"七大意識"應對二項式定理

■江蘇省張家港職業教育中心校 韓文美

"七大意識"應對二項式定理

■江蘇省張家港職業教育中心校 韓文美

二項式定理是高中數學的重要內容之一,也是每年高考必考的內容之一,多以選擇題或填空題的形式出現。二項式定理是高中數學內容中較為獨特的一部分知識,內容雖不多,但分散于教材及習題的解法卻蘊含了待定系數法、構造法、特殊值法和逆向思維等高中數學的基本思想方法。因此,對二項式定理的學習也是比較集中學習高中數學思想方法、提高思維能力的好機遇。同學們通過學習,對思維能力的培養和數學素質的提高是十分有益的。

1.通項公式意識

凡涉及展開式的項及其系數(如常數項、某項的系數)問題,常要先寫出其通項Tr+1=·an-r·br(其中0≤r≤n,r∈N,n∈N*),然后再根據題意列出相應式子進行求解,有時需要建立方程才能解決。

分析:寫出二項展開式的通項,令其對應的x的指數為3,判斷相應的r的值,再求解對應的項,得到相應的系數。

解:二項展開式的通項為Tr+1=

則展開式中x3的項為T5=21·C45·x3= 10x3,x3的系數為10,故答案為10。

點評:本題主要考查二項展開式及其計算。這是應用二項式定理的通項的典型問題,通過通項寫出所需的項,再利用方程思想,根據條件列出方程,有時還要先解出相應n的值,從而解出對應項的值。

2.基本性質意識

二項式定理的基本性質的應用有:求與首末兩端等距離的兩項的二項式系數,求二項式系數的最大項,求二項式系數的和以及偶數項或奇數項的二項式系數的和等。

分析:根據二項展開式中所有項的二項式系數之和,及組合數的性質確定參數n的值,再利用通項公式來確定常數項。

解:由題意并結合組合數的性質可知: 2n=256,解得n=8。

二項展開式的通項公式為Tr+1=·

點評:本題主要考查二項式系數的和,以及二項展開式及其計算,同時考查方程思想。解決此類問題的關鍵是抓住二項式定理的基本性質來確定相應的參數值,為進一步分析及求解奠定基礎。

3.系數配對意識

凡涉及兩個二項式的積或可化為兩個二項式的積的展開式中某項系數的問題,通常結合乘法分配律,利用相關的系數配對來進行解決。

(2014年新課標Ⅰ卷理科第13題)(x-y)(x+y)8的展開式中x2y7的系數為____。(用數字填寫答案)

分析:要研究展開式中的x2y7的系數,結合(x-y)與(x+y)8的特征,只要對應求出(x+y)8中xy7的系數、x2y6的系數,與(x-y)中的對應項的系數相乘,最后再相加,即為所要求解的項的系數。

解:由題意知(x+y)8的展開式中xy7的系數為=8,x2y6的系數為=28,則(x-y)(x+y)8的展開式中x2y7的系數為8-28=-20,答案為-20。

點評:本題主要考查二項式定理中求特定項的系數問題。求多項式與二項式的積的展開式,既要靈活運用二項式定理,又要注意多項式的乘法法則的靈活運用。只有這樣,才能準確地把握它們的展開式中各項的規律,使得解題過程準確無誤。

4.方程函數意識

在二項式定理的有關問題中,二項式定理往往和函數、方程等相關知識加以綜合,根據題中條件,把問題轉化為函數或方程問題,通過解函數或確定方程值來達到目的。

(2014年浙江卷理科第5題)在(1+x)6(1+y)4的展開式中,記xmyn項的系數為f(m,n),則f(3,0)+f(2,1)+f(1,2) +f(0,3)=( )。

A.45 B.60 C.120 D.210

分析:結合二項式定理的通項公式中對應系數的求法,利用函數思想確定相應的函數關系式,并結合組合數的計算來求解。

解:由題意知含xmyn項的系數為f(m, n)=。

那么f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+ f(0,3)=

故答案為C。

點評:本題主要考查二項式定理及其應用,以及函數值的求法。通過二項式定理對通項公式中對應系數的分析,確定函數關系式,再通過組合數的計算使問題得到解決。

5.賦值運算意識

對于二項式系數問題,首先要熟記二項式系數的性質,其次要掌握賦值運算法,賦值運算法是解決二項式系數問題的一個行之有效的手段。

(2015年課標Ⅱ理科第15題) (a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數次冪項的系數之和為32,則a=。

分析:根據二項式定理寫出相應的展開式,通過對x賦特殊值,再結合相關的系數關系來確定相應的參數值。

解:設(a+x)(1+x)4=a0x5+a1x4+ a2x3+a3x2+a4x+a5。

令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4+a5= 16(a+1)。

令x=-1,可得-a0+a1-a2+a3-a4+a5=0。

整理可得a0+a2+a4=8(a+1)=32,解得a=3,故答案為3。

點評:本題主要考查二項式定理的運用及二項式系數和,也考查了轉化與化歸的數學思想和等價變形的能力。二項式定理是一個恒等式,對一切x的值都能成立。當求展開式的系數或者證明有關組合數的恒等式時,常常用此方法——賦特殊值,常見的解法是令x的值為1,-1或0。

6.轉化變形意識

在二項式定理的有關問題中,經常會見到多于二項的多項式(三項或者多于三項),求解時,主要是把多項式問題轉化變形為相關的二項式定理的問題來分析求解。

分析:先對含有三項的二項式加以展開,注意轉化變形,再通過二項式求解對應的系數,正確的轉化是解決問題的關鍵。

點評:本題主要考查運用二項式定理求特定項,解題時要特別注意轉化思想的應用。通過把較為復雜的二項式問題轉化為較為簡單的二項式問題來處理,使得解題過程去繁為簡。

7.不等式意識

在二項式定理的有關問題中,經常會碰到展開式的項或對應的系數包含有參數的取值范圍的問題,必須根據不等關系建立相關的不等式,通過求解不等式來求解相關問題。

分析:利用二項展開式的通項公式,結合題中展開式中x3項的系數建立關系式,得到ab=1,進而再利用基本不等式來確定所求式的最值問題。

解:由于展開式的通項Tr+1=Cr6·

令12-3r=3,得r=3。

根據基本不等式有a2+b2≥2ab=2,當且僅當a=b,且ab=1時,等號成立。

故a2+b2的最小值是2,答案為2。

點評:深刻理解二項式定理,充分把二項展開式與題目中的代數式的最值問題加以綜合與交匯,利用基本不等式來確定最值。在實際應用中,往往把相關的二項式定理問題轉化為函數、方程、不等式等問題,再利用相關的數學知識來分析與求解。

同學們在學習時,應結合二項式定理中的典型實例,認真做好基本方法的梳理工作,通過精心配置例題和習題,進行知識、方法和技巧的訓練,才能真正掌握二項式定理。

(責任編輯 徐利杰)