電容器能量的3種求法*

鄭世燕*

(泉州師范學(xué)院物理與信息工程學(xué)院 福建 泉州 362000；淡江大學(xué)物理系 臺(tái)灣 新北 25137)

電容器能量的3種求法*

鄭世燕*

(泉州師范學(xué)院物理與信息工程學(xué)院 福建 泉州 362000；淡江大學(xué)物理系 臺(tái)灣 新北 25137)

分別利用電容器的能量公式、電場的能量公式以及電荷系的靜電能公式求出一般電容器所儲(chǔ)存的能量．

電容器能量 電場能量 靜電能

電容器是一種容納電荷的器件．任何兩個(gè)彼此絕緣且相隔很近的導(dǎo)體(包括導(dǎo)線)間都構(gòu)成一個(gè)電容器，對一個(gè)孤立導(dǎo)體也可以認(rèn)為它和無限遠(yuǎn)處的另一導(dǎo)體組成一個(gè)電容器[1，2]．電容器帶電時(shí)具有能量，文獻(xiàn)[1]和[2]中給出電容器的能量是它充電時(shí)由電源供給的，進(jìn)而得到電容器的能量公式為

(1)

式中W，Q，U及C分別表示電容器的能量、所帶的電荷量、相應(yīng)的電壓及電容．

以平行板電容器為例，電容器的能量也可認(rèn)為是儲(chǔ)存在電容器內(nèi)的電場之中，即電場的能量

(2)

式中we，V，ε0，εr，ε，D及E分別表示電場的能量體密度、電容器的體積、真空中的電容率、相對電容率、電容率、電位移矢量及電場強(qiáng)度．

本文在平行板電容器的基礎(chǔ)上將進(jìn)一步把上述公式應(yīng)用到一般電容器，如：球形電容器、圓柱形電容器及孤立導(dǎo)體電容器等．文中還將從電荷系的靜電能公式[1]

(3)

給出求解一般電容器能量的第三種方法．上式中q及φ分別表示電容器所帶的電荷量及兩極板各自的電勢．

1 平行板電容器

如圖1所示，該平行板電容器的正對面積為S，兩極板間距為d，板間充滿相對介電常量為εr的電介質(zhì)，所帶電荷量為Q.

圖1 平行板電容器

(4)

(5)

則由公式(1)及(4)可得出平行板電容器的能量為

(6)

由公式(2)及(5)也可得到平行板電容器的能量為

(7)

最后由公式(3)，同樣可得到平行板電容器的能量為

(8)

顯然，3種方法得到的結(jié)果是一致的．

2 球形電容器

一球形電容器如圖2所示，其內(nèi)外球的半徑分別為R1和R2，兩球間充滿相對介電常量為εr的電介質(zhì).

圖2 球形電容器

其電容為

(9)

當(dāng)電容器帶有電荷量Q時(shí)，根據(jù)高斯定律可得兩板間的電場強(qiáng)度為

(10)

兩極板間的電勢差為

(11)

此時(shí)，可用與上面類似的方法求出帶有電荷量Q的球形電容器所儲(chǔ)存的能量分別為

(12)

(13)

(14)

3 圓柱形電容器

一高度為l的同軸圓柱形電容器半徑分別為R1和R2，如圖3所示，兩極板間充滿相對介電常量為εr的電介質(zhì).

圖3 圓柱形電容器

其電容為

(15)

當(dāng)電容器帶有電荷量Q時(shí)，兩板間的電場強(qiáng)度為

(16)

兩極板間的電勢差為

(17)

同理可求出帶有電荷量Q的圓柱形電容器所儲(chǔ)存的能量分別為

(18)

(19)

(20)

4 孤立導(dǎo)體電容器

以一個(gè)在充滿相對介電常量為εr的電介質(zhì)空間中的半徑為R的孤立導(dǎo)體球面(帶電荷量為Q)為例，其電容為

(21)

周圍空間的電場強(qiáng)度為

(22)

電量所在處的電勢為

(23)

同理根據(jù)公式(1)～(3)及公式(21)～(23)可分別求出孤立帶電球面電容器的能量如下

(24)

(25)

(26)

5 結(jié)束語

通過以上推導(dǎo)，可以清晰看到公式(1)～(3)分別以電容、電場強(qiáng)度及電勢為主要物理量求出一般電容器所儲(chǔ)存能量的3種求法．在解題中可根據(jù)具體已知條件而運(yùn)用相應(yīng)的公式求解，這對于提高學(xué)生解題能力是有益的．

1 張三慧. 大學(xué)基礎(chǔ)物理學(xué)(第二版 下冊).北京: 清華大學(xué)出版社,2007

2 趙凱華，陳熙謀. 電磁學(xué)(第二版 上冊).北京: 高等教育出版社,1998

ThreeMethodsforCalculatingtheCapacitorEnergy

Zheng Shiyan

[CollegeofPhysicsandInformationEngineering,QuanzhouNormalUniversity,Quanzhou,Fujian362000;DepartmentofPhysics,TamkangUniversity,NewTaipeiCity25137,Taiwan(R.O.C.) ]

By using the energy formula of capacitor,the energy formula of electric field and the electrostatic energy formula of charge system, the energy stored in the capacitor is calculated.

capacitor energy;electric field energy;electrostatic energy

**泉州師范學(xué)院青年人才基金資助的課題．課題批準(zhǔn)號(hào)：201604作者簡介：鄭世燕(1979- ),女,碩士,副教授,主要從事熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理方面的研究.

2016-07-13)