去糟求精 優化教學

吉遠忠

作為知識的數學出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數學精神、數學思想和研究方法等。才能隨時隨地發揮作用。使人終身受益。

——米山國藏[日]

緣起

鄰居家的小剛是個數學迷，家里藏有很多數學方面的趣題集。作為一名數學老師，自己想當然地就成了他的摯友。一次偶然的機會，我看到小剛為“如何找出次品”焦頭爛額、欲罷不能。教育直覺告訴我這是個好問題，以“找次品”為主題開展綜合實踐活動不失為一個好的創意。

由于我們使用的蘇教版教材沒有安排該知識點，類似問題也沒有提及，上網搜索，發現人教版和青島版教材中都有出現。其中人教版在五年級下冊《數學廣角》中安排了4個頁面，青島版在《數學與生活》中安排了2個頁面。由此可見，四十分鐘的活動時間很難覆蓋所有找次品問題的類型，知識難度的挖掘上也不能過深。重新選擇素材嗎？幾經心里盤問，還是很難割舍。徘徊之后，最終打定主意仍用“找次品”的資源，知識難度不往深處去，推理比較的方法倒是可以傳授，運籌規劃的思想也可以感悟。以“最優化”的思想主線串聯“找次品”“學習經歷”“生活經歷”等，弱化數學知識的難度。強化學習活動的經驗。指導思想明確后，我制定了兩個教學目標：1.通過操作、推理、討論等活動，體會解決問題的多樣性及運用優化方法的高效性。2.感悟假設、分類的數學思想，體會數學在生活中的廣泛應用，提高學習興趣。

第一次試教

[教學設計]

一、問題引入，比較方法

1.引入問題：怎樣在3包糖果中找出質量不足的那一包？學生口答。

2.看圖理解天平稱重的過程。思考：至少稱幾次能保證找出質量不足的那一包？

評析：圖的呈現能幫助學生形象地理解，為后續在多個物體中尋找鋪墊思維。

二、問題深入，感悟優化

1.思考：5個物品中怎樣找出次品？小組操作，畫圖記錄操作過程。

2.小組匯報，比較不同的解決方案。板書課題，介紹“最優化”。

3.畫圖表示在8包糖果中找出唯一次品的方法。

4.拓展介紹“你知道嗎”。

三、問題拓展，運用優化

1.觀看視頻《田忌賽馬》。

2.思考：按照其他的順序比賽，結果會怎樣？感嘆孫臏卓越的運籌天賦。

3.回憶自己學習生活中運用最優化方法的經歷，

4.贈言：運籌帷幄之中，決勝千里之外！

[教學思考]

1.教學思想明確嗎

小學數學教學中可以滲透與運用的思想方法有很多，如推理、符號化、化歸、分類、方程、集合、畫圖、優化、函數等。而一節課的教學時間有限，想讓它承載過多的思想，不免有炒雜燴之嫌。倘若剪不斷，則理必亂！借用天平稱重找次品時，學生已經在觀察“3找1”的圖式中理解了推想的過程，很多同學也能直接口述“5找1”的方法，如果再在這里強調畫圖就成了畫蛇添足。解決尋找次品的問題其實重在培養學生解決方法調試的意識，當確立一種方法后要進行邏輯推理。因此不能僅僅滿足于結果的獲得，還要敢于大膽嘗試其他方案，在不同的方案之間進行比較，從而獲得最優化、最便捷的稱重方案。這里要突出的是推理和優化，而優化在這節課更具有代表性。因此，可以刪去畫圖記錄的教學要求，讓學生自由地進行動手操作、口頭交流，如若要畫圖也是學生自發進行。

2.活動形式合適嗎

全班共有43名學生，由于天平數量的限制，只好分為6組，每組約7人。課前準備糖代價較大，所以用玻璃彈珠代替糖裝在喜糖包里。數學課上要使用天平。對學生而言是件新鮮事，加上7人小組是課前臨時組建的，剛開始上課就看出他們掩飾不住的興奮。實際操作時，天平托盤較小，4包糖放在上面很不穩妥，有好幾個小組的糖包滑落下來，彈珠滿地跑，教室內不時有嬉鬧聲。一個字——“亂”，天平的操作成了幾個調皮鬼玩耍的好機會。痛定思痛，天平的操作必須嗎？小組的人數合適嗎？比較數學課程標準中對兩個學段“綜合與實踐”的要求發現：第一學段重視學生的實際動手操作，而第二學段需要鼓勵學生“發現問題、分析問題和方案制定”。后者更注重實踐活動的研究味，重歸納、重推理、重數學模型的思考。誠然，實踐活動課中需要操作，但學生已能在頭腦中進行“5找1”的推理思維，就可以不需要小組的稱重。但又不能全部取消，畢竟班級中還有不少學生想象不出也想象不了推理的過程，如果沒有親眼所見的稱重，他們可能就成了課堂的看客?？傊?，動手操作是思維的拐棍，探究過程中必須用，但還要注意不能讓拐棍羈絆了前進的步伐。

第二次試教

[教學改進]

一、問題創建。引入“最優化”

1.引入問題：怎樣在3包糖果中找出質量不足的那一包？學生口答，感受天平稱重的快捷。

2.圖式理解并回答：至少幾次保證找出質量不足的那一包？

評析：數量較少時能輕松地進行推理思考，但數量增多、問題復雜時，沒有圖式的支撐很難完成多步驟的推想。這里的抽象圖式既是對“3找1”合情推理的延時理解，也為后續自主探究“8找1”“12找1”做好鋪墊。

二、問題深入，感悟“最優化”

1.問題：怎樣在8包糖果中找出質量不足的那一包？獨立思考后4人小組內驗證操作。

2.匯報不同稱法，尋求最優化的方案。

3.頭腦風暴：如何3次從12包中找出質量不足的那一包？口頭匯報。

4.揭示課題，板書認識“最優化”。

三、問題延伸，運用“最優化”

1.回顧學習中曾使用最優化方法的經歷。（簡便運算、租船方案）

2.列舉生活中運用最優化方法的事例。（理發順序、路徑選擇）

3.重溫《田忌賽馬》，探尋不同的比賽順序，交流感受。

4.贈言：運籌帷幄之中，決勝千里之外！

[教學感想]

1.精心選取素材，有效促進思想的感悟

課程資源由可能狀態進入實際應用領域有一個判斷、鑒別、開發、建設、管理、應用和共享的過程，資源本身并無優劣之分，只是利用課程資源有是否合適之別。比較兩個版本的教材在“找次品”數量上的不同，發現人教版安排的是先從“5找1”中引出天平，再在“9找1”中比較發現“3份法”最快捷：而青島版的安排是直接在“8找1”的實驗中發現“3份法”最省事，再通過“9找1”對“3份法”進行運用驗證，兩者不約而同地總結了“3份法”。誠然，他們的教學重點是“找次品”的問題模型，很有必要對這個問題進行深入的研究和拓展，而自己的重點不是掌握“3份法”，只是想讓學生在不同的方案中感知“3份法”的最優化。優化的前提是多樣化，課堂上學生提出了很多種“8找1”的解決方案：

課堂上能涌現出如此多不同的方法，說明學生具有敢于挑戰、主動思維和積極交流的學習品質。每呈現一種方案，學生就需要對它進行合理的推想，這其實就是對“找次品”核心數學思想——推理的反復運用，而多樣化的結果又為優化比較提供了條件，這里把“8找1”素材的作用發揮得淋漓盡致，為后面頭腦風暴思考“12找1”奠定了認知基礎，也使學生對“3份法”的最優化價值有了深刻體驗。

2.耐心檢索資源，有效整合學科間的聯系

數學不是孤立的，它是一門綜合性、實用性很強的基礎學科。數學的精神、數學的思維和存在方式都包含著豐富的文化意味，我們不可能關起學科的門來只談數學。《義務教育數學課程標準》（2011年版）中也明確指出：“初步學會運用數學的思維方式去觀察、分析現實社會，去解決日常生活中和其他學科學習中的問題，增強應用數學的意識，體會數學與自然及人類社會的密切聯系?！闭n中播放《田忌賽馬》的視頻，學生一方面感嘆孫臏的聰慧，另一方面也從數學的視角去探索“還可以有其他贏的順序嗎”，這就是數學與生活的緊密聯系。同樣是《田忌賽馬》，語文中的人物分析是那樣的文采飛揚，數學課上的方案推想同樣精彩紛呈。

信息技術的快速發展為教學整合創造了便利條件，我們沒有理由做井里的青蛙。課中適時介紹“百度”，搜索“最優化”的相關詞條，從而更清晰地明確思想的運用價值，也讓學生感受學習方式的多元化。這是信息技術發展對教學提出的要求，也是培養學生終身學習能力的需要。

3.用心創設問題，有效幫助品質的養成

找次品的問題或許學生還有些陌生，但優化的數學思想其實早就運用。以最常見的簡便運算為引子，學生一下子打開了記憶的閥門，回想出很多一題多解的經歷，“怎樣租船最省錢”“怎樣安排理發的順序使得等候的時間最短”“走哪條路最近”等，當然也包括了許多教科書中的開放題。這些學生自己親身經歷的學習問題鮮活地在頭腦中再現，幫助學生感悟了優化的思想價值。

說到底我們給學生的不能僅是知識，還有解決問題的方法，更重要的是培養一種執著追求、勇于創新的理性精神。“沒有最好，只有更好”不僅是語文課上的口號，也是數學課上要踐行的態度。列舉學習生活中運用“最優化”的事例，不僅讓學生知道優化的思想無處不在，還要知曉“怎么解決問題”的后面接著思考“有沒有更好的解決方法”，這是對自己的挑戰，也是對自己的超越。我想這對學生的影響應該是深遠而有意義的。