MIMO中繼下行通信系統中的多目標優化設計

代延梅，吳 蘇

(南京郵電大學 通信與信息工程學院，江蘇 南京 210003)

MIMO中繼下行通信系統中的多目標優化設計

代延梅，吳 蘇

(南京郵電大學 通信與信息工程學院，江蘇 南京 210003)

針對通信系統中系統功率消耗和接收信號均方誤差(MSE)存在沖突關系，無法同時達到性能最優的情況，采用多目標優化(MOO)框架聯合優化系統功率消耗和接收信號MSE。文中考慮兩跳的多入多出(MIMO)放大轉發(AF)中繼下行通信系統。聯合優化形成的多目標優化問題是非凸且難以直接求解的，為此，提出一種基于帕累托最優策略的資源分配方法，該方法采用加權切比雪夫法，并引入中繼預編碼矩陣的一般結構和Schur補引理將優化問題轉化為SDP問題。仿真結果驗證了所提出方法的有效性，表明其具有更好的性能，同時也給出了系統功耗和MSE性能之間的帕累托最優邊界。

多入多出(MIMO)；多目標優化(MOO)；放大轉發中繼；最小化均方誤差(MMSE)

近年來，多入多出(Multiple-Input Multiple-Output, MIMO)技術因為能夠大大增加系統的分集增益和復用增益而得到了廣泛的應用[1]。而協作通信在擴大系統覆蓋范圍和提高系統容量中發揮了巨大的作用，在中繼的三種轉發方式中，放大轉發(Amplify-Forward, AF)中繼由于其簡單的處理方式和較短的處理時延而具有更大的發展潛力[2-3]。

聯合MIMO和AF中繼能夠獲得兩種技術的優點，且已經在許多文獻中有了研究[4-8]。在文獻[4-7]中，作者旨在系統功率消耗的約束下最小化接收端估計信號與原始信號之間的MSE。與此相反，文獻[8]研究在源端和中繼端消耗的總功率的約束下，對接收端估計信號的MSE進行優化設計。顯而易見，系統功率消耗和接收信號MSE是信息傳輸系統的兩個重要性能，應同時考慮。

多目標優化(Multi-Objective Optimization, MOO)框架可以達到相互沖突的目標之間的平衡[9-11]。在文獻[9]中，作者旨在聯合優化通信系統的上行鏈路傳輸功率和下行鏈路傳輸功率，并達到兩者之間的均衡。文獻[10]采用了多目標優化框架來達到通信系統中的三個性能指標之間的均衡且給出了帕累托最優集。在文獻[11]中，作者分析了多目標優化的重要性和必要性，并將多目標的理論和框架應用于5G網絡中，旨在對5G網絡中各個性能指標之間進行權衡。目前，在兩跳MIMO中繼通信系統的傳輸設計中系統功耗或MSE只給出單目標的優化設計，但是對于聯合兩者進行多目標優化達到兩者之間均衡的情況，還沒有文獻給出具體的研究設計。

基于上述的情況，本文研究兩跳MIMO中繼下行通信系統中的傳輸設計，考慮到系統功率消耗和MSE之間存在沖突關系，使得兩者不能同時獲得最優解的情況，采用多目標優化框架來聯合優化系統功率消耗和MSE，達到兩者之間的均衡。多目標優化問題中目標函數和約束函數的非凸性和復雜性使得問題不能直接求解，為此，本文提出一種基于帕累托最優策略的資源分配方法。仿真結果中，通過改變性能偏好參數的值獲得系統功率消耗和MSE之間的帕累托最優邊界。

1 系統模型與優化問題描述

1.1 系統模型

如圖1所示，本文研究一個MIMO中繼下行通信系統。該系統由一個配置Ns>1根天線的發送端、一個配置Nr>1根天線的中繼端和一個配置Nd>1根天線的接收端構成。對于中繼端，采用放大轉發的工作模式。忽略發送端到接收端的直接鏈路，因此，通信過程可分為兩個階段。假設所有端均可獲取信道狀態信息。

圖1 MIMO中繼下行通信系統

信息傳輸第一階段，發送端對數據向量s∈CNb×1進行預編碼處理得到發射信號x=Fs，并將預編碼之后的發射信號x發送給中繼端。中繼端的接收信號可以表示為

yr=HFs+nr

(1)

式中：Nb的選擇應該滿足條件Nb≤min(Ns,Nr,Nd)；H∈CNr×Ns表示發送端和中繼端之間的信道矩陣；F∈CNs ×Nb表示對發送信號進行預編碼而產生的預編碼矩陣；nr∈CNr×1表示中繼端零均值單位方差的加性高斯白噪聲。本文假設發送數據向量滿足條件E(ssH)=INb。

信息傳輸第二階段，中繼端將接收到的信號yr進行預編碼處理得到xr=Qyr，然后將xr傳輸給接收端。接收端的接收信號可以表示為

yd=GQHFs+GQnr+nd=GQHFs+n

(2)

式中：Q∈CNr ×Nr表示中繼端對接收信號進行預編碼處理的預編碼矩陣；G∈CNd×Nr表示中繼端到接收端的信道矩陣；nd∈CNd×1表示接收端的零均值單位方差的加性高斯白噪聲；n=GQnr+nd表示接收端的等價噪聲向量。

在接收端采用線性濾波對原始信號進行估計，估計矩陣用W∈CNd×Nb表示，估計信號可以描述為

(3)

1.2 優化問題描述

在本系統中，發送端消耗的功率Ps可以表示為

Ps=tr(FFH)

(4)

中繼端消耗的功率Pr可以表示為

Pr=tr(Q(HFFHHH+INr)QH)

(5)

(6)

將式(2)、(3)代入式(6)，可以得到

MSE= tr{(WHGQHF-INb)(WHGQHF-INb)H+

WHRnW}

(7)

式中：Rn=E[nnH]=GQQHGH+INd表示噪聲的協方差矩陣。

在實際的通信系統設計中，接收信號MSE和系統功率消耗均為評估系統性能的重要參數。在本節中，首先考慮兩個問題的單目標優化設計，然后聯合兩個問題進行多目標優化設計。其中，第一個優化問題是系統在發送端和中繼端消耗的總功率的最優化設計，可以表示為

問題1：(最小化系統總消耗功率)

(8)

式中：約束C1中的Pmax表示系統總功率消耗的上限；約束C2中的εmax表示系統允許的最差MSE性能。

第二個問題研究接收信號MSE性能的最小化設計，相應的描述可以表示為

問題2：(最小化接收信號MSE)

WHRnW)

s.t. C1～C2

(9)

在實際應用中，系統功率消耗和接收信號MSE往往是兩個必不可少的重要性能。但是兩者之間往往是耦合甚至沖突的關系，得到一方面性能提高的同時往往會使得另一方面性能下降。為此，本文采用多目標優化框架并利用帕累托最優策略和加權切比雪夫方法實現兩個性能指標之間的均衡，且通過變化性能偏好系數得到最優帕累托邊界。問題3可以表示為

問題3：(多目標優化問題—利用加權切比雪夫方法)

s.t.C1～C2

(10)

2 資源分配算法

本節中聯合優化發送端的預編碼矩陣F，中繼端的預編碼矩陣Q，接收端的估計矩陣W。不管是在目標函數還是在約束中，變量之間都是耦合的，且問題是非凸的，導致無法直接求解出變量的值。為此，本文提出一種復雜度較低的資源分配方法來求解問題并得到變量值。

在接收端，采用著名的線性MMSE濾波器[13]對接收信號進行估計。因此，對于估計矩陣W，可以將其表示為

W=(GQHFFHHHQHGH+Rn)-1GQHF

(11)

將式(11)代入式(6)，同時利用矩陣求逆引理(A+BCD)-1=A-1-A-1B(DA-1B+C-1)-1·DA-1，這樣，接收端的MSE可以表示為

MSE= tr(INb-FHHHQHQHGH(GQHFFHHHQHGH+

QHF]-1)

(12)

因此，優化問題1變化為

變換問題1：

(13)

同理，問題2可以表示為

變換問題2：

(14)

最后，問題3變化為

變換問題3：

(15)

其中，t為輔助優化變量。

接下來，采用具有一般結構的最優中繼預編碼矩陣Q[6]，Q的結構描述為

Q=TDH

(16)

其中，D=(HFFHHH+INr)-1HF。實際上，整個傳輸過程可以分為兩個部分。D可以看作是第一部分在中繼端使用MMSE濾波器時的信號估計矩陣，而T可以看作第二部分中繼端發送信號的預編碼矩陣。

利用中繼端的預編碼矩陣Q的結構(式16)，接收信號的MSE表示為

MSE= tr([INb+FHHHHF]-1)+

(17)

在引入中繼端預編碼矩陣的一般結構之后，中繼端的發送信號為zr=DHyr。與式(17)右端的第一部分類似，可以得到

(18)

同理，可得中繼端的功率消耗為

Pr= tr(Q(HFFHHH+INb)QH)=

tr(TFHHH(HFFHHH+INr)-1HFTH)=

tr(TRTH)

(19)

利用矩陣求逆引理，zr的協方差矩陣R可以轉化為

R=FHHH(INb-HF(FHHHHF+INb)-1FHHH)HF=

FHHHHF(INb-(FHHHHF+INb)FHHHHF)=

FHHHHF(FHHHHF+INb)-1

(20)

(21)

Pr=tr(FFH)+tr(TTH)

(22)

由于MSE的非凸性，通過上面的轉換依然不能夠求解。為了解決這一問題，本文引入Schur補引理。

引理1(Schur補[15])：對于一個分塊矩陣Φ，有

(23)

S≥0Φ≥0且A≥0

(24)

下面，利用引理1，可以將問題轉化為可以利用CVX解決的SDP問題。

引入X≥[INr+HMHH]-1和Y≥[INd+GNGH]-1。其中，M=FFH，N=TTH。根據引理1，可以得出

(25)

同理，可以得出

(26)

基于上面的理論，可以得出原優化問題的等價問題。

等價問題 1：

(27)

等價問題 2：

C^1～C^4

(28)

等價問題 3：

(29)

從式(29)中可以看出，等價問題(27)～(29)為能夠被CVX工具解決的SDP問題[16]。同時，通過特征值分解可以獲得預編碼矩陣F*和T*的最優解，相應的預編碼矩陣Q也可以獲得。詳細的資源分配方法如下：

算法1：帕累托資源分配方法

1)給定初始值λ=0；δ(步長)；

2)求解單目標等價問題1(式(27))和等價問題2(式(28))；

3)根據步驟2)中的結果求解等價問題3(式(29))；

4)λ=λ+δ；

5)重復步驟2)～4)，直到λ=1；

6)對矩陣M和N進行特征值分解，得到發送端和中繼端的預編碼矩陣F和T。

3 仿真結果

本節中，通過多次仿真來驗證所提出方法的可行性和有效性。對于仿真環境，本文選擇瑞利平衰落信道。由發送端到中繼端的信道矩陣H是均值為零、方差為1/Ns的瑞利衰落信道，由中繼端到目的端的信道矩陣G為零均值和方差為1/Nr的瑞利衰落信道。本文中保證接收端估計信號的MSE性能優于εmax=1，天線數選為Ns=Nb=Nr=Nd=3。仿真結果通過對信道的1 000次平均獲得。圖2通過變化性能偏好系數λj給出不同系統性能之間的帕累托最優邊界，這里λj的步長取δ=0.05。

圖2 平均系統總功率消耗和平均MSE之間的帕累托邊界

圖2描述不同方法下系統在發送端和中繼端的系統總功率消耗和接收端估計信號MSE之間的均衡。在仿真中，系統總功率消耗最大預算設置為Pmax=40 dB。對于NAF(amplify-and-forward)方案，用常數和單位矩陣的乘積來代替預編碼矩陣F和T。從圖中可以看出，MSE是隨著總功率消耗的增長而單調減小，這也說明在通信系統中MSE和總功率消耗之間存在的沖突關系。在實際的系統設計中，設計者可以根據其對系統性能的偏好性來選擇偏好系數的值。圖2也驗證了本文提出方案的性能是優于NAF方案的。

圖3描述不同方法下系統在發送端和中繼端的總功率消耗和系統誤比特率(Bit Error Rate, BER)之間的均衡。為了更清楚地顯示兩者之間的關系，圖3對BER軸采用對數坐標。圖3揭示了總功率消耗和BER之間的沖突關系，且給出了兩者之間的最優帕累托邊界。圖3也驗證了本文提出方案的性能優于NAF方案。

圖3 平均系統總功率消耗和平均BER之間的帕累托邊界

圖4描述了發送端的功率消耗和接收信號MSE之間的均衡。在仿真中，約束中繼端的最大功率消耗，而聯合優化發送端的功率消耗和接收信號MSE，分別將中繼端的功率設為Pr=20 dB和Pr=40 dB，而將發送端的最大功率預算設為30 dB。從圖中可以看出，MSE是隨著發送端功率消耗的增長而單調減小，揭示了發送端功率消耗和BER之間的沖突關系。中繼端發送功率為40 dB的情況會優于20 dB的情況，且文中提出的方案性能優于NAF方案。

圖4 平均發送端功率消耗和平均MSE之間的帕累托邊界

4 總結

本文研究了MIMO兩跳AF中繼下行通信系統中系統功率消耗和接收信號MSE之間的沖突問題。采用多目標框架來對通信問題建模，得到多目標優化問題。由于多目標優化問題是非凸且難以解決的，采用加權切比雪夫方法，并引入中繼預編碼矩陣的一般結構和Schur補引理將問題轉化為SDP問題。最后，仿真結果驗證了所提出方案的性能，并給出了不同系統參數之間的帕累托最優邊界。下一步的工作將考慮非理想信道的情況來增強系統的健壯性。

[1] VISHWANATH S, JINDAL N, GOLDSMITH A. Duality, achievable rates, and sum-rate capacity of Gaussian MIMO broadcast channels[J]. IEEE transactions on information theory, 2003, 49(10): 2658-2668.

[2] LANEMAN J N, TSE D N C, WORNEL G W. Cooperative diversity in wireless network: efficient protocols and outage behavior[J]. IEEE transactions on information theory, 2004, 50(12): 3062-3080.

[3] TANG X J, HUA Y B. Optimal design of non-regenerative MIMO wireless relays[J]. IEEE transactions on wireless communications, 2007, 6(4): 1398-1407.

[4] KHANDAKER M R A, RONG Y. Precoding design for MIMO relay multicasting[J]. IEEE transactions on wireless communicaitons, 2013, 12(7): 3544-3555.

[5] SINGH V P, CHATURVEDI A K. Min-max mean squared error-based linear transceiver design for multiple-input-multiple-output interference relay channel[J]. IET communication, 2015, 9(6): 853-861.

[6] RONG Y. Simplified algorithms for optimizing multiuser multi-hop MIMO relay system[J]. IEEE transactions on wireless communications, 2010, 59(10): 2896-2904.

[7] ZHAO C, CHAMPAGNE B. A unified approach to optimal transceiver design for nonregenerative MIMO relaying [J]. IEEE transactions on vehicular technology, 2015, 64(7): 2938-2951.

[8] HE Z, LANG Z, RONG Y, et al. Joint transceiver optimization for two-way MIMO relay system with MSE constraint[J]. IEEE wireless communications letters, 2014, 3(6): 613-616.

[9] SUN Y, NG D W K, SCHOBER R. Multi-objective optimization for power efficient full-duplex wireless communication systems [C]//Proc. 2015 IEEE Global Communications Conference(GLOBECOM). [S.l.]：IEEE, 2015, 1-6.

[10] NG D W K, LO E S, SCHOBER R. Multi-objective resource allocation for secure communication in cognitive radio networks with wireless information and power transfer[J]. IEEE transactions on vehicular technology, 2015, 65(5): 3166-3184.

[11] BJORNSON E, JORSWIECK E, DEBBAH M, et al. Multiobjective signal processing optimization: the way to balance conflicting metrics in 5G systems [J]. IEEE signal processing magazine, 2014, 31(6):14-23.

[12] MARLER R T, ARORA J S. Survey of multi-objective optimization methods for engineering[J]. Struct. multidisc optim., 2004, 26(6): 369-395.

[13] KAY S M. Fundamentals of statistical signal processing: estimation theory[M]. Englewood Cilffs, NJ: Prentice Hall, 1993.

[14] SONG C, LEE K, LEE I. MMSe based transceiver designs in closed-loop non-regenerative MIMO relaying systems[J]. IEEE transactions on wireless commun., 2010, 9(7): 2310-2319.

[15] BOYD S, VANDENBERGHE L. Convex optimization[M]. Cambridge, U. K.: Cambridge University Press, 2004.

[16] GRANT M, BOYD S. CVX: Matlab software for disciplined convex programming[EB/OL]. [2016-04-10]. http://cvxr.com/cvx/.

[17] PALOMAR D P, CIOFFI J M, LAGUNAS M A. Joint Tx-Rx beamforming design for multicarrier MIMO channels: a unified framework for convex optimization[J]. IEEE transactions on signal process, 2003, 51(9): 2381-2401.

代延梅(1990— )，女，碩士生，主研無線協作通信、MIMO網絡、多目標優化等；

吳 蘇(1992— )，女，碩士生，主研物理層安全、多目標資源優化等。

責任編輯：薛 京

Multi-objective optimization design for MIMO relay downlink systems

DAI Yanmei, WU Su

(CollegeofTelecommunication&InformationEngineering,NanjingUniversityofPostsandTelecommunications,Nanjing210003,China)

As the coupled and even conflicting relationship between the system power consumption and the minimum mean-squared error (MSE) at the receiver, a multi-objective optimization (MOO) framework for optimizing system power consumption and MSE jointly is adopted. A two-hop multiple-input multiple-output (MIMO) amplify-forward (AF) relay downlink system is considered in this paper. Since the formulated MOO problem (MOOP) is non-convex and hard to tackle, a Pareto resource allocation method is proposed by exploiting the weighted Tchebycheff approach, the optimal structure of the relay precoding matrix and the Schur complement. Simulation results not only demonstrate the effectiveness of the proposed algorithm, but also unveil an important trade-off between power consumption and MSE at the receiver.

MIMO; multi-objective optimization (MOO); AF relay; minimum mean-squared error (MMSE)

代延梅，吳蘇.MIMO中繼下行通信系統中的多目標優化設計[J]. 電視技術，2017,41(1)：58-63. DAI Y M, WU S.Multi-objective optimization design for MIMO relay downlink systems[J]. Video engineering，2017,41(1)：58-63.

TN929.5

A

10.16280/j.videoe.2017.01.012

國家自然科學基金項目(61271232)；國家移動通信研究實驗室開放研究基金(2012D05)

2016-05-29