分類討論思想在兩個計數原理中的應用

■重慶市鐵路中學校 何成寶

分類討論思想在兩個計數原理中的應用

■重慶市鐵路中學校 何成寶

分類加法計數原理與分步乘法計數原理,它們的區別在于:分類加法計數原理與“分類”有關,各種方法相互獨立,用其中任何一種方法都可以完成這件事;分步乘法計數原理與“分步”有關,各個步驟相互依存,只有各個步驟都完成了,這件事才算完成。從思想方法的角度看,分類加法計數原理的運用是將一個問題進行“分類”思考,分步乘法計數原理是將問題進行“分步”思考。無論是“分類”還是“分步”,都要涉及分類討論思想的應用。下面對兩個計數原理中的分類討論思想的應用進行歸納,供同學們學習參考。

類型一、分類計數原理的應用

某同學有同樣的畫冊2本,同樣的集郵冊3本,從中取出4本贈送給4位朋友,每位朋友1本,則不同的贈送方法共有( )。

A.4種 B.10種

C.18種 D.20種

思路點撥:應用分類加法計數原理,首先根據問題的特點,確定分類的標準,分類應滿足:完成一件事的任何一種方法,必屬于某一類且僅屬于這一類。本題要注意畫冊相同,集郵冊相同,這是重復元素,不能簡單按照排列知識來求,所以要分類進行求解。

解本題分兩步進行:第一步先選出2人選修課程甲,第二步再把剩余2人分別從乙、丙2門課程中選修1門。

類型二、分步計數原理的應用

4位同學每人從甲、乙、丙3門課程中選修1門,則恰有2人選修課程甲的不同選法共有( )。

A.12種 B.24種

C.30種 D.36種

思路點撥:“分步”是乘法原理的標志。要注意在同一類中合理分步的幾個原則:分步標準必須一致;分步要做到步驟關聯,步驟

類型三、兩個原理的綜合應用

從1到20這20個正整數中,每次取出3個,問:它們可以組成多少組不同的等差數列?

思路點撥:本題是一道計數原理與等差數列的綜合題,能構成等差數列的三個數有很多,到底如何取這三個數才能準確地、不重不漏地找出所有能構成的等差數列是本題的難點。

解析:依題意,要使這三個數成等差數列,公差d的取值可以為±1,±2,…,±9,因此分18類。

當d=±1時,可以組成36組不同的等差數列;

當d=±2時,可以組成32組不同的等差數列;

……

當d=±9時,可以組成4組不同的等差數列。

根據分類加法計數原理知,共有36+32 +28+…+8+4=180(組)不同的等差數列。

按照公差的大小來分類能使取出的三個數不重不漏,那么每一類型有多少個三位數?比如,當等差數列的公差為1時,能構成等差數列的三個數為123;234;345;…;1819 20,查個數時,看每組數的第一個數,因此共18個等差數列。

(責任編輯 徐利杰)