運用十字交叉法巧解雞兔同籠及類型問題

殷云峰

摘 要： 雞兔同籠是我國古代著名的數學趣題，是現行中學數學教學中的重點問題，教材中是利用方程思想、列表舉例等方法處理的。

關鍵詞： 雞兔同籠 金雞獨立法 列方程法 列表法 十字交叉解法

一、引入問題

大約在1500年前，《孫子算經》記載了這個有趣的問題。書中是這樣敘述的：“今有雉兔同籠，上有二十頭，下有五十四足，問雉兔各幾何？”這四句話的意思就是：有若干只雞和兔在同一個籠子里，從上面數有二十個頭，從下面數有五十四只腳，求籠中各有幾只雞和兔。

二、解法歸納

事實上解法是多種多樣的，我在平時教學過程中總結出運用十字交叉法解決雞兔同籠這類型問題，此方法更簡單易行，下面通過舉例對比加以說明。

1.古代數學家孫子的解法——金雞獨立法

數學家孫子提出大膽的設想，他假設砍去每只雞、每只兔一半的腳，則每只雞就變成“獨腳雞”，而每只兔就變成“雙腳兔”。這樣“獨腳雞”和“雙腳兔”的腳就由54只變成27只；這時每只“雞”有1頭1腳數，每只“兔”有1頭2腳數。由此可知，有一只“雙腳兔”，腳的數量就會比頭的數量多1，所以“獨角雞”和“雙腳兔”的腳的數量與它們的頭的數量之差就是兔子的只數，即27-20=7（只）；雞的數量就是：20-7=13（只）。

2.現行課本中的解法

（1）列方程法——方程思想（設雞求兔或設兔求雞）

解：設兔有x只，那么雞有（20-x），根據題意有：

4x+2（20-x）=54

4x+40-2x =54

x=7

則雞的只數為：20-7=13（只）。

或設兔有x只，雞有y只，則根據題意有：

x+y=204x+2y=54

解得x=7 y=13。

即兔有7只，雞有13只。

（2）列表法——取“中”舉例列表

由于雞兔共有20只，因此各取10只，接著在列表中根據實際數據確定舉例方向。

如當雞和兔都為10只時，腳共有60只，而題目中是54只，說明兔子數多了，應減少兔子數，最終找出問題的結果。

由上表可知，對應的雞為13只，兔為7只。

3.十字交叉解法展示

運用十字交叉法解決雞兔同籠，其實質是極端思想，向兩邊走即假設籠中全是雞，或假設籠中全是兔，而實際上并不全是雞，也并不全是兔，而是雞中有兔，兔中有雞。所以這里出現的54足既有雞的腳，又有兔的腳，要作為十字交叉法的中間量，具體解決過程如下：

通過上面幾種解法的比較，可以看出十字交叉法顯得更簡單，只需我們朝兩個極端思考，找出中間量與它相減，求比，得答案。這種方法對拓寬學生的解題思維，提高學生創新能力都具有良好效果。下面我把十字交叉法的解題過程用簡短的幾句話小結出來以幫助學生。

“雞兔籠；朝極端；算雞腿。再極端；算兔腿。中間量；放中間；十字交；大減小。求比例；比例分；得答案”。

4.變式兩例（和雞、兔同籠是同一個數學模型）

變式1：小明的儲蓄罐里有1角和5角的硬幣共27枚，價值5.1元，求1角和5角的硬幣各有多少枚？

解：假設硬幣全是1角，則總共有27×0.1=2.7（元）。

假設硬幣全是5角，則總共有27×0.5=13.5（元）。

而實際上硬幣既有1角又有5角的，共有5.1元。

變式2：1998年父母的年齡和是78，哥哥和弟弟的年齡和是17歲，四年后（2002年），父親的年齡是弟弟的4倍，母親的年齡是哥哥的3倍，那么當父親的年齡是哥哥的3倍時是哪一年？

（提示：4年后，兩個年齡和都要加8。此時哥哥和弟弟年齡之和是17+8=25歲，父母年齡之和是78+8=86歲，我們可以把哥哥的年齡看成“雞”頭數，弟弟的年齡看成“兔”頭數，由于篇幅，讀者根據提示自行解答。）