細品復數的“交匯性”

■江西省贛州中學高二(3)班 楊昊川

細品復數的“交匯性”

■江西省贛州中學高二(3)班 楊昊川

復數是高中數學的選修內容,它能與其他數學知識自然交匯,使數學問題的情境新穎別致,自然流暢,令人賞心悅目,下面舉例說明。

一、復數與簡易邏輯的交匯

已知i為虛數單位,a∈R,復數z =(a-2i)(1+i)在復平面內對應的點為M,則“a=1”是“點M在第四象限”的( )。

A.充要條件

B.必要不充分條件

C.充分不必要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：由題知z=(a-2i)(1+i)=(a+2)+(a-2)i,其對應的點M(a+2,a-2)位于第四象限的充要條件為a＜2。故a=1是點M位于第四象限的充分不必要條件。

點評:本題將復數運算與簡易邏輯中的充要條件的判斷綜合在一起,自然貼切,給人耳目一新之感。

二、復數與函數的交匯

則f(f(1-i))等于____。

點評:本題將分段函數的求值問題與復數運算綜合在一起,具有一定的難度。

三、復數與數列的交匯

點評:本題考查等比數列的概念、前n項和公式以及復數的運算與虛數單位的冪的周期性。

四、復數與三角的交匯

實數x,y,θ有以下關系:x+yi=3+5co sθ+i(-4+5s i nθ),則x2+y2的最大值為____。

解析：由復數相等得,x=3+5co sθ,y =-4+5s i nθ,則x2+y2=(3+5co sθ)2+(-4+5s i nθ)2=50-40s i nθ+30co sθ= 50-50s i n(θ-φ)≤100。故x2+y2的最大值為100。

點評:本題將復數與三角函數知識結合在一起,主要考查復數相等的概念和三角函數求最值的方法,其中復數相等僅起“媒介”和“傳接”的作用。

五、復數與解析幾何的交匯

已知關于t的一元二次方程t2+(2+i)t+2x y+(x-y)i=0(x,y∈R)。當方程有實根時,點(x,y)的軌跡方程是____。

解析：設實根為t,則t2+(2+i)t+2x y +(x-y)i=0(x,y∈R)。

即(t2+2t+2x y)+(t+x-y)i=0。

根據復數相等的充要條件,得:

由②得t=y-x,代入①得(y-x)2+2(y-x)+2x y=0,即(x-1)2+(y+1)2=2為所求的點的軌跡方程。

點評:這是一道復數與解析幾何相結合的問題,當我們“化虛為實”以后,把一元方程轉化為二元方程組,消去參數t即得到曲線的軌跡方程。

(責任編輯 徐利杰)