基于CS-GPSR的電容層析成像圖像重建算法*

田 沛， 劉昭麟， 張立峰

(1.河北省發電過程仿真與優化控制工程技術研究中心，河北 保定 071003;2.華北電力大學 自動化系，河北 保定 071003)

基于CS-GPSR的電容層析成像圖像重建算法*

田 沛1,2， 劉昭麟2， 張立峰2

(1.河北省發電過程仿真與優化控制工程技術研究中心，河北 保定 071003;2.華北電力大學 自動化系，河北 保定 071003)

提出將基于壓縮感知(CS)理論的稀疏梯度投影(GPSR)算法應用于電容層析成像(ECT)圖像重建過程中。采用離散Fourier變換(DFT)基將原始圖像灰度信號進行稀疏化處理；將ECT靈敏度矩陣的各行按隨機順序進行排列，得到ECT系統觀測矩陣，同時將測量電容向量的各行按相同順序進行排列，得到觀測投影向量；使用GPSR算法進行圖像重建。仿真實驗結果表明:基于CS理論的GPSR(CS-GPSR)算法重建圖像質量明顯優于LBP算法和Landweber迭代算法。本文所述算法可實現較高精度的圖像重建，為ECT圖像重建的研究提供了一種新的手段。

電容層析成像； 圖像重建； 壓縮感知稀疏梯度投影

0 引 言

電容層析成像(electrical capacitance tomography，ECT)技術發展于20世紀80年代，它基于電容敏感機理對工業管道中多相流體進行在線監測，具有非輻射、非侵入、結構簡單、安裝攜帶方便、成本低、響應速度快等優點，為化工、石油、電力、能源等現代工業生產中多相流體的在線測量提供了新的手段[1]。

典型16電極ECT系統成像過程為：數據采集系統產生一定頻率的正弦電壓信號并將其傳送至傳感器陣列的激勵電極；電極陣列通過測量不同電極對之間的電容值獲得測量投影信號；圖像重建單元運用某種圖像重建算法將管道截面處介電常數分布圖像由測量投影信號重建出來。

目前ECT圖像重建算法可分為非迭代算法和迭代算法兩大類[2]。非迭代算法，如線性反投影算法，簡單快速，但重建圖像精度太低，無法滿足工業要求；迭代算法，如Landweber算法，重建圖像精度較高，但其收斂速度慢，影響成像的實時性。

2004年，Donoho D L和Candès E等人提出了壓縮感知(compressed sensing，CS)理論[3]，它突破了傳統采樣定理對信號帶寬的限制，通過極少量的采樣數據即可高精度地重建出原始信號，為信號采集技術帶來了革命性的突破。該理論提出：若信號在某個變換域內是稀疏的或可壓縮的，便可以使用與稀疏基不相關的隨機觀測矩陣對原始信號進行投影得到低維測量信號。通過求解最優化問題就能將原始信號從低維測量信號中精確重建。目前，CS理論已經廣泛應用于壓縮成像、雷達、通信、醫療成像等諸多領域。

本文提出將基于CS理論的稀疏梯度投影算法(CS gradient projection for spare reconstruction,CS-GPSR)應用于ECT圖像重建過程中,使得重建圖像更加接近于原始圖像。

1 CS原理簡介

CS的前提條件是信號具有稀疏性或者可壓縮性[4]，而實際信號往往并非稀疏信號。為了使其滿足CS理論，尋找一組合適的正交變換基，對信號進行正交變換，使其成為稀疏信號或可壓縮信號。

(1)

式中Ψ為N×N維正交基，ΨN×N=[ψ1ψ2…ψN]；s為N×1維的系數向量。當s僅有K?N個非零系數時，信號x在變換基Ψ上是稀疏的，稀疏度為K。

常用的稀疏基有：離散Fourier變換基(DFT)、離散余弦變換基(DCT)、離散正弦變換基(DST)、離散小波變換基(DWT)等。

CS的核心是線性測量過程，設計合適的觀測系統對原始信號x進行線性觀測。通過對信號x進行投影得到測量投影向量y，即

y=Φx=ΦΨs=Acss

(2)

式中 y為M×1維的觀測向量；Φ為M×N維的觀測矩陣，且M < N。令ACS=ΦΨ，稱ACS為CS矩陣。

對于給定的y從式(2)中求出x是一個線性規劃問題，由于觀測信號y維數M小于原始信號x維數N，使得方程(2)為欠定方程，通常無確定解。但通過使用K稀疏的先驗條件，方程(2)便有望求解。

由CS理論知，當CS矩陣ACS滿足限制等距條件[5](restricted isometry property，RIP)時，便可運用多種CS重建算法將s的K個非零系數從M個測量值中準確重建，同時保證重建過程收斂。RIP條件的等價條件是觀測矩陣Φ和稀疏基Ψ不相關[6]。文獻[7]指出，當使用高斯隨機矩陣作為觀測矩陣，任意正交基作為稀疏基時，觀測矩陣和稀疏基不相關，ACS可在較高概率下滿足RIP條件，從而使得欠定方程(2)得以求解。

利用信號稀疏或可壓縮的先驗條件，最直接的方法是采用最小L0范數模型求解CS信號重構問題

xopt=Ψsopt

(3)

但由于L0范數具有非凸性，直接求解式(3)的數值計算極不穩定而且是NP困難問題[8]，故各種替代模型及其對應的CS重建算法相繼被提出[9]，典型算法如凸松弛(最小L1范數)算法、貪婪算法、迭代閾值算法、最小全變差算法等。

2 基于CS理論的ECT圖像重建

離散Fourier變換(DFT)基對于二值圖像信號的稀疏效果較好，可用作ECT系統的稀疏基，對重建圖像灰度信號進行稀疏化處理，即

g=ΨFFTs

(4)

式中g為N×1維重建圖像灰度向量；ΨFFT為N×N維快速Fourier變換(FFT)基；s為N×1維K項稀疏系數向量。

CS理論要求觀測系統對原始信號的觀測過程為線性過程，ECT系統線性模型如下[10]

λ=Sg

(5)

將式(4)代入式(5)中，得到基于CS理論的ECT系統數學模型

λ=Sg=SΨFFTs=AECTs

(6)

式中 λ為M×1維測量電容向量經歸一化處理后的測量投影向量；S即為M×N維的ECT系統觀測矩陣；AECT為ECT系統CS矩陣；λ即為ECT采樣系統通過觀測矩陣S對原始圖像灰度信號g進行觀測得到的觀測投影向量。

16電極ECT系統可以得到的獨立測量數M=16×15/2=120，為保證ECT系統成像精度，成像區域采用正方形網格剖分，像素數N=812。由CS理論可知，為使得重建圖像灰度向量g的N個像素灰度值可以由測量投影向量λ的M個獨立測量值精確重建，ECT系統CS矩陣AECT必須滿足RIP條件，即觀測矩陣S為高斯隨機矩陣。但由于ECT系統硬件條件和固有采樣方式的限制，實現測量數據的隨機觀測十分困難。為提高觀測矩陣S的隨機性，故本文將原觀測矩陣S的各行向量按高斯隨機順序重新排列得到新的隨機觀測矩陣Snew，使其具有一定的隨機性，將測量投影向量λ各行以相同的順序重新排列得到新的投影向量λnew。這樣，隨機觀測矩陣Snew和稀疏基ΨFFT具有不相關性，在一定概率下滿足RIP條件。

文獻[11]指出，當觀測矩陣Snew和稀疏基ΨFFT不相關時，最小L1范數問題和最小L0范數問題具有相同的解。最小L1范數問題為凸優化問題，可方便地轉化為線性規劃問題進行求解

gopt=ΨFFTsopt

(7)

在求解式(7)過程中，將約束凸優化問題轉化為無約束的凸優化問題，同時使用L1范數正則化模型[12]可有效克服ECT系統病態性

gopt=ΨFFTsopt

(8)

本文使用GPSR算法[13]對式(8)進行求解，實現ECT系統圖像重建。

GPSR算法是用于CS信號重構的一種經典算法，通過把稀疏系數向量s分按正負元素分為兩部分(即s=u-v，其中u=(s)+=max(0,s)≥0，v=(-s)+≥0)，如式(9)的L1范數正則化模型可被轉化成為如式(10)的二次規劃問題

(9)

(10)

式中 1N=[1,1,…,1]T為N維元素全部為1的列向量，經過推演，可變形為如式(11)的非負約束集上的二次規劃問題

s.t.z≥0

(11)

GPSR算法的迭代步驟如下：

初始化：選定初始值z(0)，選擇參數β∈(0,1)和μ∈(0,1/2)，令迭代步數i=0。

1)計算步長：按公式計算α0；

經GPSR算法所重建出的圖像灰度值經歸一化處理后g∈[0,1]，并非二值圖像。本文使用最優閾值方法，基于式(12)，即考慮可能的閾值，計算選取誤差最小時的閾值作為最優閾值，對圖像進行二值處理

(12)

式中 gth為閾值處理后的圖像灰度值。

3 實驗結果與分析

本文以油氣兩相流為研究對象，設定了三種典型流型進行仿真實驗，其中油和氣的相對介電常數分別為2.6和1，使用COMSOL3.5a有限元軟件獲得仿真測量電容值數據，使用Matlab軟件進行ECT圖像重建，成像區域采用正方形網格剖分為812個像素。

仿真過程中，采用LBP算法、Landweber算法及本文提出的基于CS理論的GPSR算法分別進行圖像重建，獲得初始重建圖像，如圖1所示；為了使重建圖像更好地接近于原始圖像，采用最優閾值法對重建圖像進行后處理，獲得二值圖像，如圖2所示。

圖1 初始重建圖像

圖2 后處理重建圖像

由圖1可見，相較于LBP算法和Landweber算法重建圖像，基于CS理論的GPSR算法能夠較高精度地對場域中的各種流型進行重建。GPSR算法能夠較清楚地重建場域內物體的位置信息和邊緣信息，重建圖像中，物體分布準確、邊緣規則、區分度好、形狀保真度高；而LBP算法和Landweber算法重建圖像中，重建物體發生形變、偽跡明顯、不能清楚地區分。由流型3和流型4的重建圖像可以看出，對于較為復雜的流型，LBP算法重建圖像完全失真，Landweber算法重建圖像精度較低，而GPSR算法依然可以實現較高精度的圖像重建。由圖2可見，對三種算法重建圖像進行最優閾值處理之后，其重建圖像精確度均有明顯改善，可以看出GPSR算法重建圖像更加接近真實分布。

為定量評價重建圖像質量，采用相對誤差(RE)和相關系數(CC)作為評價指標，其定義分別為

(13)

(14)

表1 初始重建圖像相對誤差(RE)

表2 初始重建圖像相關系數(CC)

表3 后處理重建圖像相對誤差(RE)

表4 后處理重建圖像相關系數(CC)

分析表1～表4中三種算法重建圖像的性能指標可知，對比LBP算法、Landweber算法和基于CS理論的GPSR算法重建圖像的各項指標，GPSR算法重建圖像的相對誤差最小，而相關系數最大，說明GPSR算法重建效果優于LBP算法和Landweber算法，重建圖像精度較高，與真實分布更加接近。通過使用最優閾值法后處理，三種算法重建圖像精確度均有明顯改善，但GPSR算法重建圖像精度仍優于LBP算法和Landweber算法。故將本文所論述的算法應用于ECT圖像重建中，可獲得較高精度的重建圖像。

4 結 論

本文提出將基于CS理論的稀疏梯度投影(CS-GPSR)算法應用于ECT圖像重建過程。由于CS理論可以在較少觀測數據的情況下精確重建原始信號，故應用于ECT圖像重建中可以較好地解決ECT系統欠定性問題；同時GPSR算法可以對場域內物體的位置信息和邊緣信息進行有效地重建，故重建圖像精度較高。仿真結果表明:該算法成像精度高，適合應用于ECT圖像重建過程中，為ECT圖像重建提供了一種新的途徑和手段。

[1] 高彥麗，章勇高，邵富群，等．電容層析成像技術中圖像重建算法的發展及研究[J]．傳感器與微系統，2007，26(10)：9-11,14．

[2] 王 挺，范文茹，郝魁紅，等．平面式電容傳感器陣列激勵模式研究[J]．傳感器與微系統，2012，31(9)：71-74．

[3] Donoho D L．Compressed sensing[J]．IEEE Transactions on Information Theory，2006，52(4)：1289-1306．

[4] 石光明，劉丹華，高大化，等．壓縮感知理論及其研究進展[J]．電子學報，2009，37(5)：1070-1081．

[5] Candès E．The restricted isometry property and its implications for compressed sensing[J]．Acadèmie des Sciences，2006，346(1)：589-592．

[6] Baraniuk R G．A lecture on compressive sensing[J]．IEEE Trans on Signal Processing Magazine，2007，24(4)：118-121．

[7] Baraniuk R，Davenport M，Devore R，et a1．A simple proof of the restricted isometry property for random matrices[J]．Constructive Approximation，2008，28(3)：253-263．

[8] Natarajan B K．Sparse approximate solutions to linear system-s[J]．SIAM Journal on Computing，1995，24(2)：227-234．

[9] 李 佳，張立峰，田 沛．基于Kalman濾波的ECT圖像重建算法[J]．傳感器與微系統，2015，34(8)：128-130．

[10] Dickin F J，Wang M.Electrical resistance tomography for process applications[J].Meas Sci Technol，1996，7(3)：247-260．

[11] Chen S S，Donoho D L，Saunders M A．Atomic decomposition by basis pursuit[J]．SIAM Review，2001，43(1)：129-159．

[12] 王丕濤，王化祥，孫犇淵．基于l1范數的電容層析成像圖像重建算法[J]．中國電機工程學報，2015，35(18)：4709-4714．

[13] Figueiredo M A T，Nowak R D，Wright S J．Gradient projection for sparse reconstruction：Applicationto compressed sensing and other inverse problem[J]．IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing，2007，1(4)：586-597．

Image reconstruction algorithm for electrical capacitance tomography based on CS-GPSR*

TIAN Pei1,2, LIU Zhao-lin2, ZHANG Li-feng2

(1.Hebei Engineering Research Center of Simulation & Optimized Control for Power Generation，Baoding 071003，China; 2.Department of Automation,North China Electric Power University,Baoding 071003,China)

Gradient projection for spare reconstruction(GPSR)algorithm based on compressed sensing(CS) theory is applied to electrical capacitance tomography(ECT)image reconstruction. Use orthogonal basis of discrete Fourier transformation(DFT),the gray signals of original images can be transformed into sparse signals.Measurement matrix of ECT system is designed by rearranging the rows of the sensitivity matrix of ECT in a random order and the measurement projection vector is designed by rearranging the rows of the capacitance value vector in the same order.The GPSR algorithm is used for image reconstruction.The simulation results show that the quality of the reconstructed images are better than the corresponding images obtained by the LBP algorithm and the Landweber algorithm.The proposed algorithm can achieve higher precision of ECT image reconstruction and provide a new method for the research of ECT image reconstruction.

electrical capacitance tomography(ECT)； image reconstruction； compressed sensing gradient projection for spare reconstruction(CS-GPSR)

10.13873/J.1000—9787(2017)03—0136—04

2016—04—07

國家自然科學基金資助項目(51306058)；中央高校基本科研業務費專項項目(2014MS142)

TP 391

A

1000—9787(2017)03—0136—04

田 沛(1957-)，男，教授，主要從事現代傳感技術，多源信息融合和軟測量，數字圖象處理及機器視覺研究工作。

劉昭麟， 通訊作者，E-mail:liu_zhaolin1991@163.com。