多源測試性綜合評估數據等效折合模型與方法研究

王京，李天梅，何華鋒，徐從啟

(1.火箭軍工程大學 控制工程系，陜西 西安 710025；2.總后勤部 建筑工程技術研究所，陜西 西安 710032)

多源測試性綜合評估數據等效折合模型與方法研究

王京1，李天梅1，何華鋒1，徐從啟2

(1.火箭軍工程大學 控制工程系，陜西 西安 710025；2.總后勤部 建筑工程技術研究所，陜西 西安 710032)

由于用于開展測試性綜合評估的先驗信息形式多樣，使得Bayes框架下能夠處理的成敗型數據不一致。為了解決這一問題，以測試性評估中專家數據、摸底試驗數據、增長試驗數據、可更換單元數據和虛擬試驗數據這5種常見的先驗信息為研究對象，在Bayes理論框架下分別研究提出相應的等效方法，實現了各類數據向成敗型數據的折合。案例應用表明：所提方法合理有效，適用范圍廣，間接擴大了可用于測試性評估的數據樣本量。

系統評估與可行性分析；測試性評估；多源數據；等效折合；增長因子；結構函數

0 引言

測試性評估是指為確定裝備是否達到規定的測試性要求而進行的試驗與評價工作[1-4]。裝備測試性評估水平的高低直接影響著裝備的研制進度和質量，是保證和檢驗裝備測試性水平的重要環節[4]。對于導彈等大型復雜裝備，由于受到故障難以注入、實物故障數目較少、記錄信息不標準等因素的影響，評估人員統計到的測試數據為“小子樣”數據。而在小樣本下，很難保證評估結論的置信度[5]。

許多學者對基于Bayes理論的測試性綜合評估方法進行了研究，該方法能夠把專家數據，增長試驗數據，虛擬試驗數據等先驗信息充分利用起來，間接擴大可用于評估的樣本量，并可進一步提高指標評估精度和置信度[6-7]。然而這些先驗信息在形式、來源和層級上各不相同。在這種條件下開展基于Bayes理論的綜合評估，先驗分布的參數往往難以確定。

為了解決上述問題，可對各類先驗信息做折合處理，最終以成敗型數據(n,f)表示[8]。這種形式的先驗信息在Bayes框架下，可通過Martz等[9]提出的方法直接用于求得先驗分布參數。

目前關于驗前信息的折合方法多見于可靠性研究中。王志平等[10]通過Bayes方法實現了成敗型數據與指數型和正態型數據的相互折合，但未展現成敗型數據的背景下，多組數據向單組數據的折合結果；肖鋼等[11]在可靠性框架下，提出單元成敗型數據向系統成敗型數據的折合方法，但對于測試性數據是否適用未做說明；張西山等[12]基于模糊理論提出分系統數據折合方法，但該種方法相對于Bayes方法，結果略微保守，且主要應用于具有不確定性的數據；Savchuk等[13]實現了主觀信息同成敗型信息的結合，但計算涉及到了隨機化過程，且計算結果也不夠精確。王振邦等[14]研究了多層級成敗型單元下信息熵等效原理的應用，也同樣也只研究了該方法在可靠性評定中的適用性。

基于研究現狀，在測試性評估的應用背景下，本文以故障檢測率(FDR)為評估指標，在對先驗信息類型進行簡要分析的基礎上，針對測試性評估中幾種常見的先驗信息，包括專家數據、摸底試驗數據、增長試驗數據、可更換單元數據以及虛擬試驗數據，分別研究了同環境下，這些信息向成敗型試驗數據折合的方法，并就其中典型數據折合方法結合實例應用進行驗證說明，證實了方法的實用性和有效性[7,9,13,15]。

1 先驗信息類型分析及總體折合方案

1.1 先驗信息類型分析

在測試性綜合評估領域，裝備在整個壽命周期內，會存在不同階段、不同環境、不同層次產品(系統、分系統、可更換單元)各種各樣的試驗信息，以及類似產品(具有一定繼承性)的歷史試驗信息等[6,8]。當前用于測試性評估的先驗信息具有多階段、多層次和多來源的特點，從時間階段上可分為：摸底試驗數據、增長試驗數據等；從層級上可分為：單元級數據、分系統級數據和系統級數據；從數據形式上可分為：成敗型數據、點估計型數據和區間估計型數據等；從數據來源上可分為：實物試驗數據、虛擬試驗數據、預計信息和專家數據等。

這些先驗信息可被總結為以下5種：專家數據、摸底試驗數據、增長試驗數據、可更換單元數據以及虛擬試驗數據。研制人員收集到的這5類數據分別具有以下特點[6]：

1)專家數據:此類數據具有一定主觀性，通常以置信區間或置信下限的形式給出，且實際中統計到的往往是多個專家對同一評估對象的不同意見，各個專家的意見為并列關系；

2)摸底試驗數據：該數據為多階段統計意義上的結果。裝備全壽命周期內會進行多次摸底試驗，研制人員統計到的為單次摸底試驗的成敗型數據，不同組的試驗數據之間為并列關系；

3)增長試驗數據：此類數據一般具有很強的規劃性，也是多階段的成敗型數據。裝備全壽命周期內會有多個階段的增長過程，統計到的為單個增長階段的成敗型試驗數據，且不同階段的數據之間具有前后繼承關系。

4)可更換單元數據：統計到的是待評估對象組成單元的數據，這部分數據基于不同單元在對象中所處地位不同而結構性相關。

5)虛擬試驗數據：對單元或子單元開展測試性虛擬試驗所獲得的數據，這部分數據一般為成敗型，且數據量充足，但是可信度不能保證，且需要向更高一級折合。

1.2 總體折合方案

根據每種先驗信息的特點，提出總體折合方案如下：

如圖1所示，測試性先驗信息可總結為以上5種，針對不同數據的特點，分別提出相應的折合方法，使其最終能在Bayes框架下直接加以利用。

圖1 多源測試性綜合評估數據等效折合方案Fig.1 Multi-source data equivalent scheme for testability integrated evaluation

對于專家數據，提出基于權重因子的專家經驗數據等效折合方法，把多個專家對評估對象的置信區間或置信下限估計進行匯總，最終得到一個匯總后的成敗型專家意見；摸底試驗數據可采用近似處理方法，把多次摸底試驗的先驗數據折合成一個匯總的成敗型結果；考慮到各增長階段之間數據的前后繼承關系，提出增長因子的概念，實現了前一增長階段的增長試驗數據向后一階段的折合；利用各組成單元與其上一級的結構關系，把可更換單元數據向整機成敗型數據折合；對于虛擬試驗數據，采用了信息熵等效原理，把單元或子單元的成敗型數據折合為整機成敗型結果。最后利用不同折合方法各自得到的成敗型結果，采用Martz等[9]提出的方法，分別求得各類數據所對應的先驗Beta分布，并用于進一步開展測試性綜合評估。

2 基于權重因子的專家數據等效折合方法

在測試性評估領域，目前關于專家數據的處理多是基于證據理論，模糊理論或其他理論框架下的處理方法。這些處理方法不涉及求解先驗分布參數的問題，所以得到的結果在Bayes框架下還并不能直接加以利用。由此提出了基于權重因子的專家數據等效折合方法。

2.1 連續閉區間形式的專家數據

(1)

在一定置信度下，利用文獻[18]中所提方法，可以實現由區間型數據[qL,qH]向成敗型數據(n0,f0)的等效，見(2)式：

(2)

式中：θ為置信水平。

2.2 單側置信下限形式的專家數據

專家對FDR的預計結果還可以表示為點估計值q和它對應的置信度為θ的置信下限值qL,θ的形式[15]，記作(q,qL,θ)。對于此類專家數據，同樣假設共有n位專家，n個點估計值qi和置信度為θ的n個點估計下限值qL,θ,i. 基于權重因子得到匯總后的專家信息的估計結果為

(3)

進一步，將匯總后的專家信息等效折合為成敗型試驗數據為

(4)

由(2)式和(4)式求得的(n0,f0)可在將來測試性評估模型中，用于確定Bayes先驗分布的未知參數，并為進一步求得后驗分布提供準備。

該方法基于權重信息匯總了多個專家的數據，進一步地借助二項分布模型[4]，實現了帶權重專家信息向成敗型數據的轉化。

2.3 算例驗證

假定有3位專家對某設備進行了測試性評估，統計到以下3組先驗估計：[0.61, 0.89]，[0.7, 0.91]，[0.68, 0.84],根據對專家的信任程度，可以獲知3位專家的對應權重為[0.3,0.5,0.2]。

采用2.1節所述方法，在置信度為0.85時，得到綜合了3位專家數據的置信區間：[0.67, 0.89],最終的成敗型結果為(35, 7)。

當專家意見以單側置信下限形式給出時，收集到θ=0.8時的3組專家數據：(0.92，0.85)，(0.74，0.69)，(0.81，0.79)，其對應融合權重為[0.35, 0.4,0.25]。

采用2.2所述方法，綜合3位專家意見后得到區間估計(0.82, 0.77)，最終的成敗型結果為(10，55)。

3 基于近似處理模型的測試性摸底試驗數據等效折合方法

測試性摸底試驗是承制方為確定產品當前測試性水平與規定要求的差距而進行的試驗，在產品研制的不同階段，此類試驗都多有開展。

但在測試性評估中，目前對于此類數據的認識與其他類型的數據有混淆，且Bayes框架下，還沒有明確提出針對多次摸底試驗數據的處理方法。

研制人員得到的測試性摸底試驗數據多是某一階段中單次試驗的成敗型數據，這類數據置信度較高，但依賴于信息統計的準確性。為得到綜合了多次摸底試驗的成敗型結果，本節提出基于近似處理模型的測試性摸底試驗數據等效折合方法。

假定在裝備研制過程中一共進行了k次摸底試驗，第i次注入了ni個故障，其中有fi個故障檢測/隔離失敗。對于這fi個不能被正確檢測/隔離的故障，經測試性改進有gi個故障在之后的試驗中可以被正確檢測/隔離，其中i=1,2,…,k. 采用如下近似處理辦法，可整合多次摸底試驗的數據，最終得到匯總后的成敗型數據為

(5)

本節明確了在測試性評估領域此類數據的處理方法，該法直觀易懂，計算簡便，有效達到了匯總單階段試驗信息的目的，適合工程應用中快速折算。

4 基于增長因子的測試性增長試驗數據等效折合方法

測試性增長試驗是通過試驗和使用，發現裝備或單元存在的問題，并采取改進措施，使故障診斷能力得到增長的一類試驗[6]。目前得到的測試性增長試驗數據為單個增長階段的成敗型試驗數據，且數據量較小，分布參數不固定，屬于“小子樣、異總體”的情況[19]。

針對此類數據的特點，研究提出基于增長因子的測試性增長試驗數據等效折合方法[15,20]，并總結出具有一定工程實用性的折合流程：

1)首先依據概率統計理論來估計增長因子值；

2)利用增長因子將前一階段的試驗結果折算到當前的試驗階段，得到擴增后的試驗結果；

3)最后求得多階段增長試驗數據等效折合后的成敗型結果(n0,f0)。

4.1 基于F分布分位點求取增長因子

定義相鄰兩階段間的增長因子ζk為這兩階段檢測失敗率之比：

(6)

式中：pk為第k個增長階段的檢測失敗率，qk為相應的成功率；k=1,2,…,m-1,1>qk+1>qk>0,ζk≥1，m為總的增長階段數。那么，ζk的點估計可表示為

(7)

當各階段增長試驗滿足相互獨立的條件時有[22]

(8)

利用置信水平為1-θ的F分布分位點，可以得到ζk在置信度為θ時的置信下限估計值：

(9)

這樣將第k階段的試驗數據(nk,fk)折合到第k+1階段的結果就是(nkζk(L,θ),fk)。

4.2 基于第二類極大似然法求取增長因子

為了盡量克服不同置信度對評估結果的影響，也可以采用第二類極大似然法(ML-Ⅱ法)來估計增長因子值[23]。設相鄰兩階段的成敗型試驗數據分別為(nk,fk)和(nk+1,fk+1)，對于定數故障注入試驗，將第k階段的成敗型試驗數據折合到第k+1階段成敗型試驗數據為(ζknk,fk)，其中ζk為增長因子，且ζk≥1. 則第k+1階段的先驗分布[24]為

(10)

第k+1階段試驗(nk+1,fk+1)可看作其邊緣分布所產生的子樣，當第k+1階段的先驗分布取為(10)式分布時，邊緣分布密度為

(11)

通過多項式積分計算，得到(11)式的解析表達式為

(12)

式中：Ak=ζknk-fk+nk+1-fk+1-1；Bk=fk+fk+1；qk由前k階段試驗結果估算出來，

(13)

即可得到

(14)

根據ML-Ⅱ方法，采用(15)式求解增長因子的估計值：

(15)

使用迭代計算，可以得到滿足(15)式的ζk.

在求解得到ζk的基礎上，將第k階段試驗數據折合到第k+1階段的試驗數據為(ζknk,fk)，則得到折合后第k+1階段所有成敗型試驗數據可表示為(ζknk+nk+1,fk+fk+1)。

與利用F分布分位點折合的方法相比，這種修正的折合方法避免了因置信度選擇而導致的不確定性問題，是一種相對準確的數學方法。但是這種方法引入了積分和微分運算，當求解的Ak值較大時，需要較長的運算時間，大大增加了計算復雜度，導致其在工程實踐中可用性不強，在此不做算例說明。

4.3 算例驗證

下面以某型穩定跟蹤平臺為例，具體說明基于F分布分位點的增長因子在增長試驗數據等效分析中的應用。該平臺可實現對姿態變化的敏感和跟蹤，并保持自身的閾度穩定。從工業部門獲知，該平臺在實際研發階段共經歷了4個階段的測試性增長試驗。每個階段試驗結束后，都對系統設計上的缺陷進行了一定的改進。由研發記錄，得到如下4組成敗型試驗數據：(n1,f1)=(11,11),(n2,f2)=(30,22), (n3,f3)=(25,12),(n4,f4)=(17,1)。基于以上數據，利用F分布分位點，獲得了一定置信水平下的增長因子估計值與折合后的成敗型數據，見表1.

表1 不同置信度下的增長因子值與折合后成敗型數據Tab.1 Growth factors and equivalent binomial data under different confidence levels

ζi(L,θ)表示第i個增長過程下的增長因子，(i,i)表示由前i-1個增長階段的成敗型數據折合到第i個階段之后的結果，可表示為((ζi-1(L,θ)·i-1)+ni,i-1)+fi)。

分析表1中數據不難看出，在相同的多階段測試性增長試驗數據下，置信度越高，對應的增長因子值越小，進而折合后的數據量也越小，對最后等效的成敗型數據有較大影響。

5 基于結構函數的測試性可更換單元數據等效折合方法

在裝備設計研制階段，一般缺少相應的試驗手段來評測裝備系統級FDR水平，裝備系統級測試性試驗信息較少，而裝備單元級測試性試驗信息相對較多。因此提出基于結構函數的測試性可更換單元數據等效折合方法，它將可更換單元的試驗信息折合為整機測試性信息。

5.1 實施流程

基于結構函數的測試性可更換單元數據等效折合方法具體實施流程如圖2所示。

圖2 基于結構函數的測試性可更換單元數據等效折合方法實施流程圖Fig.2 Flowchart of equivalent method for replaceable unit data based on structure function

由圖2可知，針對收集到的成敗型試驗數據，若對可更換單元開展的故障注入試驗比較充分時，可直接采用經典點估計法，獲得可更換單元FDR的估計值。若對可更換單元開展的故障注入試驗不夠充分時，可采用Bayes方法。在獲得先驗均值和方差的條件下，依據Beta最優化模型，求得Beta分布的位置參數a和b. 進一步結合少量的可更換單元數據，獲得后驗Beta分布，并據此后驗分布得出可更換單元FDR點估計值。最后將可更換單元估計值帶入系統結構函數，獲得整個系統FDR估計值。

復雜裝備系統FDR函數可表示為可更換單元(可以是分系統、車間可更換單元、外場可更換單元等)FDR的結構函數，記為

Ts=G(T1,T2,…,Tm)，

(16)

式中：Ts為系統FDR值；Ti(i=1,…,m)為第i個可更換單元的FDR值；m為可更換單元的個數。

5.2 基于結構函數的折合過程

5.2.1 計算可更換單元FDR值

若對可更換單元開展的故障注入試驗比較充分，則可采用點估計值作為可更換單元的FDR值。記ni為對第i個可更換單元注入的故障樣本數，fi為其相對應的檢測/隔離失敗次數，由經典概率統計理論[24]得

(17)

對于以連續閉區間形式給出的FDR[18]，可先得到Ti的先驗均值和方差[24]為

(18)

通常認定FDR的計算模型服從二項分布[18]，因此以Beta(a,b)分布作為FDR的先驗分布，采用(19)式的最優化模型求解Beta(a,b)中的參數。

(19)

式中：V(a,b)為Beta(a,b)分布的方差；μ(a,b)為Beta(a,b)分布的均值。Beta(a,b)分布表達式為

(20)

結合少量可更換單元成敗型試驗數據(ni,fi)，利用Bayes公式求得后驗分布：

Ti～Beta(a+ni-fi,b+fi).

(21)

據此便可進一步得到Ti的后驗均值和方差為

(22)

5.2.2 整機結構函數

系統故障檢測率用FDRs表示，則由可更換單元FDR信息計算系統FDR的結構函數[4]為

(23)

式中：λi為第i個可更換單元的故障率值。采用文獻[6]中的方法可以對λi的值進行實時更新。有了這個整機指標的估計值FDRs，再采用二項分布模型就可以得到折合等效后的成敗型數據(n0,f0)。

5.3 算例驗證

以“動中通”通信平臺中的伺服控制系統為應用對象，來具體說明由可更換單元的FDR試驗信息求得系統FDR的過程。通過“動中通”通信平臺，移動載體在運動過程中可實時跟蹤衛星等平臺，不間斷地傳遞語音、數據、高清晰的動態視頻圖像、傳真等多媒體信息，其中的伺服控制系統則主要負責實現跟蹤過程中的調平和對準。該伺服系統主要由8個車間可更換單元(SRU)組成。

通過收集領域內多位專家的評估結果，可以得到該伺服系統不同可更換單元FDR先驗區間估計值。

首先根據專家對這8個SRU給出的先驗區間估計結果，利用最優化模型求得各個SRU的FDR所服從的先驗Beta分布，再根據每個SRU的成敗型試驗數據(ni,fi),i=1,2,…,8，利用Bayes公式求得FDR所服從的后驗Beta分布，基于后驗Beta分布表達式，求得FDR的后驗均值和后驗方差，見表2.

表2 伺服控制系統各可更換單元FDR試驗信息與故障率數據Tab.2 Replaceable unit FDR test information and fault rates of servo control system

最后，將各個SRU的FDR后驗均值和相應的故障率數據代入系統FDR結構函數(見(23)式)，得該通信平臺伺服控制系統FDR估計值為0.696，有了這個估計值，按照2.2中的方法得到折合等效后的成敗型數據(n0,f0)。

6 基于信息熵理論的測試性虛擬試驗數據等效折合方法

虛擬試驗是指在虛擬的試驗環境條件下，利用計算機技術、建模技術和網絡通信技術等，對建立的各種裝備模型進行試驗，來驗證和評估裝備的設計和性能是否達到預定要求的過程。鑒于目前技術水平，對整機進行虛擬驗證試驗，難度較大。目前可見的多是針對單元級開展虛擬試驗或構建虛擬樣機進行驗證，得到單元或子單元的虛擬試驗數據，且數據類型為成敗型[9,14,25-26]。針對該類數據的特點，提出基于信息熵理論的測試性虛擬試驗數據等效折合方法。

6.1 基于信息熵等效原理的折合過程

在測試性虛擬試驗中，設某單元內相互獨立的成敗型子單元個數有M個，當其所包含的所有子單元的試驗結果滿足獨立同分布的條件時，按照信息熵理論，每個子單元可對應一個信息源。設第i(i=1,2,…,M)個子單元的試驗次數為ni，失敗次數為fi，每次試驗中出現成功信息的概率為pi，則第i個子單元在一次試驗中提供的平均信息量為

Hi=-[pilnpi+(1-pi)ln(1-pi)].

(24)

第i個子單元在ni次試驗中的總信息量為niHi，則組成該單元的M個相互獨立的成敗型子單元提供的總信息量為

(25)

設等效折合后的單元試驗次數為n，失敗次數為f，該單元在試驗中出現成功的概率為p，則該單元在n次試驗中的等效信息量為

I′=-n[plnp+(1-p)ln(1-p)].

(26)

(27)

本文中不考慮各子單元耦合關系對單元級指標的影響時，故采用基于子單元試驗數據可信度的加權方法，由子單元測試性指標加權得到單元的測試性指標p.

γi表示第i個子單元試驗數據的可信度[27]，并可由它得到第i個子單元在測試性指標加權融合的權重為

(28)

根據各子單元的虛擬試驗數據得到的測試性指標的最大似然值pi，結合對應的權值，可得單元的測試性指標為

(29)

將p值代入(27)式，就可以得到折合后的試驗次數和失敗次數(n,f)，折合后數據可信度為1.

如果當前單元還未達到系統的最高級別，則按照相同的折合方法將當前層級單元的試驗數據折合到上一層級，依此類推，直至折合得到系統級試驗成功數與失敗數組合(N,F)。

6.2 算例驗證

以某陀螺穩定單元為應用對象，具體說明由虛擬試驗數據得到更高一級成敗型試驗數據的折合過程。依據已建立且通過校核、驗證與確認的陀螺穩定單元虛擬驗證模型，開展相應的虛擬試驗。在此模型中，利用計算機技術，對陀螺單元中積分陀螺和浮球組件進行功能模擬，對該單元中數據采集卡，運動控制器和核心控制板進行控制過程仿真，利用該模型對原穩定單元進行逼近，開展相應的測試性虛擬試驗，得到了5組子單元成敗型試驗數據(ni,fi),i=1,2,3,4,5，見表3.

表3 陀螺穩定單元虛擬試驗數據信息量及權重Tab.3 Virtual data information content and weightof gyro stabilized unit

利用文中所述方法，先計算等效折合前各子單元的平均信息量Ii，再依據信息量等效原則，使其總和與折合后的總信息量建立對等關系，從而計算得到等效后的試驗成功數與失敗數。

由上述方法，可得陀螺穩定單元等效后的成敗型數據為(89,39)，該數據可信度為1.

此等效方法保持了各個子單元試驗數據的獨立性，相比文獻[13]的方法，融合了虛擬—實物先驗數據的可信度因素，而且適合多層級結構系統的先驗試驗數據折合，計算過程也較為簡潔，對于虛擬數據的處理較為合理。

7 結論

本文針對測試性評估中5種先驗信息，分別研究提出了其向成敗型試驗數據等效折合的方法，實例證明所提方法的合理有效，并可得出以下結論。

1)本文針對成敗型試驗數據的折合方法在測試性工程應用中缺少較為系統理論架構的研究現狀，做出了完善性工作，基于多種測試性先驗信息都一一給出解決方法。

2)文中所述方法的處理對象包括專家經驗數據，摸底試驗數據，增長試驗數據，可更換單元試驗數據以及虛擬試驗數據，涵蓋數據類型種類多，范圍廣，且所提方法合理有效，可實現對各類測試性先驗信息的折合。

3)研究所提方法實現了對各類先驗信息的充分利用，可間接擴大用于測試性綜合評估的數據量，進一步提高評估指標的精度。

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Research on Multi-source Data Equivalent Methods for Testability Integrated Evaluation

WANG Jing1，LI Tian-mei1，HE Hua-feng1，XU Cong-qi2

(1.Department of Control Engineering, Rocket Force University of Engineering, Xi’an 710025, Shaanxi, China;2.Institute of Construction Engineering Research, General Logistics Department of PLA, Xi’an 710032, Shaanxi, China)

The form of prior data for testability integrated evaluation is too multiply to match with the binomial data which is processed under the framework of Bayes theory. For this issue, five kinds of prior data, including expert data, preexposure test data, growth test data, replaceable unit data and virtual test data, are studied. Furthermore, five corresponding equivalent methods which transform the different types of data into the system-level binomial data are proposed based on Bayes theory. The proposed methods are validated via applied examples. Results show that the proposed methods have wide applicability, and also enlarge the amount of data used for testability evaluation indirectly.

system assessment and feasibility; system assessment and feasibility; testability evaluation；multi-source data；equivalence；growth factor；structure function

2016-05-03

國家自然科學基金項目(61304103)

王京(1992—), 男, 碩士研究生。 E-mail: jing.wcn@outlook.com

何華鋒(1976—)，男，教授，博士生導師。 hhf0903@163.com

TP277.3

A

1000-1093(2017)01-0151-09

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.01.020