)在大綱中要求的程度，學(xué)生掌握程度有一個(gè)直觀了解，切忌想讓兩門學(xué)科結(jié)合起來(lái)，限于自己水平有限，學(xué)生一知半解、適得其反。

2.切忌用未講過(guò)的內(nèi)容解釋正在講的內(nèi)容[3]。

線性代數(shù)和微積分都是大學(xué)一年級(jí)課程，各知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)總有一個(gè)先后順序，教師在使用解析幾何知識(shí)的時(shí)候一定要注意學(xué)生是否學(xué)習(xí)此知識(shí)點(diǎn)。如果沒有學(xué)習(xí)，教師就盡量不要使用此知識(shí)點(diǎn)解釋代數(shù)問題，否則學(xué)生會(huì)處于同時(shí)接受兩門課并且應(yīng)用的處境，不僅起不到讓學(xué)生加深理解的目的，反而打擊學(xué)生積極性。

3.教師教學(xué)要不斷創(chuàng)新，與時(shí)俱進(jìn)。

解析幾何是圖形學(xué)科，因此具有直觀性和形象性，為了形象地將解析幾何知識(shí)滲透到線性代數(shù)中，需要教師畫許多圖形，如果在黑板上徒手畫圖，難度很大，因此需要教師充分利用多媒體技術(shù)將圖形畫出來(lái)，不同部位的顏色加以區(qū)別，必要時(shí)以動(dòng)畫形式顯現(xiàn)，讓同學(xué)們有更直觀的認(rèn)識(shí)，如在講解線性方程組解的結(jié)構(gòu)時(shí)，先將特解顯現(xiàn)出來(lái)，然后將導(dǎo)出組的通解以不同顏色顯現(xiàn)，再次利用向量合成的定義將二者合成為齊次線性方程組的通解。

4.充分利用MOOC教學(xué)的研究成果。

MOOC（massive open online course）是大規(guī)模在線開放課程的簡(jiǎn)稱，有的地方稱為“慕課”。自2012年以來(lái)，MOOC在全球發(fā)展迅速，獲得了公眾超乎想象的關(guān)注，對(duì)MOOC的繼續(xù)發(fā)展當(dāng)然大有益處。清華大學(xué)、國(guó)防科技大學(xué)等高校在國(guó)內(nèi)處于領(lǐng)先地位，教師可以引導(dǎo)同學(xué)們到網(wǎng)上觀看相關(guān)視頻，吸收不同老師的上課風(fēng)格，加深對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的理解。同時(shí)，利用網(wǎng)絡(luò)上已有的成果，課后給學(xué)生布置一些代數(shù)與幾何相結(jié)合的題目，培養(yǎng)學(xué)生用代數(shù)和幾何兩種觀點(diǎn)和視角互相滲透的習(xí)慣，讓學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)時(shí)自覺從解析幾何中找相關(guān)模型，在學(xué)習(xí)解析幾何時(shí)自覺用代數(shù)語(yǔ)言驗(yàn)證并推廣相關(guān)結(jié)果。學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)時(shí)可以看與線性代數(shù)相關(guān)的視頻，從一個(gè)更廣更深的層面理解所學(xué)知識(shí)。利用并修改健全MOOC教學(xué)課后評(píng)價(jià)體系和考試系統(tǒng)，思考并創(chuàng)建一些開放性題目，培養(yǎng)同學(xué)們發(fā)散性思維能力，改變當(dāng)前單純知識(shí)點(diǎn)的模式。

四、結(jié)語(yǔ)

通過(guò)以上討論，我們看到將解析幾何滲透到線性代數(shù)中使我們受益匪淺，同時(shí)多學(xué)科交叉已經(jīng)成為當(dāng)前學(xué)習(xí)和研究的一種趨勢(shì)，我們把這兩門學(xué)科結(jié)合后的效果展示給大家固然重要，但是培養(yǎng)同學(xué)們自覺養(yǎng)成這種習(xí)慣更加重要，如果充分利用網(wǎng)絡(luò)中已有成果，充分吸收各家之長(zhǎng)，就會(huì)使同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的道路上越走越寬。

參考文獻(xiàn)：

[1]王穎.將解析幾何融入線性代數(shù)教學(xué)的思考[J].高師理科學(xué)刊，2013，33（4）：62-64.

[2]騰樹軍.線性代數(shù)的幾何化與應(yīng)用化教學(xué)探討[J].河北工業(yè)大學(xué)成人教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，23（3）：23-28.

[3]王穎.探析多媒體在線性代數(shù)教學(xué)中的正確使用[J].教育教學(xué)論壇，2013（6）：199-200.

本文受南華大學(xué)船山學(xué)院教學(xué)建設(shè)項(xiàng)目（2015CY011）資助。