基于CMA-ES優化方法的波紋喇叭優化技術

孟則宇，杜 彪,2，解 磊

(1.中國電子科技集團公司第五十四研究所，河北 石家莊 050081；2.射電天文技術聯合實驗室，河北 石家莊 050081)

基于CMA-ES優化方法的波紋喇叭優化技術

孟則宇1，杜 彪1,2，解 磊1

(1.中國電子科技集團公司第五十四研究所，河北 石家莊 050081；2.射電天文技術聯合實驗室，河北 石家莊 050081)

介紹了旋轉體時域有限差分法(BOR-FDTD)，導出了電磁場迭代計算公式。給出了自適應協方差矩陣進化策略(CMA-ES)的基本原理和步驟。提出了一種基于BOR-FDTD和CMA-ES的波紋喇叭優化設計技術，并將該項技術用于平方公里陣(Square Kilometre Array，SKA)望遠鏡天線Band 4(2.8～5.18 GHz)波紋喇叭饋源的優化設計。計算結果表明，該饋源在工作頻帶內反射損耗基本在-20 dB以下，天線口徑效率均優于86.5%，且口徑效率隨頻率的變化較小。

SKA；反射面天線;波紋喇叭；BOR-FDTD；CMA-ES

0 引言

作為一種快速高效的數值方法，模式匹配法[1]已廣泛應用于波紋喇叭[2]的分析和設計。然而大張角波紋喇叭的空間場和內場之間存在較強的耦合效應，采用此方法分析會引入較大的誤差。常規的三維全波分析方法(矩量法、有限元法和時域有限差分法等)能夠較為精確地分析大張角波紋喇叭的性能，但其計算量大，分析時間較長，難于進行優化設計。針對以上問題，本文采用BOR-FDTD方法[3]對大張角波紋喇叭的性能進行了快速、高效和精確地分析，導出了電場和磁場的迭代計算公式。

CMA-ES是一種新型高效的全局優化算法，其已經在微帶貼片天線[11]、便攜式陶瓷諧振器天線[5]和平面超寬帶天線等[6]的優化設計獲得了應用，然而其在波紋喇叭優化設計問題中的應用尚無人探討。基于BOR-FDTD分析方法和CMA-ES優化方法，本文研究了波紋喇叭的快速優化設計技術，并應用于SKA天線[7]的 Band 4 波紋喇叭饋源的優化設計。仿真結果表明，該饋源在工作頻帶內反射損耗基本小于-20 dB，天線口徑效率均優于86.5%，且在工作頻帶內天線口徑效率變化較小。

1 算法基本原理

1.1 BOR-FDTD 的基本原理

波紋喇叭在結構上具有旋轉對稱性，因此可以采用BOR-FDTD對其性能進行精確和高效的分析[8]。BOR-FDTD通過把電場和磁場進行傅里葉展開，利用時域有限差分法的基本原理求解波動方程，將計算區域從三維空間轉換到一個二維的旋轉對稱面上，可以極大地節省計算資源和計算時間。

利用待分析結構在φ方向上的旋轉對稱性，將電場和磁場進行傅里葉展開：

(1)

(2)

(3)

(4)

進一步將式(3)和式(4)中的微分形式使用差分形式代替，可以得到差分形式的BOR-FDTD迭代公式。ρ方向的電場和磁場的迭代公式為：

(5)

(6)

式中，(i,j)為剖分網格的空間坐標，上標中的n代表時間步。同理可得φ和z方向上的電磁場迭代公式。

在波紋喇叭的分析中，端口采用主模TE11模式電場進行激勵[9]，利用PML吸收邊界模擬無限空間的電磁場傳播，經過迭代計算得到計算區域每個網格的電磁場分量的數值，繼而由近遠場變換得到波紋喇叭的輻射方向圖[10]。

1.2 CMA-ES的基本原理

CMA-ES算法[11]與一般進化算法相比其特點為：采用協方差矩陣自適應地調整種群的分布，然后通過種群的分布情況利用多變量正態分布采點來產生算法種群，并且還引入了進化路徑累積的概念。下面對其基本原理和步驟進行簡要介紹。

1.2.1 參數初始化

在優化開始前，首先需要設置種群的相關參數：均值m(0)，全局步長σ(0)，協方差矩陣C(0)，子代個體數λ，父代個體數μ，進化路徑Pσ(0)和Pc(0)，最大迭代次數，以及算法的一些自適應參數。

1.2.2 種群采樣

采樣公式如下：

xk(g+1)=m(g)+σk(g)Nk(0,C(g))=

m(g)+σk(g)B(g)D(g)Nk(0,I)

(k=1,2,3,...,λ),

(7)

1.2.3 種群的評價與選擇

算法通過對個體的適應度函數值進行評估，進行(μ,λ)截斷選擇，組成當前最優子群。

1.2.4 均值移動

當前的最優子群通過加權重組得到新的分布均值。

(8)

式中,xi:λ(g+1)為g+1代中排名在第i位的個體。

1.2.5 協方差矩陣自適應

先對協方差矩陣進化路徑Pc更新：

m(g))/σ(g),

(9)

協方差矩陣C的調整公式如下：

C(g+1)=(1-c1-cμ)C(g)+c1(Pc(g+1)Pc(g+1)T+

(10)

式中，cc為Pc的更新學習速率，hσ為Heaviside函數，用于控制||Pc||的過大增長，μeff為方差有效選擇質量，且1≤μeff≤μ，c1和cμ分別為C的“秩1”和“秩μ”的更新學習速率。

1.2.6 步長控制

步長控制也稱為累積步長自適應調整，首先對步長進化路徑Pσ的更新如下：

(11)

步長σ的更新公式為：

(12)

式中，cσ為Pσ的更新學習率，dσ為接近于1的阻尼系數，E(||N(0,I)||)為歸一化進化路徑在隨機選擇下的期望長度。

在CMA-ES算法中以上步驟循環往復，引導種群收斂于全局最優解。

2 基于BOR-FDTD和CMA-ES的波紋喇叭優化設計

2.1 優化設計流程

圖1給出了基于BOR-FDTD和CMA-ES的波紋喇叭優化設計流程。首先對BOR-FDTD和CMA-ES進行參數初始化，定義結構變量，確定初始值。使用BOR-FDTD對建立的模型進行分析，得到照射電平、等化誤差、交叉極化電平和反射損耗等性能參數，進而得到目標函數值。再利用CMA-ES對目標函數進行優化，直到滿足指標要求為止。

圖1 分析優化設計流程圖

2.2 波紋喇叭的優化模型

以SKA天線的band 4饋源為優化實例，其性能要求為：工作頻帶為2.8～ 5.18 GHz，照射角為60°，邊緣照射電平控制在-12～ -17 dB，峰值交叉極化電平小于-20 dB，反射損耗小于-20 dB。

圖2為波紋喇叭結構示意圖，在此模型的設計中主要分為3部分結構：① 圓波導開口處的臺階結構，用于減少反射損耗，設置每個臺階長度為b(i)，高度為v(i)；② 4個環加載形式的徑向槽結構，每個槽設置槽深為d(i)，槽寬為w(i)；③ 在圓波導最外層的軸向槽結構用于減少漏失損耗，其寬度為h，深度為a。在優化中將這些結構的尺寸作為優化的參數，通過分析和優化程序確定結構的尺寸，以最終滿足所預期的優化目標。

圖2 波紋喇叭結構

波紋喇叭的設計目標是通過對其結構參數進行優化設計，盡可能地提高天線效率ηf，然而若要精確計算SKA天線的效率費時費力，因此本文采用文獻[12]中給出的饋源效率因子計算公式來估算SKA天線的效率：

(13)

式中，ψ0為照射角，co(ψ)和xp(ψ)分別為波紋喇叭的45°面主極化和交叉極化輻射方向圖。

在優化天線效率的同時要保證饋源工作頻帶內反射系數低于RLmax，照射角內峰值交叉極化電平(相對主極化最大值歸一)小于XPLmax。設M為工作頻帶內頻率采樣點數，XPLm和RLm為第m個頻點的峰值交叉極化和端口反射系數，則該問題可以抽象為以下目標函數的最小化問題：

f=1-ηf，

(14)

同時，應滿足以下約束條件：

(15)

(16)

式中，RLmax和XPLmax均為-20 dB。采用精確罰函數法將原問題轉化為無約束優化問題，從而該優化問題的目標函數為：

(17)

式中，M為一個處理約束的大數，從而保證不滿足約束的解的目標函數值一定大于滿足約束的解。

3 優化設計結果

最終優化得到的波紋喇叭開口處采用3個臺階結構，波紋槽數量為4個。如圖2所示，其長度L相當于2.8 GHz時波長的1.16倍，開口直徑D相當于2.64λ，優化出的饋源結構緊湊。

圖3給出了優化后的波紋喇叭在60°照射角內的方向圖，可見喇叭輻射方向圖等化較好，交叉極化電平也能滿足指標要求。

圖4為2.8～5.18GHz頻帶內的反射損耗，在2.8GHz時反射損耗為18.3dB，在大部分工作頻帶內反射損耗小于-20dB。

將優化后的饋源帶入到SKA賦形雙偏置格里高利天線[13]中計算出的口徑效率如圖5所示。可見工作頻帶內天線口徑效率均大于86.5%，并且在工作頻帶內天線效率波動較小，滿足設計要求。

圖3 60°照射角內方向圖

圖4 工作頻帶內反射損耗

圖5 工作頻帶內天線口徑效率

4 結束語

基于BOR-FDTD和CMA-ES提出了一種波紋喇叭優化設計技術，并成功應用于SKABand4 饋源的優化設計。優化結果表明，在工作頻帶內反射損耗基本小于-20dB，天線口徑效率均優于86.5%，并且口徑效率曲線波動較小。證明了該優化設計方法的正確性和有效性。本文所提出的優化設計技術可廣泛用于其他旋轉對稱結構饋源喇叭的優化設計。

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Design and Optimization of Corrugated Horn Based on CMA-ES

MENG Ze-yu1,DU Biao1,2，XIE Lei1

(1.The 54th Research Institute of CETC,Shijiazhuang Hebei 050081，China；2.Joint Laboratory for Radio Astronomy Technology ,NAOC & CETC54,Shijianzhuang Hebei 050081，China)

Body-of-revolution finite-difference time-domain (BOR-FDTD) algorithm is presented,and the formula for iterative computation of electromagnetic field is obtained.The principle and procedures of covariance matrix adaptation evolution strategy (CMA-ES) is introduced to optimize the structure parameters of the corrugated horn.An optimization method of corrugated horn based on BOR-FDTD and CMA-ES is proposed and is applied to the design of Band 4 feed for the SKA Dish.Optimization results show that the reflection loss is less than -20 dB over the operating frequency range,the aperture efficiency is better than 86.5%,and the efficiency variation with the frequency is small.

SKA;Dish;corrugated horn;BOR-FDTD;CMA-ES

10.3969/j.issn.1003-3114.2017.01.17

孟則宇,杜 彪,解 磊.基于CMA-ES優化方法的波紋喇叭優化技術[J].無線電通信技術，2017，43(1):68-72.

2016-09-23

國家重點基礎研究發展計劃項目(2013CB837902)；國家高技術研究發展計劃(863計劃)項目(SS2014AA122001)；國家自然科學基金項目(11261140641)

孟則宇(1992—)，男，碩士研究生，主要研究方向：電磁場與微波技術。杜 彪(1962—)，男，博士，研究員，現任中國電子科技集團公司第五十四研究所首席專家、所副總工程師，主要研究方向：射電望遠鏡天線、衛星通信地球站天線、微波天線、饋源系統和陣列天線等。

TN820

A

1003-3114(2017)01-68-5