“新定義”型問題中的推理探究

“新定義”型問題中的推理探究

■陜西省洋縣中學 劉大鳴(特級教師) 朱永明

“新定義”型問題,主要是指在問題中定義了同學們沒有學過的一些新概念、新運算、新符號,要求同學們讀懂題意并結合已有的知識、能力進行理解,并根據新的定義進行運算、推理、遷移的一種題型。這類題目具有啟發性、思考性、挑戰性和隱蔽性等特點,由于它構思巧妙,題意新穎,是考查同學們核心素養、挖掘同學們潛力的較佳題型,因而受到命題者的青睞。下面對“新定義”中的推理探究題進行提煉,希望對同學們有所幫助。

題型1 定義的新概念問題“照章辦事”,逐條“分析、驗證、運算”推理

(2017年四川省成都市高三模擬)設S,T是R的兩個非空子集,如果存在一個從S到T的函數y=f(x)滿足:(1)T ={f(x)|x∈S};(2)對任意x1,x2∈S,當x1＜x2時,恒有f(x1)＜f(x2),那么稱這兩個集合“保序同構”。以下集合對不是“保序同構”的是( )。

A.A=N*,B=N

B.A={x|-1≤x≤3},B={x|x=-8或0＜x≤10}

C.A={x|0＜x＜1},B=R

D.A=Z,B=Q

解析：由題中(1)可知,S為函數y= f(x)的定義域,T為函數y=f(x)的值域。由(2)可知,函數y=f(x)在定義域內單調遞增,對于選項A,可構造函數y=x-1,x∈N*,y∈N,滿足條件;對于選項B,可構造函數滿足條件;對于選項C,構造函數(0,1),滿足條件;對于選項D,無法構造其定義域為Z,值域為Q且遞增的函數,故選D。

點評:對于新定義問題,一定要讀懂新定義的本質,緊扣題目所給定義合理進行構造推理,本題依據兩個集合“保序同構”的定義,構建函數的對應法則,滿足定義域到值域的映射且為增函數的對應關系,再進行驗證推理判斷,切忌新定義同已有概念或定義相混淆。

題型2 定義的新運算依據“新法則”合理運算和推理

(2017屆四川省雅安中學高三月考)一個二元碼是由0和1組成的數字串x1x2…xn(n∈N*),其中xk(k=1,2,…,n)稱為第k位碼元。二元碼是通信中常用的碼,但在通信過程中有時會發生碼元錯誤(即碼元由0變為1,或者由1變為0),已知某種二元碼x1x2…x7的碼元滿足如下校驗方程組:其中運算⊕定義為:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0。現已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第k位發生碼元錯誤后變成了1101101,那么利用上述校驗方程組可判定k等于____。

解析：根據二元碼運算法則,按照所給的數學規則和要求進行邏輯推理和計算,由題意得相同數字經過運算后為0,不同數字運算后為1;由x4⊕x5⊕x6⊕x7=0可判斷后4個數字出錯(可用反證法):由x2⊕x3⊕x6⊕x7=0可判斷后2個數字沒錯(可用反證法),即出錯的是第4個或第5個;由x1⊕x3⊕x5⊕x7=0可判斷出錯的是第5個。綜上,第5位發生碼元錯誤。

點評:新定義的運算問題,關鍵在于找到元素之間的對應關系再進行合理運算,有時需要借助圖表尋找關系,利用對應關系列方程求解。本題結合運算法則“相同數字經過運算后為0,不同數字運算后為1”和校驗方程組以及“反證法”由后向前進行逆推和計算,最后得到結果。

題型3 集合中的“新定義”抓代表元素驗證其屬性推理

(2017屆山東省濰坊市高三月考)已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若對于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,則稱集合M是“理想集合”。給出下列4個集合:①M1=;②M2={(x,y)|y= s i nx};③M3={(x,y)|y=ex-2};④M4= {(x,y)|y=l gx}。其中所有“理想集合”的序號是( )。

A.①③ B.②③

C.②④ D.③④

解析：由題意得,設A(x1,y1),B(x2, y2),由x1x2+y1y2=0可知對于①是以x軸,y軸為漸近線的雙曲線,漸近線的夾角為90°,所以當點A、B在同一支上時,∠A O B＜90°,當點A、B不在同一支上時,∠A O B＞90°,不存在,故①不正確;對于②,通過對圖像的分析發現,對于任意的點A都能找到對應的點B,使得成立,故正確;對于③,由圖像可得直角始終存在,故正確;對于④,由圖像可知,點(1,0)在曲線上不存在另外一個點,使得成立,故錯誤。故②③對,應選B。

點評:對于新定義的集合,抓代表元素,根據新概念、新定義或新運算,明確集合中元素的特點和元素的產生過程,構造出符合要求的情境,再進行新概念和集合運算,合理進行推理判斷。本題“理想集合”通過x1x2+y1y2=0就是在函數的曲線上任意一個點A都能找到一個點B,使得成立的解析式,然后對函數解析式逐一推理判斷。

題型4 根據函數中的“新定義”捕捉信息,合理轉化為函數性質或圖像求解

(2017屆遼寧省盤錦市高中月考)如果定義在R上的函數f(x)滿足:對于任意x1≠x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)＞x1f(x2)+x2f(x1),則稱f(x)為“H函數”。給出下列函數:①y=-x3+x+1;②y=3x-2(s i nx-co sx);③y=ex+1;④其中為“H函數”的是____。

解析：因為對于任意給定的不等實數x1,x2,不等式x1f(x1)+x2f(x2)＞x1· f(x2)+x2f(x1)恒成立,所以不等式等價為(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]≥0恒成立,即函數f(x)是定義在R上的“不減函數”即無遞減區間。①函數y=-x3+x+1,則y'= -3x2+1,在上為增函數,其他區域為減函數,不滿足條件。②y=3x-2(s i nx -co sx),y'=3-2co sx+2s i nx=3-函數單調遞增,滿足條件。③y=ex+1是定義在R上的增函數,滿足條件。當x≥1時,函數單調遞增,當x＜1時,函數單調遞減,不滿足條件。故答案為②③。

點評:函數的“新定義”,應依據要求分析新定義的特點,弄清新定義的性質,按新定義的要求,“照章辦事”,逐條分析、驗證、運算,使問題得以解決。本題通過新定義可知f(x)為“H函數”即為“不減函數”,判斷函數的單調性即可得到結論。

題型5 不等式中的“新定義”合理轉化為均值不等式求最值

對于使x2-2x≥M成立的所有常數M中,我們把M的最大值-1,稱為函數x2-2x的“下確界”。若x,y,z∈R+,且的“下確界”為____。

點評:函數“下確界”來源于高等數學,這要求同學們認真閱讀題意,在充分理解題意的基礎上,求的最小值,運用學過的均值不等式知識求出相應函數的最值。

題型6 三角中的“新定義”依據定義和三角知識驗證判斷或計算推理

(北京市海淀區2017屆高三第一學期期末測試)已知△AB C,若存在△A1B1C1,滿足1,則稱△A1B1C1是△AB C的一個“友好”三角形。在滿足下述條件的三角形中,存在“友好”三角形的是____:(寫出符合要求條件的序號)

(1)①A=90°,B=60°,C=30°;

②A=75°,B=60°,C=45°;

③A=75°,B=75°,C=30°。

(2)若等腰△AB C存在“友好”三角形,且其頂角的度數為____。

解析：(1)由“友好”三角形和三角形中的三角變換逐一驗證,

對于①A=90°,B=60°,C=30°,則co sA=co s90°=0不滿足題意,不存在“友好”三角形;對于②,若,且A=75°,B=60°,C=45°,取A +A1=90°,A1=15°,同理取B1=30°,C1= 135°,△AB C存在“友好”三角形;對③,若=1,且A=75°,B= 75°,C=30°,取A1=15°,B1=15°,C1=60°或120°都不能構成三角形,即不存在“友好”三角形。

(2)依據等腰三角形存在“友好”三角形的特點,求其頂角的值,若等腰△AB C存在“友好”三角形,則A=B,所以A+A+C= 180°。A1=B1=90°-A,C1=90°-C或C1=90°+C,分析可知C1=90°+C。

所以A1+B1+C1=180°,即270°-2A +C=180°,2C=90°,故C=45°,即頂角的度數為45°。

點評:依據題意,挖掘新定義的意義,結合三角知識要么逐一推理判斷,要么依據定義合理計算確定其屬性,本題“友好”三角形的判斷和由“友好”三角形確定原三角形頂角的過程,都用到了誘導公式和組成三角形的條件。

題型7 數列中的“新定義”依據定義和數列知識驗證判斷或推理證明

如果一個數列從第2項起,每一項與它前一項的差都大于3,則稱這個數列為“S型數列”。

(1)已知數列{an}滿足a1=4,a2=8,an+an-1=8n-4(n≥2,n∈N*),求證:數列{an}是“S型數列”;

(2)已知等比數列{an}的首項與公比q均為正整數,且{an}為“S型數列”,記bn=,當數列{bn}不是“S型數列”時,求數列{an}的通項公式。

解析：(1)由“S型數列”定義結合數列知識證明數列{an}是“S型數列”。

由題設知an+1+an=8n+4。①

an+an-1=8n-4。②

①-②得an+1-an-1=8。而a1=4,a2=8,所以a2n=8n,a2n-1=8n-4。

因此an=4n,從而an-an-1=4＞3,所以,數列{an}是“S型數列”。

(2)利用{an}為“S型數列”,{bn}不是“S型數列”,結合等比數列通項及單調性兩邊逼近求出其通項公式。由題意可知a1≥1,且an-an-1＞3,因此{bn-bn-1}單調遞增且q≥2。而(an-an-1)-(an-1-an-2)= an-1(q-1)-an-2(q-1)=(q-1)(an-1-an-2)＞0,所以{an-an-1}單調遞增。

又{bn}不是“S型數列”,所以存在n0,使得bn0

-bn0-1≤3。則b2-b1≤bn0-bn0-1≤3,a1(q-1)≤4。

又因為a2-a1＞3,即a1(q-1)＞3且a1,q∈N*,所以a1(q-1)=4。

從而a1=4,q=2或a1=2,q=3或a1= 1,q=5,即an=2n+1或an=2·3n-1或an= 5n-1。

點評:數列的“新定義”問題,關鍵是合理利用給定的定義與性質,結合相應的數列知識來處理。本題(1)中,由題設遞推關系變形,結合等差數列的通項公式及新定義證明數列{an}是“S型數列”;(2)中由{an}為“S型數列”,{bn}不是“S型數列”,可結合數列單調性,兩邊逼近求出首項和公比確定其通項公式,解法耐人回味。

題型8 圓錐曲線中的新定義題型可運用定義合理轉化為“定點、定值及最值”問題

(2017屆江西師大附中、鷹潭一中高三第一次聯考)已知拋物線C的標準方程為y2=2p x(p＞0),M為拋物線C上一動點,A(a,0)(a≠0)為其對稱軸上一點,直線MA與拋物線C的另一個交點為N。當A為拋物線C的焦點且直線MA與其對稱軸垂直時,△MON的面積為18。(1)求拋物線C的標準方程;(2)記若t值與M點位置無關,則稱此時的點A為“穩定點”,試求本題中所有“穩定點”。

(2)設M(x1,y1),N(x2,y2),直線MN的方程為x=m y+a。得 y2-12m y-12a=0,Δ=144m2+48a＞0,y1+y2=12m,y1y2=-12a。

由對稱性,不妨設m＞0。

①a＜0時,因為y1y2=-12a＞0,所以y1,y2同號。

②當a＞0時,y1y2=-12a＜0,故y1y2異號。

當a-3=0,即a=3時,t與m無關,此時A(3,0)為“穩定點”。

點評:圓錐曲線中的“新定義”,合理轉化為“定點、定值及最值”問題,這是解析幾何的本質——代數的方法研究幾何問題所決定的。本題將“穩定點”轉化為定值的探究,設直線方程,聯立方程組,合理構建目標式t=,分類用坐標表示,由穩定點的意義確定a的值,其中“設而不求、整體和消元”思想的運用可有效地簡化運算過程。

題型9 導數中的“新定義”合理轉化為“函數的極值、最值和不等式”問題

(1)若函數f(x)有且只有一個極值點,求實數a的取值范圍。

(2)對于函數f(x),f1(x),f2(x),若對于區間D上的任意一個x,都有f1(x)＜f(x)＜f2(x),則稱函數f(x)是函數f1(x),f2(x)在區間D上的一個“分界函數”。已知f1(x)=(1-a2)l nx,f2(x)= (1-a)x2,是否存在實數a,使得函數f(x)是函數f1(x),f2(x)在區間(1,+∞)上的一個“分界函數”?若存在,求實數a的取值范圍;若不存在,說明理由。

(2)利用“分界函數”的定義合理轉化。若函數f(x)是函數f1(x),f2(x)在區間(1,+∞)上的一個“分界函數”,則當x∈(1, +∞)時,f(x)-(1-a)x2＜0恒成立,且f(x)-(1-a2)l nx＞0恒成立。記h(x)=

不妨記m(x)=f(x)-(1-a2)l nx=

故m(x)在區間(1,+∞)上單調遞增,由f(x)-(1-a2)l nx＞0恒成立,得m(1)≥0,得

點評:導數中的新定義轉化為函數的極值、最值或不等式恒成立問題,本題轉化為利用導數研究不等式的恒成立問題,常用方法: (1)分離參數法,將原不等式分離參數,轉化為不含參數的函數最值問題,利用導數求該函數的最值,根據要求得所求范圍。(2)函數思想法,將不等式轉化為某含待求參數的函數的最值問題,利用導數求該函數的極值或最值,然后構建不等式求解。

綜上所述,“新定義”型的問題,通常是選取合適的數學背景,把新定義、新運算巧妙地融入到試題中來,雖然它的構思巧妙、題意新穎、隱蔽性強,到處都體現出新意,但它考查的還是基本知識和基本技能,解題的關鍵在于全面準確理解題意,科學合理地推理運算。因此,“新題”不一定是“難題”,只有夯實基礎,掌握好雙基,以不變應萬變才是我們取勝的法寶。

(責任編輯 徐利杰)