基于REKF-FPID的復合材料纏繞張力控制系統設計

董貴榮

（西安理工大學 高等技術學院，西安 710082）

基于REKF-FPID的復合材料纏繞張力控制系統設計

董貴榮

（西安理工大學 高等技術學院，西安 710082）

復合材料纖維帶纏繞成型過程中的張力波動嚴重影響纏繞制品的各種性能指標。針對力矩電機對系統外部擾動及內部參數變化的敏感性以及摩擦和測量噪聲等因素對張力控制精度及系統動態性能的影響，設計了一種基于魯棒擴展卡爾曼濾波器的模糊PID控制（REKF-FPID）策略。仿真和實驗結果表明，與傳統模糊PID控制（FPID）相比，REKF-FPID具有較強的抗干擾性和魯棒性，其可將纏繞張力的控制精度提高40%～42%。

復合材料；纏繞張力；魯棒擴展卡爾曼濾波；模糊PID控制；張力控制

0 引言

纖維帶纏繞工藝中所使用材料的性能、成型工藝參數及纏繞時環境的變化都會使纖維帶纏繞成型過程的狀態發生變化，從而影響產品的最終性能，其中工藝參數對纖維帶纏繞制品質量的影響最為明顯[1]。纏繞張力是指在纖維帶上施加的正張力，通過熱壓輥的加熱碾壓來實現，其主要作用有：使預浸膠纖維帶層間加壓粘接、驅除氣泡；提高纖維層間的粘接強度和制品的致密度；保持粘接層纖維帶的平順[2]。

氣動系統連續可調、輸出張力范圍大且對環境無污染，其在復合材料纏繞成型控制系統中得到了廣泛應用。何曉東等[3]基于自適應灰色預測模糊PID控制器設計了復合材料布帶纏繞張力的精密氣動控制。基于氣壓傳動系統，Rudd和Zhao等分別設計了復合材料纖維帶氣動施力機構[4,5]。

本文提出了基于魯棒擴展卡爾曼濾波器的在線優化模糊PID控制器（REKF-FPID）。REKF是將擴展卡爾曼濾波器（EKF）與魯棒預估技術相結合，使得EKF具有一定的魯棒性。然后，采用REKF對模糊PID控制器（FPID）的輸入輸出隸屬函數進行在線優化，從而使得系統的控制誤差函數最小化。與傳統FPID相比，本文所設計的控制器具有較高的控制精度和較強的魯棒性。

1 纏繞張力控制系統數學建模

纖維帶纏繞張力控制系統如圖1所示，其主要由控制器、執行元件、檢測裝置以及輔助裝置等構成。運動小車主要起夾具的作用。采用力矩電機控制執行機構的啟動、停止、進給和給纖維帶施加阻力矩等。采用張力傳感器實時檢測纖維帶張力，并通過前置放大器，濾波器和A/D轉換等元件對張力進行實時反饋。利用帶卷直徑測量機構實時測量帶盤直徑變化，通過電位計及信號處理電路對所測直徑進行反饋，從而為張力控制系統提供精確的數學模型。工控機是張力控制系統的核心部件，其主要完成纏繞過程的控制，協調各部件的運動，具有分析，運算和實時處理等功能。

圖1 纏繞張力控制系統

力矩電機的傳遞函數為：

其中，Ua為輸入電壓，Ra為電樞電阻，La為電樞電感，Ia為電樞電流，Ic為感應電流，Cm為電機轉矩常數，為電機磁通量，M為輸出轉矩。

當力矩電機輸出一定時，帶盤半徑的變化將導致纖維帶所受張力隨之改變。因此必須對帶盤卷徑進行實時檢測，為控制系統提供實時精確的數學模型以提高張力的控制精度，帶卷直徑測量機構如圖2(a)所示。

考慮到L＞＞AB，則有tanθ=BC/OB，BC≈Rmax-R(t), OB=L，即θ=arctan[(Rmax-R(t))/L]，其中，L為桿件OB的長度，R(t)為帶卷的實時半徑。設齒輪系統的總傳動比為i，則小齒輪的轉角可表示為由電位計原理其中，U和Us分別為電位計的輸出電壓和供電電壓為電位計轉角范圍。由以上可得：

當小車向芯模送帶時，電位計開始測量帶盤的實時半徑。電位計電壓的變化實時反應帶盤半徑的變化，隨著半徑逐步減小，輥子最終返回C點，此時電位計電壓為零。小車隨后退回到起始位置，輥子返回B點。

張力測量系統包括測力機構，張力傳感器和前置放大器三部分，如圖2(b)所示。設F為作用在張力傳感器上的張力，則T2=F/2，由于傳感器的輸出電壓可以極快地跟蹤輸入信號，因此，其可視為比例環節。前置放大器主要是對傳感器的輸出信號進行放大并去除噪聲，此外還要具有濾波作用，這里采用有較大阻尼的二階巴特沃次低通濾波器，其傳遞函數為：

圖2 測量系統

式中，K3和K6分別為張力傳感器常數和低通濾波器常數。

以纖維帶帶盤為研究對象，其動態力矩平衡方程為：

式中，M（Nm）為電機阻力矩，T2（N）為纖維帶拉力，R（m）為帶盤的實時半徑，Mf（Nm）為粘性摩擦力矩，J（kgm2）為帶盤轉動慣量，v（rad/s）帶的線速度，M0（Nm）為干性摩擦力矩。

由式(4)可知，其為復雜的多變量時變系統，為了便于控制器的設計，需對被控對象模型進行簡化。纏繞系統中干性和粘性摩擦力矩很小，因此，Mf和M0可以忽略不計；帶的瞬時慣量變化極小，可忽略（dJ/dt）（v/R）對張力的影響；假定纏繞過程中帶盤的轉動慣量恒定。則方程(4)可簡化為：

考慮到纖維帶的彈性及導輪摩擦等因素，需對方程(5)進行補充。設纖維帶密度和長度分別為ρ和Lb（帶盤中心到張力檢測中心之間的長度），恒線速度纏繞時，若忽略帶與導輪間的摩擦力，則帶上張力處處相等，即T1=T2。當帶作加速或減速運動時（纏繞開始或結束時），由于彈力的存在，帶上各處張力均不相同，則有：

設纏繞系統運動加速度為α，則有：

由以上各環節可得纏繞張力控制系統的數學模型，如圖3所示，其為復雜的多回路反饋系統，包括帶盤半徑測量及張力檢測，視感應電流為系統干擾。

圖3 纏繞張力控制系統數學模型

2 REKF-FPID控制器設計

2.1 FPID控制器設計

傳統PID控制的時域表達式為：

式中，e(t)為控制誤差，de(t)為誤差變化率，u為電機控制信號，Kp為比例增益，Ki為積分增益，Kd為微分增益。

傳統PID控制難以適應纖維帶纏繞張力控制系統復雜多變的工況，這里采用模糊控制對PID控制參數Kp，Ki和Kd按下式進行調節。

式中，Ua為模糊控制器輸出，ΔKa=Kamax-Kamin為Ka的允許偏差。Kamin和Kamax分別為通過實驗得到的Ka的最小值和最大值。

模糊控制器的兩個輸入變量分別為張力控制誤差的絕對值|e(t)|和誤差變化率的絕對值|de(t)|。輸入變量的范圍為[0,1]，其由輸入變量的絕對值和針對該張力控制系統所選量化因子的大小決定[6]。為了保證模糊控制的簡單性和PID控制的平滑性，兩個輸入變量均采用5個三角形隸屬函數，其表達式如式(10)所示。5個隸屬函數對應的模糊集合{Z,V,S,M,B}表示{零,很小,小,中,大}，初始化設置使5個隸屬函數全等，且重心間距相等，如圖4(a)所示。

圖4 模糊變量的隸屬函數

三個獨立模糊控制器的輸出分別為Up,Ui和Ud。對輸入變量的模糊集合利用MAX-MIN算子進行聚合運算，通過控制規則進行推理，最終采用重心法進行解模糊計算可得控制器的輸出結果。模糊控制器的輸出可通過式(11)進行計算。

式中，wv為控制輸出的權重，M為輸出變量模糊集合的數目，mf(wv)為模糊輸出函數，其表達式如下：

式中，δij為激活因子，當|e(t)|處于第i個模糊集合，|de(t)|處于第j個模糊集合時，其被激活。

模糊控制器的輸出Ua為單值，設置輸出值的初始間隔相同，如圖4(b)所示。由模糊輸入輸出變量及相應的隸屬函數，可得如表1所示的模糊控制規則。

表1 模糊控制規則

定義控制誤差函數為：

式中，yr和y分別為系統指定張力和系統實際輸出張力。

2.2 REKF設計

本文所設計纏繞張力控制器的目的為通過調節隸屬函數的參數使得控制誤差函數最小化。通過EKF來調節輸入變量隸屬函數的形狀和位置以及輸出變量的權重，即不斷自動更新和wv來實現對FPID控制器的在線優化。

設系統在tk(k=1,2,…)時刻的狀態向量為xk，則系統狀態隨時間的變化可用如下隨機微分方程表述[7]。

系統的觀測向量yk為：

式中，g(·)與h(·)為關于狀態變量xk連續、可微的多元向量函數；qk與vk分別表示過程噪聲和測量噪聲。Qk為過程噪聲的協方差，Rk為測量噪聲的協方差。假定初始狀態x0和噪聲qk, vk均服從白色零均值高斯分布，且相互獨立。

考慮到噪聲qk, vk為加性高斯白噪聲序列，則EKF得到的是一個近似解析解。狀態方程和觀測方程可按(18)進行線性化。

REKF的系統模型可近似表示為：

時間更新方程為：

測量更新方程為：

式中，Kk為卡爾曼增益矩陣，其表達式如下：

2.3 REKF-FPID控制器設計

采用REKF對三個獨立模糊控制器的參數分別進行調節，控制系統結構如圖5所示。

圖5 基于REKF-FPID的張力控制器

REKF-FPID張力控制器的狀態向量可表示為：

狀態向量x中的元素可表示為：

式中，n, m分別為兩個輸入變量的三角形隸屬函數的數目。

根據式(10)給出的輸入變量隸屬函數的定義可知，每個輸入變量最多落在兩個隸屬函數的重疊區域，此時，稱該隸屬函數被激活。這樣，兩個輸入變量最多激活4個不同的隸屬函數，由排列組合原理可知，最多有4條控制規則被激活，這4條控制規則分別對應4個輸出量。因此，式(24)可簡化為：

y表示系統實際輸出，h(x)表示系統輸出的目標向量。基于REKF的非線性系統模型可以表示為：

式中，h(xk)表示系統輸出與模糊參數集合的映射關系。此外，將噪聲qk和vk加入系統模型可以避免算法的數值發散和局部極小值問題。

由式(16)～式(17)可知，Qk為對角協方差矩陣，其可表示為：

Qk中的元素可表示為：

對于該FPID控制的狀態向量，式(18)所示的測量函數可通過對參數a,b-,b+,wk求偏導來計算，將計算結果代入REKF的方程來更新控制器。

3 仿真分析與試驗驗證

3.1 仿真分析

基于所建立的纖維帶纏繞張力控制系統數學模型，對所設計的REKF-FPID控制算法進行仿真分析，以檢驗算法的自適應性、抗干擾性和魯棒性。PID控制參數的初始值分別取Kp=1.5，Ki=1.0，Kd=0.01，采樣時間為0.02s，纏繞張力設定值為50N。基于當前控制誤差，當前狀態向量和當前信息，REKF可以直接估計FPID控制器下一步的理想狀態向量。然后，隸屬函數和模糊規則同時在線更新可使得系統誤差函數取得最小值。圖6(a)和圖6(c)分別為基于FPID和REKF-FPID的纏繞張力跟蹤響應，由圖6(b)和圖6(d)可知，其控制誤差分別為4.095N和2.125N，即REKF-FPID將張力控制精度提高了48.1%。

圖6 纏繞張力控制系統仿真結果

3.2 試驗驗證

纏繞張力控制系統采用全閉環控制，閉環回路的輸入包括：張力傳感器、功率放大器、濾波板、PCL 812PG數據采集卡；控制部分采用IPC-810-H研華工控機；輸出部分包括：PWM板和功率放大板；執行機構為力矩電機。在實驗前要對A/D、D/A轉換板、功率放大器、張力傳感器等硬件設備進行初始化設置。圖7(a)和圖7(c)分別為基于FPID和REKF-FPID的纏繞張力跟蹤響應，由圖7(b)和圖7(d)可知，其控制誤差分別為4.003N和2.298N，即REKF-FPID將張力控制精度提高了42.6%。對比可知，試驗結果與仿真結果基本吻合，由此證明了所設計的REKF-FPID控制算法的有效性和可行性。

圖7 纏繞張力控制系統試驗結果

4 結論

針對復合材料纖維帶纏繞張力控制系統中各種非線性和不確定性因素對控制精度的影響，本文設計了REKF-FPID控制器，其中，隸屬函數的形狀和位置可通過REKF算法進行實時在線調節，從而使控制器具有良好的控制性能和較高的控制精度。與FPID控制相比，本文所設計的控制器具有良好的跟蹤性能及較強的魯棒性和抗干擾性。

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Tension system design for the composites winding based on REKF-FPID control

DONG Gui-rong

TP273

：A

1009-0134(2017)01-0018-06

2016-09-07

董貴榮（1983 -），女，山東招遠人，講師，碩士，主要從事數控機床及模具制造等方面的教學和科研工作。