考慮鉸鏈間隙的水面并聯穩定平臺動力學分析

李豪杰，張合，李珂翔，謝克峰

(1.南京理工大學 智能彈藥技術國防重點學科實驗室，江蘇 南京 210094；2.中國船舶重工集團公司 第724研究所，江蘇 南京 210003)

考慮鉸鏈間隙的水面并聯穩定平臺動力學分析

李豪杰1，張合1，李珂翔2，謝克峰1

(1.南京理工大學 智能彈藥技術國防重點學科實驗室，江蘇 南京 210094；2.中國船舶重工集團公司 第724研究所，江蘇 南京 210003)

針對某小型浮式穩定平臺結構緊湊、負載慣量大的特點，設計了一種以少自由度并聯機構為基礎的改進型串聯與并聯機構。根據該平臺的結構特點，進行了運動學分析，推導了系統雅可比矩陣，并利用Lagrange方法建立了平臺的動力學模型，分析了平臺的動力學特性。為分析含間隙的支鏈受力，將其簡化為剛體—彈簧模型，通過改進的Hertz接觸理論，采用非線性彈簧阻尼模型計算接觸力，最終建立了含鉸鏈間隙的平臺動力學模型。數值計算與實驗結果表明了數據建模的有效性，同時鉸鏈間隙對動平臺的位置精度和動力學特性產生了顯著影響，對平臺結構產生了較強的沖擊。

機械學；并聯機構；穩定平臺；鉸鏈間隙；動力學分析

0 引言

工作于水面的小型無人浮式穩定平臺，搭載有光電探測設備，因其體積較小、運輸方便等優點，在海洋區域偵察等方面具有重要的應用價值。平臺性能的優劣決定了探測設備能否正常工作，作為負載的探測設備質量較重，波浪繞動大，平臺尺寸有限制，這些特點決定了平臺的結構形式必須具有剛度大，承載能力強，動態性能好等特性[1]。并聯機構具有上述優點，因而在運動平臺領域得到了廣泛應用。通常并聯機構的設計指標主要為滿足大負載和高剛度等要求，故多采用電動缸，驅動能力有限，空間占用大，并且會帶來額外負載，因此不適用于本文的穩定平臺[2-4]。本文提出一種新型穩定平臺，其特點是將滾珠絲桿和大功率電機固定，采用固定長度的支撐桿連接動平臺，從而具有空間利用率高和負載能力強等優點。

由于該平臺的使用環境與結構特點，機構中的鉸鏈在工作一段時間后，不可避免地會出現間隙，另外加工裝配工藝也決定了間隙存在的必然性。相關文獻已驗證，間隙會導致整個系統的動力學特性存在非線性[5-6]，尤其是當鉸鏈內部在接觸和分離兩種運動模式之間轉換時，會產生強烈碰撞。因此很有必要研究運動副含間隙的并聯機構。目前，含間隙連桿機構的研究已取得了較多成果，而含間隙并聯機器人的研究仍然很少。Shiau等[7]研究了一種含間隙柔性并聯機構的非線性動力學特性；Flores等[8]研究了柱鉸對多體系統的影響，建立了平面間隙鉸模型。

本文對穩定平臺進行運動學分析，得到系統雅可比矩陣；利用Lagrange方法，建立平臺的完整動力學模型，通過數值計算得到動力學曲線；以支鏈間隙為研究對象，利用剛體—彈簧模型簡化支鏈，采用改進的Hertz接觸理論、非線性彈簧阻尼模型計算含間隙鉸鏈的接觸力，得到含間隙平臺動力學方程，并結合實驗分析間隙對動力學特性的影響。所得結論可為此類平臺的控制應用提供理論參考。

1 穩定平臺的結構

1.1 結構與自由度

如圖1所示為設計的穩定平臺結構原理示意圖，其主要構成為動平臺、三自由度球鉸鏈、支撐桿、二自由度虎克鉸、絲桿螺帽和滾珠絲桿、基座等部件。動平臺靠3個支點A1、A2、O分別與平臺的基座和傳動支鏈相連接，并構成以O點為直角的等腰直角三角形A1A2O.

圖1 穩定平臺原理Fig.1 Schematic diagram of the platform

傳動支鏈由一套滾珠絲桿套件、一個虎克鉸鏈、一個支撐桿和一個球鉸鏈構成。其中，滾珠絲桿固定于基座，只有一個繞其自身回轉軸的旋轉自由度；絲桿螺帽只有一個沿著絲桿上下移動的平移自由度，該運動受控于滾珠絲桿的旋轉運動。球鉸鏈和虎克鉸鏈的幾何中心與滾珠絲桿回轉軸重合；當動平臺與基座兩個平面平行時，此3個部件的連線垂直于動平臺平面。動平臺受O點處的虎克鉸鏈制約，只可作兩個自由度的旋轉運動。

1.2 坐標系建立

坐標系的建立如圖1所示，具體如下：

平臺基座坐標系{Cb}：該坐標系固定在穩定平臺的下平臺基座上，原點O位于直角三角形A1A2O的直角，{Cb}坐標軸Xb、Yb、Zb分別與基座的橫軸、縱軸、垂直軸相互平行，其中Zb與基座的垂直軸重合。繞Xb、Yb、Zb3軸的轉角分別為θ、φ、ψ. 下文未說明的坐標變換均基于平臺基座坐標系。

動平臺坐標系{Cm}：該坐標系固定在穩定跟蹤平臺的動平臺上，原點Om外與{Cb}坐標系的原點O重合，當動平臺處于平衡位姿時，{Cm}坐標軸(Xm，Ym，Zm)與{Cb}坐標軸(Xb，Yb，Zb)平行。

2 穩定平臺的動力學建模

采用Lagrange方法建立整個穩定平臺的動力學模型。Lagrange方程可表示為

(1)

2.1 動平臺的動能與勢能

動平臺只有轉動自由度，沒有平移自由度，剛體的轉動動能為剛體的動量矩與角速度點積的一半，則轉動動能的矩陣形式為

(2)

式中：mωm代表動平臺基于空間角速度矢量，將其轉換為歐拉角空間坐標系，轉換矩陣為REuler；mIm代表動平臺在其自身坐標系中相對慣性主軸的慣量矩陣。

將局部空間向量替換成廣義坐標，動能方程可表示為

(3)

2.2 支撐桿及絲桿螺帽的動能與勢能

傳動支鏈的動能包括絲桿螺帽、支撐桿的平動動能和轉動動能；勢能包括兩者在平臺基座坐標系Z軸方向的勢能。把支撐桿簡化為直桿，絲桿螺帽和支撐桿質量分別為mz、ms，其質心在動平臺與基座保持平行時距動平臺球鉸鏈Ai的距離分別為d2、d1.

(4)

式中：

JVA=ROA·REuler,

(5)

ROA表示動平臺上的球鉸鏈Ai相對于動平臺坐標系的位置向量，REuler表示歐拉轉換坐標系；JInv為系統的雅可比矩陣。

支撐桿的轉動動能為

(6)

式中：bIms為支撐桿在其自身坐標系中的轉動慣量矩陣；L為連桿長度。

支撐桿的平動動能為

(7)

支撐桿的勢能為

Vms=msg[1 1]·bPmsZ，

(8)

式中：bPmsZ=[bPms1Z，bPms2Z]T為所有支撐桿在平臺基座坐標系中Z軸的坐標。

絲桿螺帽的動能為

(9)

絲桿螺帽的勢能為

Vmz=mzg[1 1]·bPmzZ,

(10)

式中：bPmzZ=[bPmz1Z，bPmz2Z]T為所有絲桿螺帽在平臺基座坐標系中Z軸的坐標.

2.3 動力學方程

綜合以上各式，則有理想約束平臺動力學方程為

(11)

3 含間隙傳動支鏈建模

3.1 廣義力分析

圖2為含間隙傳動支鏈受力模型示意圖，CiDi為支撐桿，AiCi為球鉸鏈，BiDi為虎克鉸，后二者間存在鉸鏈間隙。由于含間隙鉸鏈是支鏈的薄弱環節，所以在受力分析時，將支撐桿看作剛體，鉸鏈簡化為彈簧。由于間隙相對于平臺仍是極小量，所以假設間隙不改變支鏈的宏觀位姿關系。fCi與fDi為施加于支撐桿兩端的鉸鏈接觸反力。根據力與力矩平衡原理可得

fCi+fDi+m1g=m1amsi,

(12)

d1LifCi+(d1-L)LifDi+Msi=bImsiαmsi,

(13)

式中：asi為支撐桿質心的加速度；αsi為支撐桿的角加速度；Msi為虎克鉸Bi限制支撐桿軸向旋轉的力矩。對于鉸鏈接觸力有

fCi=ks(Ai-Ci)+cs(VAi-VCi),

(14)

fDi=kr(Bi-Di)+cr(VBi-VDi),

(15)

式中：ks、cs為球鉸的剛度、阻尼系數；kr、cr為虎克鉸的剛度、阻尼系數。對于動平臺有

(16)

圖2 含間隙傳動支鏈受力示意圖Fig.2 Force diagram of chain with clearance joints

3.2 含間隙球鉸的數學模型

根據實驗測得，球鉸間隙在支鏈中最大，以其為例分析。如圖3所示，α和β分別代表球窩、球頭，其半徑分別為Rα、Rβ. 球鉸間隙定義為c=Rα-Rβ，Pα(Ci)、Pβ(Ai)分別為球窩、球頭的中心，球窩、球頭中心分別在自身坐標系中的矢徑為rPα、rPβ.

圖3 含間隙球鉸示意圖Fig.3 Schematic diagram of spherical joint with clearance

則其在基座坐標系中的矢徑為

(17)

(18)

球窩與球頭接觸的幾何條件則可定義為

δi=ei-c=|AiCi|-c.

(19)

含間隙球鉸的運動狀態分為自由運動和接觸變形，在運動過程中存在能量損耗，不能用完全彈性碰撞建模；采用Machado等[9]擴展后的Hertz接觸模型，使用非線性彈簧阻尼模型描述接觸力，其中法向接觸力為

(20)

(21)

(22)

根據Coulumb摩擦模型[10]，切向接觸力為

FiT=-μsFiNviT/|viT|,

(23)

式中：viT為接觸點相對滑動線速度；μs為動摩擦系數。則球鉸接觸力合力為

fCi=FiN+FiT.

(24)

3.3 含間隙動力學模型

含間隙鉸鏈在分離狀態和接觸變形狀態之間轉換，可用(24)式導出的非線性彈簧阻尼力代替鉸鏈約束力，則系統的非線性動力學方程[8]為

(25)

式中：M為廣義質量矩陣；Q為廣義力；Φ(q,t)=0為理想鉸鏈約束方程；Φq為約束方程的雅可比矩陣；λ為拉格朗日乘子；Fc=[fC1，fC2]T為接觸力相對廣義坐標q的廣義接觸力，包括法向接觸力和切向接觸力，當鉸鏈處于分離狀態時，Fc=0.

4 仿真分析與實驗

為了驗證平臺設計是否滿足要求，研究平臺的動力學特性與鉸鏈間隙的影響，給定動平臺在垂直面內的激勵力為80sin (20πt) N·m. 算例采用Newmark算法進行計算，根據(25)式，計算得到了動平臺受間隙影響的位移曲線，以及鉸鏈接觸力的變化曲線，如圖4、圖5所示。

圖4 含間隙平臺φ角位移曲線Fig.4 Displacement curves of angle φ of platform with clearance joints

圖5 球鉸B2接觸力曲線Fig.5 Contact force curves of spherical joint B2

由圖4可知，在計入球鉸間隙后，動平臺的擺動幅度增大了10%左右，在峰值附近存在了多個緊靠的尖峰，說明球鉸內部發生了連續的碰撞，快速地在接觸變形和自由運動狀態之間轉換。根據圖5可知，球鉸接觸力峰值非常大，在沒有考慮間隙時，接觸力是一條平滑的曲線，計入球鉸間隙后是理想接觸時的40倍；峰值相對集中，說明球鉸內部存在有規律的碰撞，這也印證了圖5的多次連續碰撞現象；峰值集中的區域即為平臺換向的時刻，對于平臺的穩定調平控制，需要頻繁地在平衡位置附近換向，間隙的存在無疑給系統增加了遲滯環節，放大了誤差，這種影響也體現在了樣機調試實驗中。

完成的平臺原理樣機如圖6所示，支撐桿兩端的球鉸和虎克鉸隨著使用時間的增長，在原有小間隙的基礎上不斷變大，對系統產生的影響也會越來越大，樣機中的球鉸分別為使用3個月后具有一定間隙的狀態和減小間隙改進后的全新狀態。

圖6 穩定平臺樣機Fig.6 Experimental platform prototype

在測試時，并聯穩定平臺驅動電機位置鎖死，負載設備在OXZ平面內快速運動，對動平臺施加激勵力，并采用高帶寬的慣性姿態參考模塊測量動平臺的角度，鉸鏈間隙的受力較難通過壓力測出，因此采用角度測量進行間接說明。圖7(a)為使用后球鉸角位移實驗值與仿真數據對比曲線，圖7(b)為采用改進的小間隙鉸鏈與原有使用磨損一段時間的鉸鏈進行對比的角位移實驗曲線。對動平臺角位移進行了6次測量，測試數據見表1.

由圖7(a)可知，實驗數據與仿真結果具有較好的一致性，說明了數據建模的有效性，由圖7(b)可知，經過球鉸間隙的影響，動平臺的角位移被放大，其誤差幅度由表1可知最大誤差為30.4%，可知因間隙導致的沖擊使得相關機構產生了更大的彈性變形，從而使誤差進一步放大。通過球鉸改進，動平臺的角位移保持在0.15°內，能在一定程度上減小球鉸間隙的影響。

表1 使用后狀態與改進后狀態鉸鏈下的平臺角位移誤差Tab.1 Angular displacement errors of platform with used and improved hinges

圖7 動平臺搖擺模擬實驗角位移對比曲線Fig.7 Simulated and experimental angular displacements of platform

5 結論

本文針對某小型浮式穩定平臺的需求，設計了一種以少自由度并聯機構為基礎的改進型串并聯機構。對該平臺進行了運動學分析，推導了系統雅可比矩陣，建立了動力學模型。通過將支鏈簡化為剛體—彈簧模型，建立了含鉸鏈間隙的平臺動力學模型。數值計算與實驗結果表明：數據建模與實驗結果具有較好的一致性，說明了數據建模的有效性；間隙會導致動平臺在換向時出現約為30.4%的位移誤差，此時由于鉸鏈在自由運動與接觸變形之間反復轉換狀態，產生了最大值比理想接觸力峰值高40倍的接觸力，給系統帶來了強烈的非線性擾動。在已知這些結果后，通過結構抑制和算法補償是修正此類擾動的有效途徑。所得結論可為該類平臺的高精度控制與結構優化設計提供理論依據。

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Dynamic Analysis of Offshore Parallel Stabilized Platform in Considering Joint Clearance

LI Hao-jie1, ZHANG He1, LI Ke-xiang2, XIE Ke-feng1

(1.Ministerial Key Laboratory of ZNDY, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, Jiangsu, China；2.No.724 Research Institute, China Shipbuilding Industry Corporation, Nanjing 210003, Jiangsu, China)

An improved serial-parallel mechanism based on less DOF parallel mechanism is designed for a floating stabilized platform with compact structure and high load inertia. Based on the structural characteristics of the platform, the kinematics is analyzed, the system Jacobian matrix is derived, and a dynamic model is established and analyzed by using Lagrange equation. A simplified rigid body-spring model is proposed to analyze the chains with clearance joints. A non-linear spring-damper model is introduced to calculate the contact force by using improved Hertz contact theory, and a dynamic model considering joint clearance is established. The numerically computated and experimental results show that the dynamic model is effective, and the clearance has significant impact on the structure,position accuracy and dynamic characteristics of moving platform.

mechanics; parallel mechanism; stabilized platform; joint clearance; dynamic analysis

2016-04-07

國家自然科學基金項目(51475243)

李豪杰(1973—)，男，副教授，碩士生導師。E-mail:haojieli@njust.edu.cn

TP242.3

A

1000-1093(2017)01-0129-06

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.01.017