例談一類雙變量不等式的證明

■陜西省西安市臨潼區馬額中學 童永奇

例談一類雙變量不等式的證明

■陜西省西安市臨潼區馬額中學 童永奇

雙變量問題難度大,試題新穎,很多同學無從下手,下面通過舉例剖析的形式,著重說明兩個問題:一是證明與函數緊密相關的雙變量不等式問題的常用方法;二是幫助同學們理清內在規律,便于迅速求解同類問題。

例題：已知函數f(x)=l nx-ax(a∈R)有兩個不同的零點x1,x2,求證:x1x2＞e2。

分析：本題看似簡單,但實際較難,具有一定的綜合性,涉及函數、導數、不等式等知識。從題設出發,需要進一步明確已知條件,借助數形結合、適當變形,發現特點;從待證式出發,可活用分析法等價轉化目標問題,以便構造函數,借助導數加以證明。

又f(1)=-a＜0,不失一般性,若設x1＜x2,則由f(x)的圖像知

因為x1,x2是函數f(x)=l nx-ax的零點,所以f(x1)=l nx1-ax1=0,f(x2)= l nx2-ax2=0。

故l nx1=ax1,① l nx2=ax2。②

由①+②得,l n(x1x2)=a(x1+x2)。③

由①-②得,l nx1-l nx2=a(x1-x2)。④

接下來,可采取幾種不同的思維方法加以靈活證明,請賞析。

方法一：因為由③知,要證x1x2＞e2,即證a(x1+x2)＞2,即證設函數則因為0,所以函數g(t)在(0,1)上單調遞增,所以g(t)＜g(1)=0,即 ,故得證。

方法二：由③÷④得:

于是,要證x1x2＞e2,即證2,即證以下同方法一,略。

方法三：由方法一知,要證x1x2＞e2,即證

又易知f(x1)=f(x2),所以即證f(x1)

評注:上述各方法的共同特點是均需要構造新函數,并利用新函數的單調性加以證明,但具體探尋新函數的途徑不盡相同——其中方法一、方法二的關鍵在于經過適當的變形、換元,并借助分析法,等價轉化為證明關于“t”的不等式問題;方法三的關鍵在于借助分析法,結合函數f(x)的性質,等價轉化為證明關于“x1”的不等式問題。此外,對比方法一、方法二可知,方法二的變形較為簡單,值得我們去回味、深思。

練一練：

1.已知函數f(x)=l nx-ax2(a∈R)。

(2)在(1)的條件下,若f(m)=f(n),且m＜n,求證:m+n＞4a。

2.已知函數f(x)=ax2-ex(a∈R)在(0,+∞)上的兩個零點分別為x1,x2,并且x1＜x2。

(1)求實數a的取值范圍;

(2)求證:x1+x2＞4。

(1)求實數m的取值范圍;

(責任編輯 徐利杰)