聚焦建構途徑 深化模型思想

吳秋妹

一、取材生活，喚醒儲備

《義務教育數學課程標準（2011）》指出數學建模應以學生已有的生活經驗為起點，經歷從生活情境中提煉出一個比較清晰的數學問題這一過程。依據建模的方向，我們可以設計一些貼近學生生活實際，并能快速激活已有生活經驗的情境來切入。通過取材生活這一建構途徑，不僅有助于激發學生學習數學的興趣，還能快速喚起學生已有的知識儲備。

【教學片段1】

師：最近，老師在練習寫毛筆字，請你們幫老師選一選——哪一句詩的書寫你比較欣賞？為什么？

生：第四句，因為書寫時，每兩個字之間的書寫距離相等！比較美觀！

師：字與字之間的距離，我們把它叫作間距。那么第四句詩有幾個這樣的間距？

生：4個！

師：我們就說它的間隔數是4。（板書）“只有敬亭山”有多少個字？間隔數是多少？看來啊，5個字，4個間距長度要一樣的才美觀！謝謝你們！

模型準備階段，選取的建模題材，要注意貼近學生生活實際，為“提煉”做準備。并且要有一定的開放性。經歷提煉問題的過程，進一步深入研究，讓學生產生建模的需要。上述片段通過學生比較詩句書法的過程，無形中滲透了間距、間隔數等相關知識，為模型的建立做前期準備。

二、化繁為簡，初始模型

化繁為簡是指將復雜問題看成簡單的問題，在簡單的問題中探究發現規律，再運用發現的規律去解決復雜的問題。給予學生化繁為簡的探究意識，比單純告知他們應該怎么研究更有效。“植樹問題”教材給定的素材是“總長100米的小路”，那么在建立“兩端都要栽”的數學模型時，大數據是不方便展開探究的，筆者嘗試通過化繁為簡來建構初始模型，方便學生進一步探究。

【教學片段2】

1. 設疑：為了美化環境，校長想在學校操場邊植樹。有一條100米長的小路，計劃在小路的一邊栽樹，一共需要多少棵樹苗？（出示主題圖）

①從題目中你了解到哪些信息？②什么是兩端都要栽？什么是一邊栽樹？③要解決這個問題，你們覺得還需要什么條件？④每隔5米栽一棵是什么意思？

2. 猜測：學校一共要準備多少棵樹苗？

①怎樣檢驗這個結果是否正確？

預設：可以通過畫一畫的方法來驗證！（課件展示如何畫，規范畫法）

②100米有點長，畫起來比較麻煩！有沒有什么好的研究策略？

課件出示——研究策略：復雜問題→簡單問題→發現規律→解決問題。

師：這個策略叫作化繁為簡！（板書）

③根據這個研究策略，你想怎么研究這道題？

預設：我們先在10、20、30米的路上栽一栽，看看有沒有什么發現！

④現在讓我們運用這個策略，一起來研究！

設計此環節時，筆者先通過演示線段圖：在100米的小路一邊植樹，讓學生感受到100米太長了，促使其交流研究策略，明確“復雜問題→簡單問題→發現規律→解決問題”這一建構途徑。隨之介紹化繁為簡的數學思想。然后追問學生：“通過這種途徑，你想怎么解決這道植樹問題？”學生很自然地想到將100米縮短研究。

三、數形結合，明晰模型

數學模型的建構是由形象到抽象，由直觀到理性提煉簡化的過程。教學中如能打通數與形之間的通道，以形表模、以模輔形，相輔相成，將有助于學生明晰數學模型。因此數形結合未嘗不是一條良好的建構途徑。下文教學片段3通過數形結合這一建構途徑，讓學生合理分配間距、間隔數與棵數，無形中滲透了總長、間距、間隔數這三者之間的關系。最后通過引導學生有序觀察、比較：①總長、間距、間隔數三者之間的關系；②棵數與間隔數之間的關系，從而發現其中隱藏的規律，建立起兩端都要栽的數學模型。

【教學片段3】

活動一：填一填

100米太長了，先試一試10米、20米、30米……看看有什么發現！

兩端都要載

觀察表格：

①總長、間距、間隔數，三者有什么關系？

②樹的棵數與間隔數有什么關系？

從學生的思維特點看，五年級學生仍以具象思維為主、抽象思維為輔，有一定的抽象概括、歸類梳理的學習經驗。新版教材將“植樹問題”從四年級下冊調整至五年級上冊，也反映出該知識點具有很高的數學思維含量與較深的探究空間。這就需要執教者為學生制訂操作性比較強的學習方案。通過數形結合這一建構途徑，讓他們自主探究，明晰數學模型。

四、舉例模仿，深化模型

模仿并不是盲目地模仿，不能只停留在知識層面上的模仿，而應在更高階的層面——方法、結構與思想上去模仿。通過舉例模仿這一建構途徑，進行自主建構變式模型。如教學“兩端都不栽”時，筆者認為基于前面“兩端都要栽”的探究，學生已經積累了一定的建模經驗，這時可以放手讓他們依據剛才的建模方法，也采用化繁為簡的學習策略，自定總長進行研究，自主建構“兩端都不栽”的數學模型。

【教學片段4】

活動二：舉例模仿

兩端都不栽

觀察表格：

①你舉的數據是什么？

②你發現了什么規律？

探究前，教師得先幫助學生梳理“兩端都要栽”的建模方法與步驟，再放手讓他們根據這些建模方法、步驟，通過舉例模仿這一建構途徑，自主建構“兩端都不栽”的數學模型。給予學生必要的幫助，將學習的主動權交給學生。最后通過辨析兩種模型的異同點，進一步深化植樹問題的兩種模型。

五、聯系生活，拓展模型

《課程標準》指出數學建模活動要密切聯系現實生活，凸顯數學的應用價值。模型應用中，不能讓學生只停留在簡單套用模型的橫向層面，而應進一步縱向深化、內化模型，加深學生對數學模型的理解。設計的練習應有變式、有層次，并且要多聯系生活實際。讓學生感知數學來源于生活，也應用于生活。在師生共同建立“兩端都要栽”的模型后，即可讓學生解決教材主題圖中的問題：“一條100米長的小路，計劃在小路的一邊栽樹，每隔5米栽一棵，一共需要多少棵樹苗？”而在建立起“兩端都不栽”的數學模型后可完成練習“學校新、舊兩棟教學樓之間的一條小路距離300米，校長計劃在小路的兩邊栽樹，每隔10米栽一棵，一共需要多少棵樹苗？”在建立起“只栽一端”的模型后可完成練習：①廈門brt快3線，從火車站到洪文站一共有6個站，平均兩個站之間的距離是3千米，從火車站到洪文站大約多少千米？②想一想，在生活中，你還見過與“植樹問題”相似的問題嗎？通過及時鞏固、變式練習、拓展應用等注入生活元素的練習，達到聯系生活，拓展模型的目的。

數學建模是一個交互的、層層遞進的過程。在推進的過程中，教師要明晰各階段學生建模的受阻點，確立教師的幫扶點。聚焦模型建構的幾個有效途徑，策劃有效的建構方案，才能讓學生在自主建構數學模型的同時，體驗到建模過程所帶來的樂趣，保持對數學知識的向往。

（責任編輯：王彬）