有痕設計 無痕育人

【編者按】2016年11月，江蘇省第28屆“教海探航”征文頒獎儀式暨全國名師課堂教學觀摩研討活動在江蘇省南通市通州區舉行。此次活動中，省內外多位名師的展示課和講座受到與會教師的好評。為進一步發揮名師的引領作用，我們約請了本次活動中授課教師撰寫了相關文章，在“特別策劃”欄目中分四期連載刊發，本期呈現的是數學學科的內容。

【摘 要】數學學科育人的核心價值主要體現于數學的理性精神以及蘊含其中的數學思想方法。從某種意義上說，數學學科育人的過程鑲嵌于“發現問題、提出問題、分析問題、解決問題”的過程之中。對學生而言，在學習數學時養成的基于理性思考、嚴謹求證的問題解決習慣將會讓他們受益終生。本文主要以運用圓的基本性質探究畫垂線的新方法為例，介紹了開展數學學科育人的部分做法。

【關鍵詞】圓的基本性質；數學問題解決；數學學科育人

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2017）11-0025-04

【作者簡介】孫琪斌，上海市嘉定區教研室（上海嘉定，201808）教研員，高級教師，山東省特級教師，上海市特級教師。

“問題是數學的心臟”[1]，也是數學學科育人的基本載體。基于這樣的思考，我們認為：（1）數學學科育人必須立足數學教材、立足數學問題、立足數學課堂、立足典型課例、立足對話交流；（2）數學學科育人的核心價值主要體現于數學的理性精神、數學的思想方法以及從數學的角度解決問題的思維方式；（3）數學學科育人的過程鑲嵌于“發現問題、提出問題、分析問題、解決問題”的過程之中。

下面以運用圓的基本性質探究“經過一點畫已知直線的垂線”的方法為例，談談我們在開展數學學科育人方面的部分思考。

一、歸納提煉，提高抽象能力

本節課我們探討的是利用圓的性質“經過一點畫已知直線的垂線”。因此，首先要解決的就是對“圓的性質”的知識的回顧。在課前的學情調研中，我們發現學生能夠比較容易地說出平行線的性質、全等三角形的性質、平行四邊形的性質、相似三角形的性質；也能夠輕松地說出垂徑定理等教學內容，但是當我們問到“圓有哪些性質？”的時候，許多學生都是一臉茫然。為此，我們設計了一個課堂活動：用一句話歸納概述圓的性質。先由學生自主思考，然后小組合作向全班展示。

教師在學生活動的基礎上做出分析和歸納。1872年，德國數學家克萊因（Klein）在“愛爾蘭根計劃書”中提出：每一種幾何學都聯系一種變換群，每種幾何學所研究的內容就是在這些變換群下的不變性質。從這個意義上說，圓的有關性質，其實就是關于圓的對稱性的性質。事實上，垂徑定理刻畫的是圓的軸對稱性；同圓或等圓中的四組量（兩條弧、兩個圓心角、兩條弦、兩條弦的弦心距）之間的關系，所刻畫的是圓的旋轉不變性。由此，我們可以將圓的基本性質抽象、提煉為一句話：圓的基本性質，就是與圓的軸對稱、旋轉對稱（含中心對稱）有關的性質。具體內容如圖1所示。

（設計說明：從回顧整理圓的有關性質，到用一句話、一張圖進行歸納概述，數學的抽象已經蘊含其中。事實上，抽象概括能力、邏輯推理能力、基于數據的分析挖掘的實證能力，在人的一生的各個發展階段，都發揮著重要的作用。本課，我們結合圓的基本性質的梳理回顧、提煉歸納，旨在運用數學抽象的基本思想歷練學生的抽象概括以及交流表達能力。）

二、發現探究，提高解決問題的能力

1.溫故知新，在回顧線段垂直平分線的畫法的過程中發現問題、提出問題。

教師可以提出如下問題串：

（1）學了圓的這些性質，有用嗎？（調研過程中，我們發現學生普遍認為學習圓的這些性質沒有用。）

（2）如圖2，還記得畫線段AB的垂直平分線的方法嗎？（尺規作圖）

在畫圖過程中有這么一句話：“分別以點A、B為圓心，大于AB長為半徑畫弧”，其中的半徑為什么要“大于AB”？你能運用圓的有關知識解釋這個現象嗎？你能說出作圖方法背后的原理嗎？（操作幾何畫板，呈現兩圓相交、外切、相離的情景）

（3）在畫線段AB的垂直平分線的過程中，我們以點A、點B為圓心，以大于AB長為半徑畫弧。假如我們以線段AB的長為半徑畫圓（如圖3），會出現什么圖形呢？你可以運用圓的有關性質解釋作圖方法背后的原理嗎？

（4）在畫線段AB的垂直平分線時，我們以點A、點B為圓心畫弧所使用的半徑是相等的。如果使用的半徑不相等，那么直線MN與AB之間又有怎樣的關系呢？（如圖4）你能證明你發現的結論嗎？

（5）如圖5，已知直線l與直線l外的一點A，依據圓的基本性質，過點A作直線l的垂線，你們還可以設計出新的畫圖方法嗎？（以小組為單位設計）

（設計說明：在上述問題串中，問題（5）才是我們最終想要探討的問題，但前面的問題就像是一個個臺階，幫助學生從熟悉的舊知識中發現問題，并指向用圓的性質來做出解釋。這種溫故而知新的設計極大地調動了學生的積極性。）

2.且學且用，運用圓的性質探究畫垂線的新方法。

結合上面的問題（5）開展教學活動，學生以小組為單位進行展示匯報。具體方法如下。

方法1：如圖6，在直線l上任取一點B，連接AB。以AB為直徑作☉O，交直線l于點H。則直線AH即為所求。（依據：直徑所對的圓周角是直角。）

方法2：如圖7，①在直線上任取一點B，以點B為圓心，BA為半徑畫☉B，交直線于點C；②以點C為圓心，CA為半徑畫☉C，將☉B與☉C的另外一個交點記為D，則直線AD即為所求。（依據：平分弧的直徑垂直平分弦。）

方法3：如圖8，在直線l上任取兩點B、C（B、C兩點不重合），以點A為圓心，以AB半徑畫圓交直線l于點D；以點A為圓心，以AC半徑畫圓交直線l于點E。AE、AC分別交以AB半徑的圓A于F、G，連接EF、CG，EF與CG相交于點P，直線AP即為所求。（依據：可證點A、P均在線段EC的垂直平分線上。）

方法4：如圖9，任取一點B，使點B與點A位于直線l的兩側，以A為圓心、AB為半徑畫圓，交直線l于點C、D；作圓心角∠CAD的平分線AE，則直線AE即為所求。（依據：可證△ACH≌△ADH。）

方法5：如圖10，以點A為圓心畫圓，☉A與直線交于點C、D，取CD的中點E（本質是作線段CD的垂直平分線），則直線AE即為所求。[依據：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦，且平分這條弦所對的弧。]

南通市通州區育才中學九年級七班的學生先后發現了上面的幾種方法。除了教材中的畫法外，在筆者多次的教學中，還有其他班的學生發現了如下畫法。

方法6：如圖11，在直線l上任取一點B，以B為圓心，BA為半徑畫圓B，交直線l與C、D，利用直徑所對的圓周角是直角，易得∠CAD=90°；以A為頂點，以AD為一邊作∠DAE=∠DCA，交線段CD于H，則直線AE即為所求。

方法7：2013年11月，在杭州市建蘭中學的課堂上，九年級學生何佳祺在下課前給出的畫法見圖12。（其中，借助了幾何畫板的直觀演示與師生互動，該課教學視頻已經被浙江出版聯合集團、浙江電子音像出版社出版。）

取異于點A的點B，以AB為直徑作圓c1，交直線l于點D，AB與l的交點記為E。以A為圓心，DB為半徑作圓c2，交射線AD于點F。以A為圓心，DE為半徑作圓c3。以F為圓心，EB為半徑作圓c4，圓c4交圓c3于點G，則直線AG即為所求。

三、在有痕設計中無痕育人

2016年11月，在南通市通州區育才中學九年級七班上課時的教學小結環節，我再次帶著學生回到教學目標，回到圓的基本性質，再次詢問學生：同學們再來想一想，學習圓的這些性質，有用嗎？

許多學生不約而同地回答：有用。

事實上，學生走上社會之后將會遇到許許多多的問題。這些在學校學習數學時養成的基于理性思考、嚴謹求證的問題解決習慣將會伴隨他們一生。本節課，我們并沒有帶領學生做大量的習題，而是引導學生回顧圓的基本性質，回顧熟悉的基本作圖（基本作圖的背后都用到了圓的性質），在回顧線段垂直平分線、角平分線的畫圖過程中發現問題、提出問題、分析問題、解決問題。在解決問題的過程中，學生身處其中所經歷的困惑、領悟，則是數學學科育人的關鍵。

當學生帶著激動的心情匯報展示其剛剛發現的研究成果時，當他們在教師以及學習同伴的眼里看到自己的成就時，那么對數學的興趣將在頃刻之間油然而生。喜歡數學課、愛做數學題、對數學感興趣、在應用數學的過程中理解數學、享受數學。我們的數學教學若能夠如此，那么學科育人已在其中。

關于數學學科育人，需要注意兩個問題：其一，學科育人不能形式化，貼標簽式的學科育人，效果甚微；其二，學科育人不能泛化，不能一提到學科育人，就是教學設計的每個細節，課堂上的分分秒秒都是學科育人。數學學科育人，最關鍵的就是育人無痕，潤物無聲。

我們來做一個選擇題，以判斷自己是否已經具備了無痕育人的潛質：閱讀下面的三個語句，并從中選擇一個語句用在教案上。

（A）語句1；（B）語句2；（C）語句3；（D）玩文字游戲，沒有多少意思。

語句1：梳理圓的有關性質，在溫故知新的過程中滲透問題意識；在用一句話、一張圖概述圓的有關性質的過程中，滲透數學抽象；在經過一點畫已知直線的垂線的過程中滲透轉化與化歸等思想方法。

語句2：梳理圓的有關性質，在溫故知新的過程中體會問題解決；在用一句話、一張圖概述圓的有關性質的過程中，體會數學抽象；在經過一點畫已知直線的垂線的過程中體會轉化與化歸等思想方法。

語句3：從發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的視角梳理圓的有關性質，溫故知新；運用數學抽象的思想方法嘗試使用一句話、一張圖概述圓的有關性質。運用轉化與化歸的思想方法研究過一點畫已知直線的垂線的方法。

假如您選擇了A或D，那么對于您而言，離數學學科的無痕育人可能還有距離。

為什么這樣說呢？我們且從其中的行為動詞“滲透”談起。《現代漢語詞典》中對“滲透”一詞的解釋是：比喻一種事物或勢力逐漸進入到其他方面（多用于抽象事物）。但是，數學思想方法是數學本身固有的，而且是數學課程的核心。對于數學學科本身固有的思想方法，我們還需要“滲透”嗎？數學思想方法已經如同血液浸潤于數學的任何地方。事實上，描述數學思想方法的行為動詞有很多，如“體會”“感受”“領悟”“經歷”“體驗”等等。

若僅僅只是使用類似“滲透”這個行為動詞表述與數學思想方法相關的目標，問題也不是很大，但是當我們習慣于運用“貼標簽”的方式進行數學思想方法教學，習慣于開展“口號式”的數學學科育人，那么真正的問題就出現了。

其實，我們期望的選項是C。為什么這樣說呢？當數學思想方法真正融入數學教師的靈魂深處的時候，當數學思想方法能夠自然而然地呈現于數學教師的言談舉止之中的時候，當我們能夠自覺、主動地從數學抽象的視角設計“用一句話、一張圖概述圓的有關性質”教學活動的時候，當我們自覺運用轉化與化歸的思想方法將經過一點畫已知直線的垂線與畫線段的垂直平分線以及畫角的平分線等內容聯系在一起的時候，當我們能夠主動運用發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的理念設計“圓的復習”教學活動的時候，我們的數學教學可能就走進了知行合一的境界，我們的學科育人可能就走進了無痕育人、潤物無聲的境界。有些數學教師之所以喜歡在教學小結的時候，用“貼標簽”的方式告訴學生“這節課我們還使用了類比的思想方法”，主要還是因為其潛意識內的數學思想方法游離于數學教學內容之外的緣故。

讀到這里，有些教師也許會說，無痕育人，真的無痕嗎？我們在備課時所設計的教學活動，如本課從畫線段的垂直平分線引出經過一點畫已知直線的垂線的活動，這屬于有痕設計還是無痕設計呢？學生又怎么可能想到從畫線段的垂直平分線的過程中發現問題、提出問題呢？

我認為，開展數學學科育人，我們的教學設計的確是有痕的；我們選擇資源、使用資源的角度與方法，也是有痕的；我們在課堂上進行的教學活動也是有痕的；但是我們期望的教學效果是無痕的。我們期望的境界是學生在經歷用一句話、一張圖概述圓的有關性質的教學活動的過程中，數學的抽象可以浸潤到他們的靈魂深處；我們期望能夠引導學生在參與“分別以點A、B為圓心，大于AB長為半徑畫弧”的數學活動的過程中，能夠從兩圓相交、外切、相離等位置關系的角度體會“大于AB”這個規定的道理。我們期望能夠借助從畫線段垂直平分線的過程中兩次畫弧所使用的半徑相同的問題引出“假如兩次畫弧所使用的半徑不相等呢？所畫出的直線還是線段的垂直平分線嗎？”等問題，自然而然地引導學生經歷發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程。當他們走入社會后，在生活中、在學術上遇到了問題，我們期望，我們這些數學課堂上的數學問題解決的經歷，以及內化于心的數學問題解決意識，能夠幫助他們解決生活上的問題、學術上的問題。

有痕設計、無痕育人，我們所期待的數學學科育人，大致如此。

注：本節課的原始素材（利用圓的性質畫已知直線的垂線的問題）最初由安徽省馬鞍山市成功學校數學組的高道才、范宏業老師提供（2013.09）。本節課先后在杭州市建蘭中學（2013.11）、上海市民辦華二初級中學（2013.12）、南通市通州育才中學（2016.11）、北京市第十八中學（2016.12）等學校與九年級的學生進行過交流。對于上述學校的師生，一并致謝。

【參考文獻】

[1]HALMOS P. R.，彌靜.數學的心臟[J].數學通報，1982（02）.

[2]教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）.[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[3]米山國藏.數學的精神、思想和方法[M].毛正中，吳素華，譯.成都：四川教育出版社，1986.

[4]懷特海.教育的目的[M].徐汝舟，譯.北京：生活·讀書·新知三聯書店，2002.