研究型與實驗型相結合的離散數學教學模式

鄭紅波，秦緒佳

（浙江工業大學 計算機科學與技術學院，浙江 杭州 310032）

研究型與實驗型相結合的離散數學教學模式

鄭紅波，秦緒佳

（浙江工業大學 計算機科學與技術學院，浙江 杭州 310032）

針對離散數學課程的教學現狀及存在問題，提出在離散數學的教學中引入研究型和實驗型相結合的教學模式。分析和設計研究型與實驗型的教學模式和題庫，闡述研究型項目和實驗型項目的具體實施，培養學生研究問題、分析問題和解決問題的能力。

研究型與實驗型；離散數學；計算思維；教學模式

1 離散數學的教學現狀

離散數學以形式化、抽象的方法分析問題，研究離散量結構及相互關系，是計算機科學與技術專業的核心課程和理論基礎課程，對培養學生抽象思維能力和邏輯推理能力、培養學生數學建模能力和解決實際問題的能力起著重要的作用[14]，這些能力的培養正是計算思維的具體體現和很好的詮釋[5]。擁有計算思維能力、具備運用計算機概念和知識解決工程問題的能力，也是中國工程教育計算機專業認證的產出要求和細化標準。離散數學課程為培養學生的計算思維能力提供了一個很好的教學平臺。然而，筆者作為離散數學課程一線授課教師，通過多年的教學實踐，發現目前離散數學教學還存在以下問題[14]。

1）知識單元涵蓋的難點多，概念抽象生澀，知識難于理解和應用。

離散數學課程概念多、理論性強、高度抽象，是計算機學科的專業基礎課，在很多后續專業課程中有廣泛的應用。然而在學習這門課程的時候，大部分專業課程還未開課，學生對離散數學的應用沒有直觀感受，影響了學習興趣，這使學生在學習中感覺內容脫離應用、抽象難理解，影響了學習的積極性。

2）課程偏重理論敘述和定理證明，忽視實驗性教學環節。

離散數學的教學過程忽視實驗教學環節，學生在學習過程中無法體會離散數學的重要作用，不能充分體現專業基礎課的實用性，難以調動學生的學習主動性和積極性，影響了創新意識與創新能力的培養。

3）學生的計算機科學問題求解能力方面存在不足。

隨著計算機科學技術的發展，能夠正確理解計算機學科的基礎概念，能夠靈活運用各種思想、方法和技術解決實際問題，將成為未來計算機專業人才的必備技能。這些技能正是計算思維培養的目標。但當前的課程教材缺乏培養學生計算思維能力的體系建設，學生的計算機科學問題求解能力方面存在不足。

作為計算機核心課程中最具基礎性和理論性的課程，離散數學的教學問題會影響學生的學習和培養，改革勢在必行。因此，在離散數學的教學中引人“研究型和實驗型相結合的教學模式”，加強培養學生的研究問題、分析問題、解決問題?的能力，加強培養學生的動手能力和專業技能，就成為課程教學中重要而迫切的任務。

2 研究型與實驗型相結合的教學模式改革

應采用研究型教學，了解課程中內容的應用領域、相關知識，培養學生的獨立探索能力，提高學生的興趣，讓學生在學習中感受到學有所用;設計實驗，提高學生的動手能力和解決問題能力，讓學生對離散課程知識點有更深人的理解。本改革的理念是：基于培養計算思維能力的產出要求[5]，優化離散數學課程的教學內容和方式，增強離散數學的研究型教學和實驗性教學，突出離散數學的應用，加強學生實踐的鍛煉，旨在提升其以問題分析能力、程序設計能力和基礎創新及工程實踐能力為標志的計算思維能力，使學生通過課程的學習和鍛煉提升實踐能力的培養。

教學過程中，教師要注重啟發引導學生，將以往被動式教學模式改變為以學生為主體的教學模式;激勵學生積極思考問題，探討未知知識，研究知識的應用，營造雙向、互動的教學氛圍;加強對學生理論聯系實際、實踐動手能力和創新精神的培養;采用多層次教學方式，因材施教，使各層次的學生獲得更多的知識和鍛煉。

3 研究型與實驗型相結合的教學模式設計

3.1 研究型教學設計

一般的離散數學課程分兩個學期開展，分別為離散數學Ⅰ和離散數學Ⅱ。離散數學Ⅰ的教學內容為數理邏輯、集合與關系、函數，離散數學Ⅱ的教學內容為代數系統、圖論[4]。每個學期每個學生需要參加一個研究型項目和一個實驗型項目。

布置課前閱讀題目，讓學生了解與課程內容相關的背景知識、前沿知識和應用實例;也可為一些知識點設計課后研究型題目，讓學生通過查閱資料、撰寫學習報告來加深對新概念的理解，同時嘗試用所學理論和方法解決實際問題。在研究型教學設計中，選擇哪些主題和項目是設計的難點。學生沒有學過離散數學的應用知識，看不懂或不太理解太難太深奧的知識或應用。因此，在設計研究型主題時，可以采用教師布置規定和學生自主設計兩種方式。筆者在離散數學Ⅰ部分設計了邏輯和關系的相關應用，在離散數學Ⅱ部分設計了圖論的應用，見表1。

表1 離散數學研究型項目表

對于這些研究型的知識和實例，教師可以布置為學生小組、團隊研究項目，也可以要求學生自己探索感興趣的項目或有疑問的內容，培養學生發現問題、探索問題的能力，強化學生的自主學習能力和獨立鉆研能力。課前十分鐘可以讓學生講解、討論和分析這些研究型的項目，也可以集中到學期末進行研討并提交研究報告。

3.2 實驗型教學設計

實行以應用為主體、多層次的實驗教學模式，開設實驗和課程設計是加強實踐性教學的重要手段。由教師設計好實驗題目要求，然后布置給學生去實現。實驗設計要考慮學生的編程能力和先修課程，一般以小組、團隊的形式課外進行。離散數學一般在大一開課，和學生的程序設計課程同步進行，學生的編程能力有限，因此設計的實驗以基礎實驗為主。筆者在離散數學Ⅰ部分設計了集合與關系方面的實驗內容，在離散數學Ⅱ部分設計了群的綜合實驗，如表2所示。

表2 離散數學實驗型項目表

4 研究型與實驗型相結合的教學實施示例

4.1 研究型項目教學

邏輯應用到生活中的例子很多，可以讓學生自行查找資料，然后分析討論結果。我們利用課前十分鐘讓學生講解、討論和總結，分析用到的命題及其邏輯定律，分析與教學內容的銜接，培養學生發現問題、探索問題的能力，強化學生的自主學習能力和獨立鉆研能力，提高學生的學習興趣和動力。以下是學生探究的一個案例。

蓋亞、瑞亞、赫拉和雅典娜是古希臘少女，她們正在接受訓練以便當一個預言家。實際上，只有一個人成了預言家，并在特爾斐城謀得一個職位，其余3個人，一個當了職業舞蹈家，一個當了宮廷女侍，一個當了演奏家。一天，她們在練習講預言。

蓋亞預言：“瑞亞無論如何也成不了職業舞蹈家。”

瑞亞預言：“赫拉將成為特爾斐城的預言家。”

赫拉預言：“雅典娜不會成為演奏家。”

雅典娜預言：“我自己將嫁給一個叫阿特的男人。”

事實上她們只有一個人的預言是正確的，而正是這個人當了特爾斐城的預言家。

請用邏輯解之：她們四個人中誰當了什么？雅典娜和阿特結婚了嗎？

解題思路：將簡單命題符號化。

A：蓋亞是預言家 。

B：瑞亞是預言家。

C：赫拉是預言家 。

D：雅典娜是預言家。

只有一個人的預言正確且只有一人是預言家，所以A、B、C、D只有一個為真。若B為真，則C也為真，這與只有一人是預言家的前提相矛盾，所以B為假。因為B為假，所以瑞亞的預言為假，則赫拉不是預言家，即C為假，那么赫拉的預言也是錯的，即“雅典娜不會成為演奏家”是假的。根據雙重否定定律，則“雅典娜是演奏家”是真的。既然雅典娜是演奏家，那么D為假，則雅典娜不會和阿特結婚。

由此可知，命題B、C、D為假，只有命題A為真，即蓋亞是預言家。因此蓋亞的預言為真，瑞亞不是職業舞蹈家。根據事實的排他性，瑞亞是宮廷女侍，赫拉是職業舞蹈家。綜上，蓋亞是預言家，瑞亞是宮廷女侍，赫拉是職業舞蹈家，雅典娜是演奏家，且雅典娜沒有和阿特結婚。

4.2 實驗型項目教學

實驗項目一般采取團隊、小組的形式在課外進行，安排學生在學期末進行實驗演示、報告、答辯。課程最后，學生要遞交實驗報告，報告中寫明實驗目的、內容、編程思想、重要代碼段及其分析、實驗結果等，最好在報告中說明小組成員的工作分配。教師可以根據實驗的難易程度分析實驗型項目，如果項目比較簡單（如集合的運算），就不用分析，讓學生自己實現;如果項目較難（如代數系統的群），教師可以幫助學生分析系統及其數據。根據群的數學定義，假定輸人n個有限的元素集合G，G中有運算*，不同的元素通過運算*產生不同的結果，運算結果構成一個n*n的二維運算表，通過檢查運算表中的元素，判斷此代數系統是否為群。因為此時大部分學生沒學過C++的單文檔和多文檔，數據輸人需要采用控制臺程序的鍵盤輸人，輸出可以用二維數組表示，輸人后判定此代數系統的性質。要判定代數系統性質，先要判定封閉性、結合律、有幺元、每個元素有逆元，可以編寫幾個函數進行判定，如isClosure函數(用來判斷是否封閉)、isAssociativity函數(用來判斷是否具有結合性)、isExchange函數(用來判斷是否具有交換律)、ifIdentityElement函數(用來判斷是否含有幺元)、isEveryInverseElement函數(含有幺元時，是否每個元素都存在逆元)等。具體的函數實現，課程中已經講得比較清楚，學生自行實現即可，圖1是一組學生實驗的結果。

5 結 語

通過研究型與實驗型相結合的教學模式，大大提高了學生參與研究、討論、主動思考和實踐項目執行在課程中的比重，學生的主動性與創新實踐能力大大加強，提高了學生分析問題和解決問題的能力。該教學模式要求教師對研究項目和實驗項目有較多研究，并投人大量的時間和精力，才能使離散課程改革落到實處，真正惠及廣大學生。

圖1 代數系統的實驗

[1] 陳光喜, 古天龍.“離散數學”精品課程教學改革實踐[J]. 桂林電子科技大學學報, 2007(4): 300-302.

[2] 常亮, 徐周波, 古天龍.離散數學教學中的計算思維培養[J]. 計算機教育, 2011(14): 90-94．

[3] 路芳. 在離散數學課中引入研究型題目的教學實踐[J]. 陰山學刊, 2014(3): 86-88.

[4] 王衛紅, 李曲, 鄭宇軍. 離散數學[M]. 清華大學出版社, 2013: 8.

[5] 王飛躍. 面向計算社會的計算素質培養: 計算思維與計算文化[J]. 工業和信息化教育, 2013(6): 4-9.

（編輯：孫怡銘）

1672-5913(2017)01-0120-04

G642

浙江工業大學校級教學改革精品課程項目（JG201512）；浙江工業大學科研啟動金項目（119005029）。

鄭紅波，女，講師，研究方向為形式化方法、虛擬現實，zhb@zjut．eud．cn。