向量在高中數學解題中的應用分析

◆劉 戀

向量在高中數學解題中的應用分析

◆劉 戀

向量是高中階段應用性較強的知識內容，被廣泛運用于解決數學問題，是重要的解題手段，同時還能實現數學知識的有機串聯，有助于數學知識的整體性構建。所以，高中學生加強對向量知識的運用學習是十分重要的。本文簡要的對向量知識在實際問題解決中的應用進行分析，以期為提高高中學生的解題能。

向量；高中數學解題；應用分析

一、向量知識在線性規劃問題中的應用

向量知識在線性規劃問題中的應用主要是就相關向量的數量積進行分析，并把z=ax+by的目標函數用作表示平面內的向量AM=（a，b）與向量AB=（x，y）的數量積。若|AM|為固定值，則z的值為向量AN在向量AM方向的投影的常數倍，而這種情況下該投影的最值點就是最優點。

例如，在就問題“若存在z=x+4y中未知變量x、y滿足以下條件，即：①x-8y＜0，②x+2y＜3，③x>1，試求出未知數z的最大值以及最小值。”進行解決時。

學生應當首先假設存在點N（x，y）是任意一點，且點M可表示為（2，4），所以z=A·AN ，根據向量數量積的幾何意義能計算得出：若N（x，y）在點（2，4）處時，則z=x+4y最大值等于18；而N（x，y）在點P（2，18）時，z=x+4y的最小值等于52。

二、向量知識在幾何問題解決中的應用

存在大小與方向特征的量為向量，而向量的大小則就是該向量的模。相等向量、零向量以及共線向量都是重要的向量知識點，當存在向量（a，b）（b≠0）時，則a∥b的充要條件為，有實數λ，且a=λ b。

在進行以下例題解決時，就可運用該知識點進行解決：當△AOM的頂點為A（0，-2），O（2，0），M（-3，1），而點B、C、D則是AO、AM、OM線段的中點，探討直線BC、BD、CD的方程表達式。

首先，由于三角形頂點坐標分別為A（0，-2），O（2，0），M（-3，1），所以，各個中點B、C、D的坐標可表示為（1，-1）、（-32，-12）、（-12，12）。設存在點G（x，y）為直線BD上的點，由于DG∥DB，所以直線BD的方程可被求出。運用同樣的方式能就直線BC、CD方程進行計算。而利用共線向量、直線向量進行問題轉換，也能就BC、CD方程進行計算。

三、空間向量知識在立體幾何問題中的實際應用

立體幾何是高中數學課程中的重難點，空間圖形較為復雜抽象，對學生的空間想象力、邏輯思維力都有較高的要求，學生學習與實際問題解決都較為困難。把向量法運用到相關立體幾何問題解答中，能有效的實現復雜問題簡化，提高問題解決效率。而建立相應的直角坐標系，也能有效的將立體幾何問題轉化成更加方便計算的代數問題，簡化立體幾何問題，最終快速的解決問題。

有例題為：“有正方體ABCD-A1B1C1D1，且點E為棱DD1中點，試求是否在棱C1D1上有一點M，可以讓B1M與平面A1BE相互平行？并進行驗證。當運用向量法進行該問題解決時，可首先以點A作為原點進行空間坐標系建立，設棱長長度為2，則點B表示為（2，0，0），點E表示為（0，2，1），點B1表示為（2，0，2）；因此BE=（-2，2，1），BA1=（-2，0，2）。設平面BEA1的法向量表示為m=（x，y，z），則m·BE=-2x +2y + z =0，且m·BA1=2x+2z，若x=1，則z=-1，y=32，最終得出m=（1，32，-1）。

當棱C1D1上有點M，且B1M∥平面A1BE，假設該點M表示為（xa，2，2），（0≤xa≤2），則BM=（xa-2，2，2），所以可以求出m·BM=1×（xa -2）- 32×2-（-1）×2=0，所以計算得出xa=1，所以當M是C1D1的中點時，存在B1M∥平面A1BE。

結束語

向量是高中數學中的重要知識內容，在解決實際問題中也具有十分重要的作用，被廣泛運用至高中數學中的平面幾何、空間幾何、三角函數以及方程不等式等多個知識內容之中。所以，學生應明確該知識內容在學習與應用中的重要性，并在這基礎上充分應用向量知識解決實際問題，并進行總結與分析，切實提高自身的問題解決能力。

[1]董志茹.向量在解決高中數學問題中的應用研究[D].內蒙古師范大學,2013.

[2]朱音.例談向量方法在高中數學解題中的應用[J].長三角(教育),2012,07:56-57.

（作者單位：湖南師范大學附屬中學）