基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和單神經(jīng)元PID的PMSM速度控制器

綿陽市維博電子有限責(zé)任公司 宋永強中國兵器裝備集團自動化研究所 劉議聰綿陽市維博電子有限責(zé)任公司 朱泓光

基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和單神經(jīng)元PID的PMSM速度控制器

綿陽市維博電子有限責(zé)任公司 宋永強
中國兵器裝備集團自動化研究所 劉議聰
綿陽市維博電子有限責(zé)任公司 朱泓光

為提高PMSM(Permanent Magnet Synchronous Motor,永磁同步電機)伺服系統(tǒng)的控制水平，本文提出一種基于RBF(Radial Basis Function,徑向基函數(shù))神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和單神經(jīng)元PID的PMSM速度控制器,可根據(jù)PMSM伺服系統(tǒng)的實時狀態(tài)進行速度控制器內(nèi)部參數(shù)自整定，由于具備這種能力，使PMSM伺服系統(tǒng)的速度環(huán)實現(xiàn)全局最優(yōu)控制。實際中，工業(yè)過程控制對平穩(wěn)度要求較高，針對此要求對單神經(jīng)元PID算法進行改進，將固定比例系數(shù)改進為跟隨系統(tǒng)誤差變化的變比例系數(shù)，這種改進有效的減少了系統(tǒng)超調(diào)，使控制更加平穩(wěn)。

PMSM；RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；單神經(jīng)單元PID控制器

0 引言

PMSM(Permanent Magnet Synchronous Motor，永磁同步電機)伺服系統(tǒng)的發(fā)展，滿足了日趨復(fù)雜的工業(yè)過程控制。如何提高PMSM伺服系統(tǒng)的性能一直是人們關(guān)注的焦點，而PMSM伺服系統(tǒng)大多使用傳統(tǒng)的PID控制器，伺服系統(tǒng)的性能取決于PID參數(shù)的匹配程度。因PMSM為多變量、非線性、強耦合、參數(shù)時變系統(tǒng)，所以很難找到一組PID參數(shù)能使系統(tǒng)達到較為理想的控制水平。一般控制過程存在較多的狀態(tài)，傳統(tǒng)的PID控制器只能實現(xiàn)局部最優(yōu)，而不能兼顧所有狀態(tài)。目前，智能控制策略已經(jīng)成功應(yīng)用于PMSM伺服系統(tǒng)控制，以解決傳統(tǒng)PID控制器的不足。基于前向多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的PID自整定算法用于PMSM伺服控制系統(tǒng)的研究較多。這類研究一般是通過前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對伺服系統(tǒng)進行辨識，利用辨識結(jié)果對PID控制器參數(shù)進行整定以達到控制效果。

在PMSM的智能控制領(lǐng)域，也有使用單神經(jīng)元PID算法直接作為伺服系統(tǒng)三環(huán)控制器的研究。本文提出一種將RBF多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和單神經(jīng)元PID控制器相結(jié)合的算法，通過RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識器對單神經(jīng)元PID控制器的連接權(quán)值進行調(diào)整，利用此算法對PMSM伺服系統(tǒng)的速度環(huán)進行控制，可大大提高PMSM伺服系統(tǒng)的控制水平。

進一步，本文對單神經(jīng)元PID控制器的比例系數(shù)K進行改進，改進后的速度控制器可使PMSM伺服系統(tǒng)獲得更好的抗擾能力，且控制性能更加平穩(wěn)。

1 基于矢量控制的PMSM模型

1.1 PMSM數(shù)學(xué)模型

PMSM在d、q旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型可表示如下：

（1）電壓方程

上式中，ud、uq為d、q軸的定子電壓(V)，id、iq為d、q軸的定子電流(A)，Ld、Lq為定子繞組在d、q軸上的等效自感(H)，ψf為轉(zhuǎn)子永磁體磁鏈(Wb)，ω為電機的電角速度(rad/s)。

（2）電磁轉(zhuǎn)矩方程

上式中，Pn為PMSM的極對數(shù)，Pniqψf為永磁體在q軸產(chǎn)生的永磁轉(zhuǎn)矩，(Ld－Lq)idiq為由于轉(zhuǎn)子的凸極效應(yīng)產(chǎn)生的磁阻轉(zhuǎn)矩。

（3）電機運動方程

上式中，JM為PMSM的轉(zhuǎn)動慣量，B為轉(zhuǎn)子等效阻尼系數(shù)，ωm為機械角，T為伺服拖動系統(tǒng)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

1.2 PMSM矢量控制

當(dāng)使用id=0控制時，PMSM在d、q坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型可以進一步簡化為：

（1）電壓方程

（2）電磁轉(zhuǎn)矩方程

（3）電機運動方程

控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示，控制原理為：速度給定ωr與實際速度的差值Δω為速度控制器的輸入，速度控制器產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩電iq*。通過PARK變換，把逆變器輸出給PMSM的三相定子電流變換為兩項旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的電流id、iq。轉(zhuǎn)矩電流信號iq*、勵磁電流信號id*和實際電流id、iq經(jīng)過電流控制器的比較計算得到相應(yīng)的電壓信號ud*、uq*。利用PARK逆變換對d、q軸電壓信號進行變換，繼而得到a、b、c三相坐標(biāo)系的電壓指令信號，再通過SVPWM的調(diào)制產(chǎn)生控制逆變器的脈寬調(diào)制信號，從而驅(qū)動PMSM。

圖1 PMSM矢量控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識器

RBF (Radial Basis Function，徑向基函數(shù))神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種3層前向網(wǎng)絡(luò)，雖然輸入到輸出的映射是非線性的，而隱層空間到輸出空間的映射卻是線性的，且RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是局部逼近的網(wǎng)絡(luò)，因此采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)即可大大加快學(xué)習(xí)速度，又能避免局部極小問題[1]。

本文使用具有3個輸入節(jié)點和6個隱層節(jié)點的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為PMSM伺服系統(tǒng)的辨識器，拓?fù)鋱D如圖2所示。

圖2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識器拓?fù)鋱D

其中，X=[x1，x2，x3]T為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入向量。u(k-1)為速度控制器輸出iq*延時1個周期的采樣值，其作為x1節(jié)點的輸入。y(k-1)為PMSM轉(zhuǎn)速ω延時1個周期的采樣值，其作為x2節(jié)點的輸入。y(k-2) 為PMSM轉(zhuǎn)速ω延時2個周期的采樣值，其作為x3節(jié)點的輸入。通過對PMSM伺服系統(tǒng)的辨識，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出對PMSM轉(zhuǎn)速的估計值yn(k)。H=[h1，h2，…，h6]T為徑向基向量，hj為高斯基函數(shù)，即：

上式中，網(wǎng)絡(luò)的第j個節(jié)點的中心向量為：

基寬向量為：

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出為：

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近性能指標(biāo)函數(shù)為：

上式中，y(k)為PMSM的實際轉(zhuǎn)速值ω的采樣值。

根據(jù)梯度下降法調(diào)整RFB神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的各參數(shù)，可得網(wǎng)絡(luò)節(jié)點中心矢量、節(jié)點基寬、輸出權(quán)值的迭代算法如下：

式中，η為學(xué)習(xí)率，α為動量因子，η∈[0，1]，α∈[0，1]。

由RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識得到單輸入單輸出系統(tǒng)的Jacobian值，算法如下：

該值反應(yīng)了對象輸出對其輸入的敏感程度。

3 單神經(jīng)元PID控制器

若干單神經(jīng)元依照特定規(guī)則可構(gòu)建成神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具備自適應(yīng)和自學(xué)習(xí)的能力，而單個神經(jīng)元同樣具備這樣的能力，且結(jié)構(gòu)簡單便于計算。傳統(tǒng)PID控制器同樣具備結(jié)構(gòu)簡單、便于調(diào)整和參數(shù)整定與工程控制指標(biāo)聯(lián)系密切等特點。若將這兩者結(jié)合，則可以在一定程度上解決傳統(tǒng)PID控制器不能實現(xiàn)參數(shù)在線整定這一缺點?；谝陨线@些特點，單神經(jīng)元PID控制器便于對一些復(fù)雜過程和參數(shù)時變系統(tǒng)進行有效控制。

3.1 固定K值單神經(jīng)元PID控制器

單神經(jīng)元PID速度控制器的模型如圖3所示。

圖3 單神經(jīng)元PID速度控制器原理圖

圖3 中，r(k)為伺服系統(tǒng)的速度給定值，y(k)為PMSM的實際轉(zhuǎn)速測定值，兩者作為轉(zhuǎn)換器的輸入，經(jīng)轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換為單神經(jīng)元的輸入量x1、x2、x3，K為比例系數(shù)，w1、w2、w3為神經(jīng)元連接權(quán)值，使性能指標(biāo)函數(shù)JC減小的趨勢來調(diào)節(jié)神經(jīng)元連接權(quán)值。轉(zhuǎn)換器內(nèi)部算法如下：

設(shè)xi(k)(i=1,2,3)輸入的連接權(quán)值為wi(k)(i=1,2,3)，神經(jīng)元的比例系數(shù)為K，使用線性截斷函數(shù)作為變換核函數(shù)f(I)，則單神經(jīng)元PID控制器的輸入輸出關(guān)系可表示為：

控制量u(k)的增量Δu(k)為：

進一步可表示為：

式(21)中，權(quán)值wi可通過單神經(jīng)元的自學(xué)習(xí)算法進行自整定。正是因為這種特性，單神經(jīng)元PID控制器對系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的精確程度要求不高且具有較高的魯棒性，適用于系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型復(fù)雜、外部擾動大、參數(shù)時變的被控對象。

本文使用最優(yōu)控制中二次型性能指標(biāo)函數(shù)的算法思想實現(xiàn)單神經(jīng)元的自學(xué)習(xí)，即通過二次型性能指標(biāo)函數(shù)調(diào)整單神經(jīng)元的連接權(quán)值，實現(xiàn)對系統(tǒng)輸出誤差的約束。

單神經(jīng)元PID控制器的二次型性能指標(biāo)函數(shù)為：

為實現(xiàn)單神經(jīng)元PID最優(yōu)控制，沿JC的減小方向修正連接權(quán)值wi( k)，即向連接權(quán)值的負(fù)梯度方向搜索，算法如下式：

利用式(17)和(20)，并將上式(24)帶入式(23)，可得單神經(jīng)元PID控制器中權(quán)系數(shù)的調(diào)整算法為：

3.2 改進比例系數(shù)K的單神經(jīng)元PID控制器

單神經(jīng)元PID控制器的比例系數(shù)K對控制性能有著較大的影響。K值越大控制器的快速性越好，但將會出現(xiàn)震蕩超調(diào)。過小的K值雖然可避免震蕩超調(diào)，但會使系統(tǒng)到達穩(wěn)態(tài)的時間增大。由此可見，固定的比例系數(shù)K值存在局限性，不能使控制性能達到最優(yōu)。

鑒于此，本文對單神經(jīng)元PID控制器的比例系數(shù)K進行改進，令改進后的比例系數(shù)為Kc，其值是系統(tǒng)控制誤差的函數(shù)。

可表示為下式：

上式中，a0、a1為正常數(shù)，ωr為PMSM伺服系統(tǒng)的給定速度，e(k)為控制誤差。

由式(26)可看出，在PMSM伺服系統(tǒng)達到給定速度值r的初始階段，可以認(rèn)為Kc=a0+a1。在PMSM伺服系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)，即速度達到給定速度值ωr時，Kc=a0。當(dāng)速度出現(xiàn)超調(diào)時Kc= a0－│e(k)│a1/ωr，但此時│e(k)│相對較小，可忽略掉第二項的影響，于是Kc≈a0。易知Kc∈[a0，a0+a1]，PMSM伺服系統(tǒng)速度從0到達給定速度ωr的過程中Kc從a0+a1變化到a0。

此算法與常規(guī)單神經(jīng)元PID算法對比，在PMSM伺服系統(tǒng)速度上升的起始階段，比例系數(shù)Kc較大，保證了系統(tǒng)的快速性，在速度接近穩(wěn)態(tài)時Kc變得較小抑制了速度的超調(diào)震蕩。

4 系統(tǒng)建模與仿真

4.1 速度控制器建模與算法

用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對PMSM伺服系統(tǒng)進行辨識，其輸出將逼近被控系統(tǒng)的實際輸出。這樣就可得到單神經(jīng)元PID控制器的對象輸入對其輸出的Jacobian矩陣，從而實現(xiàn)了單神經(jīng)元PID控制器參數(shù)在線整定。基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識器的單神經(jīng)元PID控制器原理框圖如圖4所示。

圖4 基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識器的單神經(jīng)元PID控制器原理圖

圖4 所示中，神經(jīng)元PID為單神經(jīng)元PID控制器。Z－為延時器，其作用是將信號延時一個采樣周期。RBF為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識器。r(k)為伺服系統(tǒng)的速度給定值，y(k)為PMSM的實際轉(zhuǎn)速測定值，yn(k)為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對PMSM轉(zhuǎn)速的估計值。

對PMSM伺服系統(tǒng)的采樣數(shù)據(jù)進行離線學(xué)習(xí)獲得RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識器的初始參數(shù)。當(dāng)系統(tǒng)啟動后RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和單神經(jīng)元權(quán)值將自動調(diào)整，且朝著使系統(tǒng)性能指標(biāo)函數(shù)最優(yōu)的方向變化。具體過程如下：

(1)初始化RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識器參數(shù),即對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基寬半徑、隱節(jié)點中心向量、連接突觸權(quán)值、學(xué)習(xí)率、動量因子等參數(shù)進行初始化；

(2)對系統(tǒng)的輸入r(k)和輸出y(k)進行采樣，得到系統(tǒng)控制誤差e(k)，再由式(17)得到神經(jīng)元的輸入x1、x2、x3；

(3)通過RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識器估計被控對象的輸出值yn(k)，再利用被控對象的輸出誤差en(k)，根據(jù)梯度下降算法調(diào)整RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識器的內(nèi)部參數(shù)，并計算Jacobian值；

(4)利用二次性能指標(biāo)函數(shù)和梯度下降算法再結(jié)合RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識器所得到的Jacobian信息調(diào)整單神經(jīng)元PID控制值的連接突觸權(quán)值；

(5)計算單神經(jīng)元PID控制器的輸出值u(k)；

(6)令k=k+1返回第2)步，進行下一次迭代。

4.2 系統(tǒng)仿真建模

上文對PMSM矢量控制、單神經(jīng)元PID控制器和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識器進行了詳細(xì)的論述。接下來對系統(tǒng)進行建模，分別對傳統(tǒng)PID控制器、基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識器的固定比例系數(shù)單神經(jīng)元PID控制器和基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識器的改進比例系數(shù)單神經(jīng)元PID控制器進行仿真，比較仿真結(jié)果，對提出的理論進行驗證。仿真系統(tǒng)框圖如圖5所示。

圖5 系統(tǒng)仿真框圖

使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識器的單神經(jīng)元PID作為PMSM伺服系統(tǒng)的速度控制器，為了便于和傳統(tǒng)PID控制器對比，通過選擇開關(guān)在兩者間進行切換。通過編寫轉(zhuǎn)換代碼，單神經(jīng)元PID控制器可選擇使用固定比例系數(shù)或改進比例系數(shù)。使用matlab編寫RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識器和單神經(jīng)元PID控制器的S-function函數(shù)，利用simulink搭建PMSM矢量控制模型。仿真模型如圖6所示。

圖6所示中，PID模塊為傳統(tǒng)PID控制器，RBF PID為基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識器的單神經(jīng)元PID控制器，兩者通過Switch開關(guān)進行切換。編寫控制器轉(zhuǎn)換代碼，以便對三種不同的控制器的性能進行對比，通過比較可評價三種不同控制器的性能。

仿真模型中PMSM的參數(shù)如表1所示。

表1

系統(tǒng)的初始負(fù)載轉(zhuǎn)矩設(shè)置為4N.m，在0.5s設(shè)置負(fù)載轉(zhuǎn)矩為9N.m，即模擬外部擾動對系統(tǒng)的影響。系統(tǒng)的速度給定為800rpm。

4.3 系統(tǒng)仿真結(jié)果

為了在同一條件下比較不同速度控制器的性能，使基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識器的單神經(jīng)元PID控制器的初始狀態(tài)與傳統(tǒng)PID控制器相同，做以下處理：

上式中，KP、KI、KD為傳統(tǒng)PID控制器的PID參數(shù)，K為單神經(jīng)元的比例系數(shù)，w1、w2、w3為單神經(jīng)元連接權(quán)值。

將傳統(tǒng)PID控制器、基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識器的固定比例系數(shù)單神經(jīng)元PID控制器和基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識器的改進比例系數(shù)單神經(jīng)元PID控制器的仿真結(jié)果繪制于同一二維圖中，仿真結(jié)果如圖7-9所示。

圖7 仿真結(jié)果(a)

圖7 所示中，PID描述的曲線代表傳統(tǒng)PID控制器的仿真結(jié)果，RBF-K-PID描述的曲線代表基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識器的固定比例系數(shù)單神經(jīng)元PID控制器的仿真結(jié)果，RBF-KC-PID描述的曲線代表基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識器的改進比例系數(shù)單神經(jīng)元PID控制器的仿真結(jié)果。標(biāo)識(b)內(nèi)的曲線反映了三種控制器的動態(tài)性能，如圖8所示，標(biāo)識(c)內(nèi)的曲線反映了三種控制器的抗擾性能，如圖9所示。

圖8 仿真結(jié)果(b)

通過圖8所示可得三種速度控制器的動態(tài)性能指標(biāo)，主要動態(tài)性能指標(biāo)參數(shù)如表2所示。

表2 三種速度控制器的動態(tài)性能指標(biāo)

通過對三種速度控制器的對比，可以看出基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識器的單神經(jīng)元PID控制器的調(diào)節(jié)時間、超調(diào)量、震蕩次數(shù)等性能指標(biāo)均優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制器，改進比例系數(shù)的單神經(jīng)元PID控制器的動態(tài)性能指標(biāo)優(yōu)于固定K值單神經(jīng)元PID控制器，尤其在超調(diào)量和震蕩次數(shù)指標(biāo)方面較為優(yōu)越。

圖9 仿真結(jié)果(c)

通過圖9可得三種速度控制器的抗擾性能指標(biāo)，主要抗擾性能指標(biāo)參數(shù)如表3所示。

表3 三種速度控制器的抗擾性能指標(biāo)

通過對三種速度控制器的對比，可以看出基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識器的單神經(jīng)元PID控制器的恢復(fù)時間、動態(tài)降落、震蕩次數(shù)等性能指標(biāo)均優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制器。而改進比例系數(shù)的單神經(jīng)元PID控制器的恢復(fù)時間較固定比例系數(shù)的單神經(jīng)元PID控制器長，但其速度曲線幾乎無超調(diào)和波動現(xiàn)象。由此可見使用優(yōu)化比例系數(shù)的單神經(jīng)元PID控制器可大大提高系統(tǒng)的控制性能，使系統(tǒng)更加平穩(wěn)，抗干繞能力更強。改進比例系數(shù)的單神經(jīng)元PID控制器以犧牲系統(tǒng)擾動恢復(fù)時間為代價換取了平穩(wěn)的控制性能，其特別適用于柔性控制。

5 結(jié)束語

筆者提出了一種基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識器的單神經(jīng)元PID控制器，作為PMSM伺服系統(tǒng)的速度控制器。進一步，對固定比例系數(shù)的單神經(jīng)元PID控制器進行優(yōu)化。

利用matlab的simulink模塊搭建PMSM伺服系統(tǒng)模型，并分別對傳統(tǒng)PID控制器、基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識器的固定比例系數(shù)單神經(jīng)元PID控制器和基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識器的改進比例系數(shù)單神經(jīng)元PID控制器進行了仿真，通過對三者仿真結(jié)果的對比，驗證了基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識器的單神經(jīng)元PID控制器在同樣的初始條件下具有比傳統(tǒng)PID控制器更加優(yōu)越的控制性能。

通過對比基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識器的固定比例系數(shù)單神經(jīng)元PID控制器和基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識器的優(yōu)化比例系數(shù)單神經(jīng)元PID控制器的仿真結(jié)果，驗證了基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識器的優(yōu)化比例系數(shù)單神經(jīng)元PID控制器具有更加平穩(wěn)的控制性能和抗干繞能力，但是其抗擾恢復(fù)時間較長。

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A PMSM Speed Controller Based on RBF Neural Network and Single Neuron PID

Song Yongqiang1，Liu Yicong2，Zhu Hongguang3
（1.Manyang Weibo Electronic Co.,Ltd，Mianyang 621000，China；2.Weapon Equipment Information & Control，Mianyang 621000，China；3.Manyang Weibo Electronic Co.,Ltd，Mianyang 621000，China）

In order to improve the control performance of PMSM(Permanent Magnet Synchronous Motor)servo system，the paper proposes a PMSM speed controller based on RBF(Radial Basis Function)neural network and single neuron PID，which realizes self-tuning of the speed controller’s internal parameters in accordance with the real-time status of PMSM servo system.Due to this ability，it makes the system’s speed loop realize the optimal control on the whole.In reality，industrial process control has a higher requirement for smoothness. Therefore，improvement is made to the single neuron PID algorithm by modifying the fxed scale factor into a variable proportional coeffcient changing with system error，which effectively reduces the system overshoot and thereby makes the control smoother.

PMSM；RBF neural network；single neuron PID controller