“錯位相減法”在高中數學數列中的應用研究

湖南省瀏陽市第一中學 黎 湘

“錯位相減法”在高中數學數列中的應用研究

湖南省瀏陽市第一中學 黎 湘

在高中數學教學中，數列問題是整個高中數學的重點，同時也是教學的難點。具體體現在數列問題涉及的公式較多，公式的變換也比較復雜。此外，出題的模式多樣化，做題的技巧也是多變的。因此，要學好數列問題，必須充分掌握每一種做題技巧，并能熟練運用。本文就“錯位相減法”在高中數學數列問題中的應用做出幾點闡述。

錯位相減法；高中數學；數列；

在數列問題運算中，首先要對數列有明確的定義，對相關公式準確記憶，并把數列的有關分類和不同的分類下所對應題目的特點和運算方法進行有效掌握，并通過實際的訓練鍛煉對知識的運用能力和對新知識的轉化能力。

一、對數列的介紹

數列（sequence of number）是以正整數集（或它的有限子集）為定義域的函數，是一列有序的數。數列中的每一個數都叫作這個數列的項。排在第一位的數稱為這個數列的第1項（通常也叫作首項），排在第二位的數稱為這個數列的第2項……排在第n位的數稱為這個數列的第n項，通常用an表示。數列相當于一種特殊的函數，因為它有一定的定義域和值域。數列的定義域是正整數或者是它的有限子集。在解決數列的問題時，用函數的思想進行思考，可以使問題簡化，增強學生對問題的認識和理解。其思想方法包括列表法、圖象法和解析法。對于邏輯關系較簡單的數列，可以用列表法和圖象法解決，這種方法比較直觀，能看出變化的趨勢以及數列的走向。而當問題較復雜，所包含的不僅僅是簡單的數值，還有未知數甚至函數關系時，就要用解析法來解決問題，通過總結推理出數列的遞推關系式解決數列問題。

再將數列進行細分，可分為等差數列和等比數列。等差數列，就是一個數列從第二項起，每一項都與前一項相差同一個常數。而這個相同的常數就是等差數列的公差。相同的，等比數列就是數列的每一項與前一項的比值都相同，為一個固定的常數，這個數稱為公比。在計算與應用中發現，等差數列和等比數列都有相應的求和公式。等差數列的求和公式為：而等比數列的求和公式為雖然運用公式對等差等比數列求和很方便，但是，當出現公式不適用的情況時，就需要用特殊的求和方法。

二、對“錯位相減法”的介紹

“錯位相減法”是一種特殊的數列求和方法，它適用于一般的等差數列和等比數列相乘時的求和運算，即適用于的形式的數列運算。在運算時，分別列出Sn（把公式中的n從1到n分別帶入，中間部分可以省略），再把所有式子同時乘以等比數列的公比q，即q·Sn；然后錯開一位，兩個式子相減。這種數列求和方法叫作錯位相減法。

三、應用“錯位相減法”解決數列問題

1．對出題形式良好把握

在講課過程中，老師要將每一種題型進行有效的分類，讓同學們對出題形式進行良好的把握。此外，老師在講課時也要幫助學生理解，而不是把知識“硬塞”給學生。要將“錯位相減法”的適用題型、思維方式、應用的具體步驟以及每一步驟的應用思路都講給學生，讓學生對基礎知識進行充分的理解。只有對思路和方法有了良好掌控，才能在真正意義上理解這種做題方法，在以后的運用中才能更加方便靈活。

比如，在計算求和Sn=1+3x+5x2+7x3+…+（2n-1）·xn-1（x≠0，n∈N＊）時，老師應該先帶領同學觀察題目，發現Sn的每一項都是兩部分相乘，再將這兩部分分別對比來看，前一項分別是：1、3、5、7、……n，是一個公差為2的等差數列；而后一項分別為：x、x2、x3、x4、……xn-1，是一個以x為公比的等比數列。顯然，這個數列是等差數列與等比數列相乘的數列，求和時應該運用“錯位相減法”進行求和運算。但是，老師要提醒學生等比數列的公比要進行討論，分為x=1和x≠1兩種情況，再進行接下來的運算。

當x=1時，Sn=1+3+5+…+（2n-1）=n2。此時不需要運用“錯位相減法”，直接就可得出結果。

當x≠1時，Sn=1+3x+5x2+7x3+…+（2n-1）xn-1，此時考慮“錯位相減法”，等式兩側同時乘以公比x：

∴ xSn=x+3x2+5x3+7x4+…+（2n-1）xn，

兩式相減得（1-x）Sn=1+2（x+x2+x3+x4+…+xn-1）-（2n-1）xn，

最后將式子進行化簡得Sn=（1/1-x）+2x-2/（1-x）2

老師帶領著學生對每一步進行分析，一起運算。整個過程，老師只負責板書示范，學生負責思考，通過具體的舉例，加深學生對“錯位相減法”的理解，促進學生對此運算方法的有效運用。

2．巧妙將問題轉化

在學習中，學生們逐漸掌握了每種題型所用的具體解決方法，在做題時，學生可以根據具體問題做出迅速反應，找到解題方法。但是，這也導致我們在思考問題時過度模式化，看到問題直接急著去給它下定義，然后找解決思路。可現在很多數列問題都沒有明確的等差或者等比數列的標志，需要我們進行轉化，然后進行答題。

再好的理論，沒有實踐的訓練也是沒有實際意義的，因此，要通過具體題目進行公式和運算方法的練習，通過訓練來培養學生的思維能力，加強學生對知識的掌握和運用能力，讓學生在主動思考中體驗學習的樂趣，在不斷練習中爭搶學習數學的自信心，促進學生更好地學習。

[1]賈士代．漫談錯位相減法的應用[J]．數學教學研究．1986．

[2]黃光鑫．解向量問題的錯位相減法[J]．數學大世界（高中生數學輔導版），2005．