衍射圖形的新型光闌設計和再現實驗

張天寧，周望威，呂劍鋒，陳 星

(浙江大學 物理學系，浙江 杭州 310027)

衍射圖形的新型光闌設計和再現實驗

張天寧，周望威，呂劍鋒，陳 星

(浙江大學 物理學系，浙江 杭州 310027)

用蒙特卡洛和貪心兩者結合混合算法，根據光闌和入射光束波長設計出相應的光闌求解出衍射圖案. 在菲涅耳衍射的情形下，對目標圖案設計了動態實驗仿真窗口，通過加入蒙特卡洛退火元素的混合算法對目標圖案進行反演計算,得到光闌編碼圖像，用擴束準直光路系統實驗驗證了設計正確性.

光闌;菲涅耳衍射;蒙特卡洛算法;貪心算法

假如光闌的形狀和入射光束的波長已知，可以求解衍射圖案，但是其逆過程，需要進行反演計算[1]，在理論上比較困難. 雖然在菲涅耳衍射的情形下，可以利用貪心算法通過多次迭代得到期望的簡單衍射圖案[1-2]，但對分辨率較高較為復雜衍射圖案，進行多次迭代，運算時間很長，實時再現較差. 本設計方案加入蒙特卡洛退火的元素，用蒙特卡洛和貪心兩者結合的混合算法對于所期望得到的衍射圖案進行反演計算[3]，并建立了參量修改圖形用戶界面(GUI)動態的實驗仿真窗口，界面窗口包含目標圖案、距離與分辨率等參量的修改、數值模擬結果和設計好的光闌. 此光闌可加載在空間光調制器LC-SLM上，通過擴束準直光學系統輸出衍射圖案進行驗證，證明此光闌設計方法可行.

1 菲涅耳衍射數值算法

E2(x2,y2,z)= eikziλz?sE1(x1,y2)exp {ik2z[(x1-

x2)2+(y1-y2)2]},

(1)

式中，E1(x1,y1)，E2(x2,y2,z)為物平面和觀測平面的光波復振幅，z為兩平面的距離[4-5].

sinc 2ax2λzsinc 2by2λz.

(2)

因為衍射圖案的形狀只與各點之間的相對光強有關，可以略去因子exp (ikz)/i、令波長λ=1取自然單位，并取a=b, 得到

(3)

2 設計模型

2.1 光闌設計

對于1 204a×1 200a的長方形, 將其等分為602×600, 共計361 200個正方形小格，每小格的邊長2a. 每個小格都會居于 “透光”和 “不透光”2種狀態中的1種, 所有“透光”的小正方形，構成了光闌實際透光的部分，決定了光闌的形狀. 假設狀態為“透光”的正方形小格，中心坐標為(x1,y1). 其產生的衍射光強分布為

E2(x2,y2,x1,y1，z)=4a2zexp{iπz[(x2-x1)2+(y2-

y1)2]}sinc 2a(x2-x1)zsinc 2a(y2-y1)z.

(4)

可用正方形小格中心點的光強，近似代替整個小格的平均光強. (4)式中的x2-x1，y2-y1，所可能取到的值有： ±600a,±598a, …，±2a,0,±598a，±596a, …，±2a, 0.

共計601×599個衍射數據. 建立存放601×599個衍射數據矩陣數組，根據光闌小格和衍射圖案小格的相對位置，就可以調用矩陣數組中的相應衍射數據. 菲涅耳數NFF≥1 orNFF≤1都不是我們要的. 選取菲涅耳數NFF=1經過衍射可以疊加出復雜的圖案[4-5]. 這時衍射圖案主體的尺寸與光闌尺寸保持相同. 目標圖案也為1 204a×1 200a的長方形. 同樣可分割為602×600, 共計361 200個正方形小格，每小格的邊長為2a. 光闌和衍射屏示意圖如圖1所示.

圖1 光闌和衍射屏示意圖

2.2 設計思路

1)選擇圖案轉換成二值圖，作為目標圖案. 因為二值圖的像素點只有“1” 和“0”即“透光”和“不透光”中的1種.

2)對光闌中所有的正方形小格隨機賦予“透光”或者“不透光”的初始狀態.

3)對所有的小正方形進行掃描(遍歷). 當掃描(遍歷)至某個小正方形時，改變其透光與否的狀態，若改變當前狀態可使衍射圖案更接近于目標圖案，則改變該狀態，否則維持原狀態不變. 即具有貪心的選擇性.

4)比較目標圖案對所有的光闌進行掃描(遍歷)之后，就可以得到接近目標圖案的衍射圖案,即具有貪心的子結構選擇性. 進行多輪這樣的遍歷，得到貪心算法的最優解——最終衍射圖案.

2.3 模擬實驗及分析

目標衍射圖案以“浙大校徽”為示例,如圖2所示. 圖案衍射圖案與目標圖案的接近程度按判據ε值的大小來判斷. 對目標圖案和實際衍射圖案的光強，進行歸一化.

目標衍射圖案中，透光(白色像素=1)小格的期望光強為Iexp(x2,y2)=1,不透光(黑色像素=0)Iexp(x2,y2)=0.

(a)分辨率602×600圖案 (b)運算得到的光闌

(c)模擬再現衍射圖案 (d)目標衍射圖案圖2 目標衍射圖案示例

定義歸一化后的期望光強I1exp(x2,y2)為：

I1exp(x2,y2)=Iexp (x2,y2)∑x2,y2Iexp (x2,y2)/N,

(5)

其中，N為目標圖案的小格數目，本例N=361 200.

某種形狀的光闌所產生的衍射圖案在衍射屏上處的光強為

I(x2,y2)=∑x2,y2E2(x2,y2,x1,y1，z)2,

(6)

式中∑x2,y2對應于所有處于“透光”狀態的光闌小格. 同樣對衍射圖案在衍射屏上處的光強歸一化為

I1(x2,y2)=I(x2,y2)∑x2,y2I(x2,y2)/N.

(7)

衍射圖案的形狀只取決于相對光強的大小，歸一化并不會影響衍射圖案的形狀.

判據定義ε為

ε≡∑x2,y2(|I1(x2,y2)-I1exp (x2,y2)|2).

用均方誤差ε值的大小作為2種圖案接近程度的判據. 分辨率較高較為復雜衍射圖案，目標圖案對所有的光闌進行掃描(全體遍歷)并多次迭代. 運算時間較長，實時再現較差. 可以對貪心算法的多次迭代進行優化. 達到同樣ε值，用蒙特卡洛方法代替多次迭代，用隨機掃描：沿著已有的圖像展開搜索，即采樣點是在原來點附近隨機上下左右各掃描X(設置的取樣點數)個點. 加入蒙特卡洛退火的元素，用蒙特卡洛和貪心兩者結合的混合算法對于所期望得到的衍射圖案進行反演計算[1，3]. 一種全局搜索能力極強的算法, 相應地系統就能夠獲得擺脫局部能量極小點的機會，并找到更好的、更接近于整體的極小點. 設計編寫了簡單明了的用戶界面(圖3)，界面中的可變參量：距離、輸出圖案尺寸. 全體掃描、多次迭代次數、優化算法參數：隨機掃描、迭代次數、 采樣點 退火參數等及實驗仿真窗口. 輸出光闌. 模擬再現圖案. 這些參量決定了整個收斂的準確度以及收斂速度的快慢，需要根據ε值不斷嘗試． 兩種圖案接近程度. 運行時設橫向運行條和縱向運行條可顯示掃描進度.

圖3 實驗仿真窗口用戶界面(GUI)

3 光闌的制作和在光學實驗中再現

對整個光闌是菲涅耳衍射，對單個像數小正方形是夫瑯禾費衍射. 要求是光強均勻分布的平行光. 因為激光器射出的是高斯光束，用擴束準直系統[1，6]由擴束鏡、針孔濾波器和傅里葉變換透鏡準直鏡組成. 將激光細光束擴展為光強均勻分布的平行寬光束. 擴束由顯微物鏡和針孔組成的濾波器完成，然后經過傅里葉變換透鏡的準直鏡準直后平行通過起偏器，調節起偏器的角度使入射光的偏振態與空間光調制器一致，然后通過加載了光闌信息的 LC-SLM后,在衍射屏再現目標圖案.

4 實驗結果與分析

雖然2塊透鏡組成望遠鏡系統[2]，也能再現分辨率較低的文字和簡單圖案. 對分辨率較高的圖案，由于光束的不均勻，會導致衍射圖案邊緣畸變的實驗誤差. 用圖4擴束準直系統：擴束鏡和準直鏡的焦點重合，構成逆望遠鏡系統在二透鏡共同焦點上放置針孔濾波器，用于高頻噪聲消除. 光束質量得以提高，獲得了寬度大于LC-SLM相面尺寸光強均勻分布的平行光束[1，6]. 實驗結果很清晰地表現了分辨率602×600圖案目標圖案圖2(a). 圖5為分辨率755×599圖案制作光闌和通過圖4實驗裝置圖再現目標衍射圖案. 從圖5(d)實驗結果看出圖像細節表現得很清晰.

圖4 再現目標圖案實驗裝置圖

(a)分辨率755×599圖案 (b)運算得到的光闌

(c)模擬再現衍射圖案 (d)實驗再現衍射圖案圖5 再現衍射圖案

5 結束語

光闌形狀和入射光束的波長已知的正過程是可以求解的，但是其逆過程，在理論上比較困難. 需要進行反演計算. 本實驗設計方案先加入蒙特卡洛退火的元素并用蒙特卡洛和模擬退火算法兩者相結合的混合算法對復雜衍射圖案進行反演計算，從動態模擬實驗和光學實驗都驗證設計的光闌能成功再現目標衍射圖案. 建立參量目標圖案、距離與分辨率等參量可修改圖形用戶界面(GUI) 的動態實驗仿真窗口. 在光闌制作上分析菲林片和液晶光閥的再現過程，發現相同輸出圖案尺寸下，分辨率液晶光閥大于菲林片. 再現衍射圖案分辨率可達到液晶光閥分辨率，液晶光閥沒有菲林片實驗誤差：光闌孔徑偏差，因此光闌制作優選液晶光閥.

[1] 潘安，張曉菲，王彬. 厚樣品三維疊層衍射成像的實驗研究[J]. 物理學報,2016,65(1):014204-1-16.

[2] Wu Yijia, Cao Shimin, Hua Limin, et al. Design and demonstration of a new kind of apertures for getting expected diffraction patterns [J]. Optics Letters, 2014,39(4):801-804.

[3] 童晟飛，王正憶，陳星. 光學薄膜橢圓偏振數據反演的優化算法[J]. 物理實驗,2012,32(9):22-28.

[4] 李俊昌. 衍射計算及數字全息[M]. 北京:科學出版社,2014.

[5] 呂乃光. 傅里葉光學[M]. 2版. 北京:機械出版社,2013.

[6] 楊上供，甘亮勤，熊飛兵. 基于Photoshop的假彩色編碼片制作新方法[J]. 激光雜志,2014,35(10):64-66.

[責任編輯：郭 偉]

Design and experiment of new diaphragm to get expected diffraction patterns

ZHANG Tian-ning, ZHOU Wang-wei, LJian-feng, CHEN Xing

(Department of Physics, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China)

According to the diaphragm and the wavelength of the incoming light beam, the corresponding apertures were designed to solve the diffraction pattern using a combination of Monte Carlo and greed algorithm. In the regime of Fresnel diffraction, a dynamic simulation window to the target pattern was designed. By joining a blend of elements of the Monte Carlo annealing algorithm, the target pattern was inversely calculated. The coded image of diaphragm was obtained, and the accuracy with the expanded beam collimation light path system was verified by the experiments.

diaphragm; Fresnel diffraction; Monte Carlo algorithm; greedy algorithm

2016-05-27；修改日期：2016-07-14

張天寧(1994-)，男，浙江嵊州人，浙江大學物理學系求是科學班(物理)2013級本科生.

指導教師：陳 星(1962-)，男，浙江杭州人，浙江大學物理學系高級實驗師，學士，從事光學、原子結構、核物理等近代物理實驗教學與研究．

O436．1

A

1005-4642(2017)01-0048-04

“第9屆全國高等學校物理實驗教學研討會”論文