3-RRR并聯機器人運動學建模與仿真

張乾坤 高 洪

（安徽工程大學，安徽 蕪湖 241000）

并聯機器人是機械與計算機控制技術的產物[1]，Hunt教授在1978年首次提出把六自由度并聯機構作為機器人操作器[2]，從而在世界范圍內掀起了對并聯機器人研究的熱潮。并聯機器人的國內研究始于1991年，1991年燕山大學黃真教授[3]研制出我國第一臺6自由度并聯機器人樣機，并且在1997年出版了我國第一部關于并聯機器人理論與技術的專著。進入21世紀，隨著科研工作者對并聯機器人認知的不斷加深，少自由度并聯機器人由于其獨特的結構逐漸受到人們的青睞。少自由度并聯機器人不僅具有并聯機器人無累積誤差，精度較高特點還能有效改善并聯機器人相對于串聯機器人工作空間小的缺點，因此，針對不同機型，對相關問題的研究仍有必要[4-7]。3-RRR并聯機器人是一種典型的平面少自由度并聯機器人，在精密加工、電子制造裝備等領域具有良好的應用前景[8]，以3-RRR并聯機器人為基礎，還可以構建具有打磨、拾放功能的新型機器人[9]。為此，本文針對3-RRR并聯機器人，建立其逆解模型，通過MATLAB編程進行運動學仿真，以探求動平臺位姿的變化與主動桿角位移、角速度以及角加速度變化之間的關系。

1 運動學分析

1.1 機構描述

如圖1所示，3-RRR并聯機器人是由動平臺C1C2C3，機架三角形A1A2A3，主動桿A1B1、A2B2、和A3B3，從動桿B1C1、B2C2和B3C3組成。其中動平臺和機架三角形均為正三角形，主動桿桿長AiBi=l1（i=1，2，3，下同。）從動桿桿長BiCi=l2，O為機架三角形A1A2A3的外接圓中心，其半徑為OAi=R。P為動平臺C1C2C3外接圓中心，其半徑PCi=r。O-XY為固定坐標系，X軸平行于A1A3。αi為主動桿AiBi與固定坐標系X軸正方向的夾角（逆時針為正），βi為從動桿BiCi與固定坐標系X軸正方向的夾角（逆時針為正），θ為C1C3與固定坐標系X軸正方向的夾角（逆時針為正），動平臺與機架三角形之間用串聯支鏈鏈接，其中每個串聯支鏈均包含一個主動桿和一個從動桿。主動桿與機架、主動桿與從動桿、從動桿與動平臺之間皆用轉動副連接。

圖1 3-RRR并聯機器人示意圖

1.2 運動學逆解

3-RRR并聯機器人動平臺C1C2C3在平面XY內運動，其系統結構參數具有對稱性，根據閉環幾何約束條件我們可以得到：

（1）式分別向X軸Y軸投影，可以得到兩個約束方程：

其中：

令 X＝tan（αi/2），將式（3）化簡得：

其中：

對一元二次方程（5）進行求解，得：

對于3-RRR并聯機器人的其中一條支鏈，當Bi2－4AiCi>0時，αi有兩個解，對應其分子的“±”，每個主動桿轉角按式（7）計算得到工程中兩種不同的裝配模式，3-RRR并聯機器人共有三條支鏈，按照排列組合規律，共有8種裝配模式，依次記為+++模式、++-模式、+--模式、+-+模式、---模式、-+-模式、-++模式、-+-模式。

求式（3）關于時間t的一階導數，得主動桿的角速度：

圖2 3-RRR并聯機器人8種裝配模式圖

寫成矩陣形式為:

其中：

再求式（8）關于時間t的一階導數，得主動桿的角加速度：

其中：

2 運動仿真

使用MATLAB對3-RRR并聯機器人逆運動學進行仿真，觀察主動桿的運動軌跡。3-RRR并聯機器人共有8種裝配模式，如圖2所示。

根據機構學原理，一旦該機構裝配完成，只能以一種裝配模式工作，為此，不失一般性，選擇第一種（+++)模式進行仿真分析，其余裝配模式同理分析即可，不贅述。假設 。動平臺的運動軌跡為：

其中，長度單位為mm；即動平臺在XY平面內以點（0，-30）為圓心，以30 mm為半徑做圓周運動，在仿真時間t=2πs內，動平臺轉角θ范圍為[0，π/9]。

仿真結果如圖3、圖4、圖5所示：

圖3 主動桿角位移圖

圖4 主動桿角速度圖

圖5 主動桿角加速度圖

在（+++）裝配模式下，當動平臺外接圓中心做圓周運動，且其姿態角θ[0，π/9]時，三個主動桿角位移具有二級連續性，正因為其角加速度連續，所以該機構具有良好的動力學特性。

3 結論

基于3-RRR并聯機器人逆解，可得到主動件運動規律，通過MATLAB編程和仿真，可得到不同裝配模式下，主動桿角位移、角速度和角加速度的變化規律，從而判斷其動力學特性優劣。

[1]高洪，趙韓.并聯機器人機構學理論研究綜述[J].安徽工程大學學報，2006，（1）：73-79.

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[3]黃真，孔令富，方躍法.并聯機器人機構學理論及控制[M].北京;機械工業出版社，1997.

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[9]高洪，張偉，肖平，等.具有大工作空間的四自由度混聯機器人：201510671336.5[P].2017-05-31.