基于Wasserstein距離和分裂Bregman方法的圖像分割算法

王 瑜，閆 沫

（1.西安航空學院 機械工程學院，陜西西安710077；2.西安建筑科技大學機電工程學院，陜西西安710055）

基于Wasserstein距離和分裂Bregman方法的圖像分割算法

王 瑜1，閆 沫2

（1.西安航空學院 機械工程學院，陜西西安710077；2.西安建筑科技大學機電工程學院，陜西西安710055）

針對基于C-V模型的活動輪廓分割算法無法應用于灰度非均勻圖像分割的問題。采用Wasserstein距離作為區域直方圖相似性測度，提出基于該測度的非參數活動輪廓分割模型。在模型求解時引入全局凸分割和分裂Bregman方法，減少了計算量。大量實驗結果表明該模型不依賴初始輪廓曲線的位置，能夠對灰度非均勻圖像進行較準確的分割，具有較快的運算速度。

圖像分割；Wasserstein距離；分裂Bregman方法；全局凸分割；活動輪廓

圖像分割是圖像處理和計算機視覺領域的基本問題。基于變分公式的活動輪廓模型（active contour model，ACM）是近年來最有成效的一類算法。該類算法通過對嵌入區域及其邊界特征描述的能量泛函最小化完成對圖像區域的劃分[1]。

目前常見的活動輪廓模型主要分為兩大類：基于邊界的模型[2-5]和基于區域的模型[6-8]。最常見的基于邊界的活動輪廓模型被稱為測地活動輪廓模型[3]（Geodesic Active Contour，GAC）。它使用圖像梯度構建邊緣停止函數 （edge stopping function，ESF）使曲線演化停止在目標邊界。對于弱邊緣或梯度噪聲大的圖像來說，該算法難以得到理想的分割結果。

針對這一問題，Chan和Vese[6]提出著名的基于區域的分割模型，即C-V模型。C-V模型能在既沒有明顯邊界，也缺乏明顯紋理特征的圖像中分割目標和背景。Chan等人最初提出的C-V模型為了保持曲線演化的穩定性，需要在曲線演化過程中周期性的進行水平集函數重新初始化操作，使其保持符號距離函數（signed distance function，SDF）的性質。因此傳統C-V模型的計算量較大。為了避免水平集函數的重新初始化、提高算法的運算速度，Li等人[5]提出在原始能量泛函中增加新的約束項大大提高了算法的運算速度。最近，Zhang等人[9]提出新的基于區域的ACM模型，該模型采用SBGFRLS（Selective Binary and Gaussian Filtering Regularized Level Set）方法，使用二值函數作為水平集函數并利用高斯核函數對其正則化，有效避免水平集演化過程中的重新初始化操作，相對于Li等人的算法，其運算速度得到進一步的提高[10]。與此同時，該算法同時結合了上述兩類模型的優點使其具有更好的分割效果和更快的運算速度。

由于上述算法是一種參數區域模型。模型以同質區域作為假設條件，因此在面對灰度復雜的圖像時，無法獲得較好的分割效果。非參數活動輪廓模型利用像素概率密度分布或局部直方圖來分割圖像。文獻[8-12]采用了Wasserstein距離作為區域相似性測度，取得了較好的分割效果，然而計算量較大使該算法在實踐中難以應用。另一方面，活動輪廓模型圖像的分割效果一般依賴于初始曲線的位置，不當的初始輪廓會導致分割結果進入局部解。文獻[13]在圖像分割問題中采用了分裂Bregman技術得到了全局最優解，并且得到了快速解。然而該算法仍然是基于C-V模型，因此仍然具有C-V模型本身的特點。

文中以Wasserstein距離作為區域相似性測度，結合全局凸分割和分裂Bregman方法，提出新的基于全局最優的分割算法。該算法不依賴于初始曲線位置，與前面的算法相比具有較強的魯棒性和較快的運算速度。

1 基于Wasserstein距離的活動輪廓模型

1.1 Wasserstein距離

1.2 模型定義

板澗河調蓄水庫主要建筑物，包括大壩、溢洪道、導流泄洪洞、連通洞及補水泵站。大壩為2級建筑物，溢洪道和泄洪洞為3級建筑物，補水泵站為2級建筑物。洪水標準為50年一遇設計，1 000年一遇校核。

令Ω為R2上的有界開子集，I:Ω→[0，L]為給定灰度圖像。假設活動C曲線將圖像劃分為內部區域Cin和Cout外部區域。對每一像素點x∈Ω，定義其局部直方圖為：

其中，r為鄰域半徑，|·|為集合的勢，Nx，r是以為半徑的的鄰域，表示像素灰度。

分割模型的能量函數可以定義為：

其中Per（C）表示曲線C的長度，P1、P2分別表示活動曲線內外區域直方圖。根據變分水平集方法[14]，（1）式的曲線演化方程可以寫成：

與之相應的零水平集演化方程如下：

2 分割模型的分裂Bregman算法實現

文獻[13]在圖像分割中首次采用了全局凸分割方法和分裂Bregman技術，該方法針對正則函數提出一種高效的迭代策略從而快速獲得全局最小解。首先根據文獻[15]，式（3）的穩態解同下式保持一致。

由于式（5）不存在唯一的全局最小解。我們將φ限制在一個有限區間[a，b]內，上式具有全局最小解，可以表示如下：

一旦找到φ，可以通過對水平集函數取某個門限α∈（a，b）得到分割區域，如下：

水平集函數φ的求解可以通過采用Bregman迭代進行交替求解。

針對水平集函數φ，對式（9）應用歐拉-拉格朗日公式可以得到：

式（11）的數值實現如下：

固定φ不變，式（9）相對變量d的最小化可以由下式計算：

3 實驗結果

為了驗證算法的有效性，本文針對合成圖像和真實圖像進行實驗。試驗中選取參數a=0，b=1，α= 0.5。參數r根據不同的圖像進行選擇，一般取2≤r≤5。實驗結果如下：

圖1針對無序特征合成圖像進行分割實驗。實驗結果可以看出，由于采用Wasserstein距離作為區域相似性測度，文獻[8]和本文算法獲得了較好的分割結果。文獻[9]無法獲得滿意分割，由于本文算法基于全局最優解，因此相對文獻[8]分割效果更好。圖2針對添加標準差為σ=0.2高斯白噪聲的狹長凹陷區域合成圖像進行實驗。由于凹陷區域過于狹長，傳統基于邊緣和區域的模型無法給出滿意結果。文獻[9]結合了GAC模型和C-V模型的優勢，其最終輪廓能夠進入狹長凹陷區域從而獲得滿意的分割結果。文獻[8]在面對狹長凹陷區域時，算法陷入局部極小值，無法獲得滿意的分割結果。圖3采用同一幅原始圖像合成單視SAR強度圖像，其數據滿足分布。文獻[9]由于算法本身針對滿足高斯分布的數據，因此雖然在實驗二中獲得了好的分割結果，但面對SAR圖像數據，無法取得滿意的分割效果。本文算法基于全局最優解，在實驗二和實驗三中獲得了滿意的分割效果。圖4、圖5分別為真實的醫學超聲圖像和SAR水域圖像。實驗結果可以看出文獻[8]和本文算法獲得了較好的分割效果，由于圖像內部亮度不均勻，文獻[9]無法獲得滿意的結果。

圖1 無序特征圖像分割結果

表1 給出了在相同的軟硬件條件下（Core2 2.4 GHz CPU，2.00 G RAM，MATLAB平臺）文中算法與文獻[8-9]算法在運算速度方面的比較結果。從表 1中可以看到，文中算法在獲得較好分割效果的同時具有更快的運算速度。

圖2 狹長凹陷區域圖像（添加高斯噪聲）分割結果

圖3 狹長凹陷區域圖像（單視SAR強度圖像）分割結果

圖4 醫學圖像分割結果

圖5 SAR圖像水域分割結果

表1 實驗中算法運行時間比較

4 結 論

文中利用Wasserstein距離作為區域直方圖相似性測度，在基于Wasserstein距離的非參數活動輪廓分割模型基礎上引入全局凸分割和分裂Bregman方法。實驗結果表明，全局凸分割能夠利用圖像全局信息獲得全局最優解；分裂Bregman方法具有快速收斂的特性。與此同時，傳統活動輪廓算法分割結果依賴于初始輪廓的位置，不當的初始輪廓會導致活動輪廓曲線收斂到局部最優解。本文結合了非參數模型的優勢和全局凸分割的全局最優解以及分裂Bregman方法的快速收斂特性。實驗結果表明，本文算法能夠獲得較好的分割效果，同時具有較快的運算速度。目前該算法只針對目標和背景兩區域圖像分割，在已有算法的基礎上研究多區域圖像分割將是本文后續的重要研究內容之一。

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Image segmentation based on Wasserstein distance and split Bregman method

WANG Yu1，YAN Mo2
（1.School of Mechanical Engineering，Xi'an Aeronautical University，Xi'an 710077，China；2.College of Mechanical and Electrical Engineering，Xi'an University of Architecture and Technology，Xi'an 710055，China）

Active contours segmentation algorithms based on C-V model can not be used for intensity non-homogeneity images segmentation.Wasserstein distance is employed as the region histogram similarity measure.A non-parametric active contour model based on this measure is proposed in this paper.Global convex segmentation and split Bregman method is applied to solving the model.It can reduce the amount of computation.Experimental results show that the model does not depend on initial curve.It can segment intensity non-homogeneity images correctly and efficiently.

image segmentation；wasserstein distance；split bregman method；global convex segmentation；active contour

TP 301.6

：A

：1674-6236（2017）02-0140-05

2016-01-04稿件編號：201601006

王瑜（1981—），女，江蘇徐州人，碩士，講師。研究方向：機電一體化、模式識別與目標檢測。