巧算均勻帶電半球殼之間的靜電力

鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

巧算均勻帶電半球殼之間的靜電力

鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

利用靜電平衡導體的特點和疊加原理探討了均勻帶電球殼任意兩部分對其內部帶電體的靜電力的性質；利用馬德堡半球兩部分相互作用力的結論和類比法解答兩道有關均勻帶電半球殼相互作用力的競賽題.

球殼 靜電力 馬德堡半球

對于兩個均勻帶電半球殼之間相互作用的靜電力的大小，用類比法計算，比較簡單.如圖1所示，半徑為R的馬德堡半球內部抽成真空，外部大氣壓強為p0，那么將兩個半球拉開所需的力F為多大？

圖1 馬德堡半球示意圖

取右側半球殼為研究對象，空氣壓強p0作用于球面各處的壓力N的方向沿法線指向球心，如圖2所示.其中大圓可代表任一垂直于端面的窄條球帶.

圖2 馬德堡半球受力分析

由對稱性可知，y方向的分力相互抵消，僅x方向的分力方向相同，都垂直于分界面，大小為ΔFx=p0ΔScosθ=p0ΔSy，由此可知，窄條球帶上的各部分窄條小矩形受到大氣產生的沿x方向壓強相同，大小都為p0，而半球殼在垂直于x方向的有效面積即半球殼的端面面積為S=πR2，因此x方向的總壓力大小為Fx=p0πR2，則所需拉力大小為F=p0πR2.總之，球冠曲面受到大氣壓力的大小等于球冠底面積與大氣壓之積.利用該結論和類比法求解有關均勻帶電半球殼之間的作用力問題，可化繁為簡.

對于均勻帶電球殼，若在球心放一個點電荷，設想把球殼任意切割成兩部分，如圖3所示，那么這兩部分球冠對點電荷的靜電力大小關系如何？可把較大的球冠再切割成兩部分，其中一部分球冠與較小的球冠相同，而另一部分球帶對點電荷的靜電力為零，所以點電荷受到球殼的兩部分球冠的作用力大小相等，方向相反，而與兩部分球冠的大小無關.

圖3 均勻帶電球殼內球心有一點電荷，分析靜電力

如圖4(a)所示，圓環均勻帶電，電荷量為2q，若在內部放一個點電荷Q，則Q不受電場力的作用.設想以Q所在位置和圓心的連線的垂線為分界線，將圓環切割成上下兩部分.由于在圓環內的圓面上各點處的場強為零，那么點電荷Q受到上下兩部分圓弧的靜電力的合力為零.由此可知，點電荷受到兩個圓弧的靜電力大小相等，方向相反，而且點電荷與圓弧之間的靜電力方向垂直于分界線，如圖4(b)、(c)所示.

圖4 均勻帶電圓環所在平面，環內有一點電荷的受力分析

但如何計算這兩部分均勻帶電的圓弧對點電荷的作用力的大小卻很難.由平面拓展到空間，對于均勻帶電球殼，內部場強處處為零，那么切割成任意兩部分球冠，在內部任意一點產生的場強的矢量和為零.因此，若將球殼切割成任意兩部分，則對內部任意位置的點電荷的靜電力的合力都為零.于是由疊加原理可知，對于放在球殼內部的帶電體，無論形狀如何，放在什么位置，也無論相對方位如何，都不受電場力的作用，但由于它是帶電體，因此實質是受到兩部分球冠的電場力的合力為零，即如果將球殼切割成兩個球冠，無論在何處切割，無論兩部分大小如何，對其中帶電體的靜電力的合力都為零，即帶電體受到一對平衡力，大小相等，方向相反.這是均勻帶電球殼的一個性質，或者說是處于靜電平衡狀態的空腔物體的任意兩部分對其內部帶電體產生靜電力的一個性質，可用來比較兩個靜電力的大小，盡管無法計算兩個靜電力的大小.這是電場疊加原理的體現.

從球殼切割成兩部分的角度來考慮球殼對其中帶電體的靜電力，與從球殼整體的角度來考慮對其中帶電體的靜電力是一致的，前者是隔離法，后者是整體法.

1 正對等大半球殼

【例1】兩個完全相同的半球緊密接觸合在一起，組成一個完整的金屬球，球的半徑為R，帶電荷量為Q，求這兩個半球之間相互作用的靜電斥力為多大？

解析:電荷均勻分布于導體球表面，面密度為

可以證明，對球殼上的任一點而言，若除去該點電荷，則其余部分在該點產生的場強大小都為

方向都沿法線方向.這與馬德堡半球受到空氣壓強p0作用于球面各點的壓力方向都沿法線指向球心相似.在球殼上取一微小圓面，可視為點電荷，受到其余部分的靜電力，可知微小圓面受到的電場力的壓強為

3.認識困境。在網絡反恐國際合作進程中，不容忽視的一個阻礙為國家之間意識形態差異導致的認識困境。每個國家都有自己的文化和價值體系，在此基礎上形成不同的意識形態，反映在網絡反恐中，表現為對打擊恐怖主義的方式、策略、手段等的不同，部分國家對恐怖主義的看法和對打擊恐怖主義方式上存異，是難以形成反恐合力的現實因素。這也符合構建主義合作觀下對文化認同的基本界定。

半球殼上的各點受到靜電力的合力大小等于球冠端面上受到的壓力大小，即

F=πR2p

所以兩個球冠的相互作用力為

由上述推導過程可知，如果半徑為R的兩個完全相同的絕緣半球殼表面均勻帶等量異號電荷，電荷量為Q，則相互吸引力的大小仍然為

2 正對大小半球殼

【例2】如圖5所示，兩個非導體半球的球心及最大橫截面重合，半徑分別為R和r，帶電荷量分別為Q和q(均勻分布在半球面上)，求兩個半球殼的相互作用力.

圖5 例2題圖

解析:由牛頓第三定律可知，帶同號電荷的兩個半徑不同的半球殼的相互作用力大小相等，方向相反，如圖6所示.下面證明兩個半徑不同的半球殼之間相互作用力的大小與二者同向放置或反向放置無關.

圖6 例2中受力分析

設想對系統補加半徑為R，帶電荷量為Q的半球殼，如圖7所示.由于完整的均勻帶電球殼內部的合場強為零，所以球殼被切成左右相等的兩個球冠對球殼內部各處放置的點電荷的電場力的合力都為零.由此可知，完整大球殼的左右兩部分球冠對其中小半球殼作用力大小相等，方向相反，如圖7所示.

圖7 右側補加半球殼

這表明，對于兩個半徑不同的半球殼，在二者的球心重合、端面重合的條件下，之間的相互作用力的大小與二者放置的方向無關.即如圖6所示的兩個球冠反向放置時二者之間的靜電力，與如圖7所示的虛線右面兩個球冠同向放置時二者之間的靜電力，是大小相等的.

圖8 設小半球殼補加成完整小球殼，對大半球的作用力

現設想對小半球殼補加半徑為r，帶電荷量為q的半球殼，如圖8所示.可知兩個帶電都為q的球冠對帶電為Q的大球冠的作用力的大小相等，方向相同，都為F，因此帶電荷量為2q，半徑為r的完整球殼對大半球殼的作用力為2F.

完整帶電小球殼產生的電場可視為在球心的點電荷產生的電場，則由點電荷場強公式可知完整小球殼在大半球殼處的場強大小為

方向沿法線方向向外.而大半球殼所受靜電力壓強為p=Eσ,式中電荷面密度為

對于內部抽成真空的半徑為R的馬德堡半球，若大氣壓強為p0，則將兩個半球拉開所需的力F為

F=p0πR2

同理，對于大半球殼表面各處受到沿半徑方向的電場力，其合力的大小等于

F′=πR2p

即

2F=πR2p

所以兩個大小不同的半球殼之間的相互作用力為

與小球殼的半徑無關.

總之，在涉及場強計算時，都需利用完整球殼產生的場強，但要注意表面均勻帶電的完整球殼在其內外以及表面內的場強大小是不同的：對于半徑為R、帶電荷量為Q的完整球殼，在球殼之內的場強為零；在球殼之外到球心距離為r處的場強為

在球殼表面層內的場強為

在球殼外表面上或非常靠近外表面處的場強為

在上述解題過程中，利用了補償法、疊加法、類比法、等效法、矢量分解法以及對稱性等.

1 姜樹青.等效思想在解競賽類物理題中的運用.物理教學，2005(9)：23

2 范小輝.物理學中的疊加原理及其應用.物理教學，2011(9)：10

3 第八屆全國三年制高中理科試驗班招生統一考試物理試題及解答.物理教學，2003(6)：25

2016-03-22)