一道中考試題的教學思考

一道中考試題的教學思考

文︳李文英

應州里一中學初三數學組的邀請，筆者聽了一節習題課。課題名稱是：一元二次方程的根的定義及其應用。這一內容主要是關于一元二次方程的根的概念，重點是韋達定理的應用。整堂課共設計了7道試題，分三個層次，第1、2、3題為基本要求試題，第4、5題為較高要求試題，第6、7題為拓展試題。課堂完成到前兩個層次。

韋達定理是教材中的選學內容，一般學生基本可以接受。中考很多時候會涉及，所以學校現在都把這部分內容作為必修了。本節課在教師的引導下，學生課堂反應積極，效果很不錯，前三道試題的正確率很高，應該算是一堂常規意義上的好課。不足之處是試題多，方法單一，教師對解題思路的引導不足，缺少方法和思想上的提升，導致學生在處理第4、5題的時候出錯比例很高。學生出錯的關鍵是找不到切入口，思維不縝密，甚至在老師講解之后，還是感覺像勉強接受。這促使筆者有了許多思考。

我們看看其中的第5題：

已知x1，x2是方程x2+2kx+k2-2k+1=0的兩個（實數）根，且x12+x22=4，則k=。

通過網上搜索，筆者發現這是山東德州2014年的中考第16題（前12道為選擇題，填空題5道，這是填空題的倒數第二個，命題人認為應該是較難試題）。搜索到網絡上的解答（原試題只提供填空題答案，很多網站的解析幾乎都是一樣的解答，可見網絡上基本都是拿別人的照搬了上傳）：

又因為x1+x2=-2k，x1·x2=k2-2k+1，代入上式有4k2-4（k2-2k+1）=4，

解得k=1。

本堂課執教老師的解答：

因為x1+x2=-2k，x1·x2=k2-2k+1，代入上式有4k2-2（k2-2k+1）=4，解得k=1，k=-3。

又因為二次方程有兩個實根，所以還應該有（2k）2-4（k2-2k+1）≥0，得8k≥4，即綜上，得k=1。

網絡上的解答其實是錯誤的，用（x1+x2）2-2x1· x2=4，又因為x1+x2=-2k，x1·x2=k2-2k+1，代入有4k2-4（k2-2k+1）=4，得到k=1是巧合。計算錯了，實際上應該是4k2-2（k2-2k+1）=4，當然得k=1，k=-3。任課教師肯思考，糾正了流傳的錯誤。這說明該教師在備課的時候將課堂要用的試題做了一遍，并進行了思考，這樣的習慣目前是很難得的。因為市場上的數學輔導資料實在太多，配套材料充足，書商的服務也非常周到。課前肯多花時間討論和分析試題的教師比十年前少了些，因為參考資料上都有現成的，盡管有時候是錯的。基于此，筆者建議每一位教師都應認真備課。

執教老師的試題中缺少實根的實字。雖然初中生看不出，但是作為老師，已經受過大學數學的嚴格訓練，這個字的遺漏是不對的。因為沒有這個實字，答案就是兩個解了，也就不需要討論判別式，所以德州試題的題設嚴謹。在初中階段，實根中的實字不能漏掉，也不要給學生解釋，這是為高等數學留的尾巴，也是教師數學素養的體現。

既然課題是根的定義的應用，那么有些時候解題回到定義也是有意義的。比如這里，直接運用根的意義解題也很有意思：由兩式相加，再很容易得到關于k的方程。我們在很多相關書籍里看到的這類試題都是像以上解答那樣借用乘法公式進行變式。其實直接利用根的意義進行變形也是很順暢的一種思路，希望其他老師解答的時候可以多試試各種可能的變形手法，拓展學生的思維。教材上，韋達定理是從求根公式得出。實際上，直接用根的意義，將兩式相減，可得兩根之和；再將兩式相加，運算后可得兩根之積。這應該是更本質的根與系數關系。如果是初中教學，當然這里應該加幾個字：所討論的一元二次方程存在兩個實根。

一堂課用基本相同的方法解決很多道試題，是加深學生印象的方法之一，也有很好的復習效果。同樣，用多種方法和想法解決一個典型問題，對發展學生的解題能力和思維能力也是很有實際意義的，教學中不能忽視。

其實這道試題作為填空題，出得有點兒狠！因為填空題只看結果給分，稍微錯一點兒，整道試題的分就沒了。本題中，解方程只解出一個解，正好符合要求，皆大歡喜。可如果得到的是那個必須去掉的根，豈不是非常冤枉？而如果直接填寫兩個k值，失掉了整道試題的成績，豈不是更冤得像竇娥？命題老師把考試重心放在判別是不是存在實根這個點上，動機有點不純。如果真喜歡這道試題，是不是可以進行這樣的處理：首先，命制成一道大題，那就可以通過對過程的分析，對學生的解題步驟給予肯定，失分和得分就都有明確的判斷，考查學生的學習情況也有了落腳點。對好學生、中等學生、后進生也可以通過本題在相關知識和能力上予以區分。至于更理想的命制方式，個人認為可以作為兩問來出題：

方程x2+2kx+k2-2k+1=0有兩個實數根x1，x2，

1.求k的取值范圍；

2.若x1，x2滿足x12+x22=4，求k的值。

這樣命制試題，既可以考查學生對韋達定理的應用，也可以看出學生對有根的條件的把握，還可以考查學生的變形能力、計算能力、思維能力、綜合評判能力，可謂一題多得。

（作者單位：湘西土家族苗族自治州教科院）