聚焦圓與方程問題中的常見錯解

■殷卓然

聚焦圓與方程問題中的常見錯解

■殷卓然

圓與方程是大家熟悉的概念，求解圓與方程問題，應仔細審題，認真計算。

一、不注意圓方程的約束條件致錯

例 1 已知直線l經過點A（l，l），且與圓x2+y2+x—3y+k=0相切，則直線l的斜率k（k∈R）的取值范圍是____。

錯解：由題意知點A（l，l）不在圓x2+y2+x—3y+k=0的內部，故把點A（l，l）的坐標代入圓方程滿足l2+l2+l—3×l+k≥0，即k≥0。故k的取值范圍是[0，+∞）。

錯因分析：由圓方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，可知此方程表示圓的條件是D2+E2—4F＞0，錯解忽視了這一約束條件。

正解：由題意知方程x2+y2+x—3y+k=0表示圓，則l2+（—3）2—4k＞0，所以k＜又點A（l，l）不在圓x2+y2+x—3y+k=0的內部，所以k≥0。

二、思考不嚴密致錯

例 2 已知圓 M：（x—l）2+（y—l）2=4，直線l過點P（2，3）且與圓M 相交，直線l被圓M截得的弦長為，則直線l的方程為（ ）。

A.3x—4y+6=0

B.4x—3y+6=0

C.x=2或4x—3y+6=0

D.x=—2或3x—4y+6=0

錯解：把點P（2，3）代入圓M 的方程，可知點P在圓外。

設直線l的方程為y—3=k（x—2），即kx—y+3—2k=0。因為直線l被圓截得的弦長為，所以由點到直線的距離公式得，解得k=。故直線l的方程為3x—4y+6=0。應選A。

錯因分析：上述解法忽視了直線l的斜率不存在的情況，當直線l的斜率不存在時也滿足題意。

正解：①當直線l的斜率存在時，由上可得直線l的方程為3x—4y+6=0。②當直線l的斜率不存在時，其方程為x=2，這時直線l被圓M截得的弦長也為適合題意。

綜上可得，直線l的方程為x=2或3x—4y+6=0。應選C。

例 3 直線l：y=k（x—5）與圓O：x2+y2=l6相交于A，B兩點，當k變動時，則弦AB的中點M的軌跡方程為____。

錯解：設點M（x，y）。易知直線l恒過定點P（5，0）。由OM⊥AP，可得|OP|2=|OM|2+|MP|2，所以x2+y2+（x—5）2+y2=25，整理得即為所求的中點M的軌跡方程。

錯因分析：上述解法在求點的軌跡方程時不注意進行檢驗致錯。求軌跡方程問題，一定是符合實際情況的軌跡方程。

正解：設點M（x，y）。易知直線恒過定點P（5，0）。由OM⊥AP，可得|OP|2=|OM|2+|MP|2，所以x2+y2+（x—5）2+y2=25，整理得

由于弦AB的中點M 必在圓內，所以所求的中點M 的軌跡方程為

河南羅山高級中學高三（l）班

（責任編輯 郭正華）