基于徑向基函數的AL2A12薄壁件銑削穩定性研究

閆正虎, 劉志兵， 王西彬， 劉 彪， 王東前

(北京理工大學 機械與車輛學院，北京 100081)

基于徑向基函數的AL2A12薄壁件銑削穩定性研究

閆正虎, 劉志兵， 王西彬， 劉 彪， 王東前

(北京理工大學 機械與車輛學院，北京 100081)

在薄壁件銑削過程中，顫振對工件表面質量有很大影響，在實際加工之前進行銑削穩定性預測，便于獲取無顫振的加工條件?；趶较蚧瘮当平碚?，提出一種銑削穩定性預測方法。通過試切法和錘擊法獲得了AL2A12薄壁件的切削力系數和模態參數，并基于所提出的方法推導了系統的狀態轉移矩陣，通過Floquet定理來判定系統的穩定性，從而獲得了AL2A12薄壁件銑削過程的穩定性圖。為了驗證所提方法的計算效率，采用相同的系統參數來進行計算。通過與零階半離散法和全離散法相比，表明在獲得的銑削穩定性圖一致的前提下，所提方法的計算效率最高。在預測的穩定性圖中選擇4個參數點，利用參數點所對應主軸轉速和軸向切深來加工AL2A12薄壁件，將實際加工結果與穩定性預測結果進行比較，驗證了所提預測方法的有效性。通過實際切削表明，在AL2A12薄壁件的加工過程中，當軸向切深相近時，較高的主軸轉速可以獲得更好的加工表面，同時也可以避免黏刀現象的產生。

薄壁件；銑削穩定性；徑向基函數；Floquet定理

隨著我國航空、航天技術的不斷發展，薄壁件的應用越來越多。高速切削技術是薄壁件加工的一種有效方式，并得到了廣泛應用。由于薄壁件的剛度相對較低，在銑削過程中容易引發顫振，嚴重影響工件的表面質量，降低機床和刀具的使用壽命，并有可能造成機床的破壞。在實際加工之前，對銑削過程中的顫振穩定性進行預測，選擇合適的加工參數，可以控制顫振的發生，提高加工效率，降低加工成本[1]。

對銑削過程中的顫振穩定性進行預測有著重要的意義，國內外許多學者針對銑削顫振穩定性的預測進行了研究。SCHMITZ等[2]通過對銑削過程中的聲音信號進行采樣，并對采樣到的信號進行統計學評估來識別加工過程中的顫振，但這種方法依賴于大量的試驗，同時也依賴于試驗環境。QUINTANA等[3]采用固定主軸轉速、改變軸向切深的方法來獲得穩定性葉瓣圖，當顫振發生時停止切削，以獲得對應該主軸轉速下的極限切深。毛漢穎等[4]通過改變切削速度及深度的多組切削試驗，獲得多組加速度信號并分析信號的混沌特征，通過混沌特征量來識別切削顫振。上述這些方法主要通過大量的試切實驗來獲取的銑削穩定性圖，在實際加工中具有一定的實用價值，但試驗加工條件、工況因素是多變的，存在較大的不確定性。由BUDAK等[5]提出的單頻域法得到了廣泛應用，該方法將動態切削力系數進行傅里葉展開，取直流分量進行分析，并獲得了穩定性Lobe圖，該方法對于多齒刀具和徑向切深較大的加工方式非常有效，但不適用于小徑向切深的情況。MERDOL等[6]在單頻法的基礎上提出了多頻率法，該方法同時適用于徑向切削深度較大和較小時情況的銑削穩定性預測，但卻加大了預測過程中計算量。BAYLY等[7]提出時域有限元分析方法，并用該方法來預測斷續銑削過程中任意時刻的穩定性，但該方法僅適用于單自由度的情況。INSPERGER等[8]提出了半離散方法，用包含周期系數矩陣的時滯微分動力學方程組來描述動態銑削加工過程，該方法被廣泛應用于分析銑削過程中的穩定性。WAN等[9]提出一種普適的銑削穩定性預測方法，并將其應用于變時滯的銑削過程穩定性分析中，該方法可用于變齒距銑刀或有刀具跳動的銑削過程的穩定性分析中。EKSIOGLU等[10]提出一種預測銑削穩定性的通用模型，該模型綜合考慮了刀具形狀、刀具跳動、沿著軸向切深的變化的動態剛度和過程阻尼。李中偉等[11]推導出基于Magnus-Gaussian截斷的零階半離散穩定分析法，比INSPERGER和STéPN所提出的零階半離散法準確有效，并通過實驗驗證了不同工況下的銑削穩定性曲線。近年來丁燁等[12]提出了一階全離散法，在求解過程中應用了一階線性插值來逼近狀態項，與半離散法相比，全離散法的收斂速度更快，計算效率更高，得到了更多應用。

基于上述提出的穩定性預測方法，許多學者對薄壁件銑削過程中的穩定性進行了研究。WANG等[13]對鈦合金薄壁件立銑過程中的顫振穩定性進行了研究。TANG等[14]對薄壁件的銑削穩定性進行了研究，建立了反映主軸轉速、軸向切深和徑向切深三者之間相互關系的三維穩定性預測模型。SONG等[15]提出了一種穩定性預測方法，并研究了銑削過程中，材料去除對薄壁件穩定性的影響。本文在直接積分法的基礎上，提出一種基于徑向基函數逼近的銑削穩定性預測方法，并利用該方法分析AL2A12薄壁件銑削過程中的穩定性，通過實驗驗證所提出方法的有效性，并研究AL2A12薄壁件在高速切削過程中的特性。

1 銑削動力學建模

在銑削過程中，薄壁件的剛度遠低于銑刀的剛度。假設刀具的剛度足夠大，其的動力學參數對銑削系統的影響較小，銑削系統的振動模態主要取決于薄壁件的動力學特性，因此在本文后續的穩定性分析中只考慮工件的動力學參數。在薄壁件的銑削過程中，可以將“刀具-工件”系統簡化為Y方向的單自由度系統，如圖1所示。該單自由度銑削系統的振動控制方程可以表示為

(1)

Knsin(φj(t))]

(2)

式中:N表示銑刀的刀齒數目，Kt和Kn分別為切向和法向切削力系數，φj(t)為第j刀齒的角位移，φj(t)=(2πΩ/60)t+(j-1)·(2π/N)。

窗函數g(φj(t))定義為：

(3)

式中:φst和φex為第j刀齒的切入和切出角；對于順銑，φst=arccos(2ae/D-1)，φex=π；對于逆銑，φst=0，φex=arccos(1-2ae/D)，ae/D為徑向切削深度與刀具直徑的比值。

圖1 刀具-工件系統的動力學模型Fig.1 The dynamic modal of tool-workpiece system

(4)

2 銑削穩定性分析

將方程(4)在時間小區間[ti,ti+1]上進行積分，得到

yi+1=eAΔtyi+

(5)

利用徑向基函數來逼近方程(4)中的狀態項y(s)、時滯項y(s-τ)和隨時間變化的周期系數項B(s)。

2.1 徑向基函數逼近狀態項、時滯項和周期系數項

徑向基函數逼近是多元逼近理論中的一個有利工具，它可以看作樣條函數在多維問題上的推廣。在利用徑向基函數逼近時，對于互不相同的數據點x1,x2,…,xN∈Rn，選取合適的徑向基函數，構造由徑向基函數Φ1,Φ2,…,ΦN組成的函數系，記為FΦ=span{Φ1,Φ2,…,ΦN}。利用所構造的徑向基函數系，在任意時間小區間[ti,ti+1]上逼近方程(5)中的狀態項y(s)，其可以表示為：

(6)

這里選用多元二次函數作為基函數，其可表示為：

(7)

式中:tk為選定的徑向基函數的中心，b為形狀參數，其與中心點間距有關，這里b取0.0001，r為中心點到任意點的距離。

若給定時間點ti，ti+1，代入式(7)可得：

(8a)

(8b)

(8c)

(8d)

若時間點ti和ti+1的已知函數值為y(ti)和y(ti+1)，分別記為yi和yi+1，由式(6)可得：

(9)

由式(8a)～(8d)和式(9)可得：

(10a)

(10b)

對于任意時間區間[ti,ti+1]，連續時間t的響應y(t)可以表示為：

y(t)=wiΦi(t)+wi+1Φi+1(t)=

(11)

令s=t-ti，則s-Δt=t-ti+1，式(5)中的狀態項可表示為：

(12)

同理，時滯項y(s-τ)和周期系數項B(s)可以表示為：

(13)

(14)

需要注意的是，在Insperger的方法[8]中狀態項保持不變，周期系數項通過分段常值函數來逼近，時滯項通過關于時間的線性方程來逼近；在Ding的方法[12]中，狀態項、時滯項和周期系數項均采用一階拉格朗日插值方法來逼近。本文在對狀態項、時滯項和周期系數項進行逼近的過程中，采用多二次函數作為徑向基，先構建徑向基函數系，再利用所構建的基函數系來逼近狀態項、時滯項和周期系數項。

本文后續的計算過程中，由于

[(s-Δt)2+b2] [s2+b2]-

(15)

式(15)左端兩項的差值為Δt的高階無窮小，故在分別對式(5)中的B(s)y(s)和B(s)y(s-τ)展開的過程中做如下近似：

2.2 構建Floquet轉移矩陣

將式(12)～(14)代入式(5)，可得

(17)

式中

F0=eAΔt

(18a)

F1=(F0-I)A-1

(18b)

F2=(F1-(Δt)I)A-1

(18c)

F3=(2F2-(Δt)2I)A-1

(18d)

(19)

H11=(α-β)2F3+2α(β-α)(Δt)F2+

(20a)

H12=(α-β)2F3-(α-β)2(Δt)F2+

(20b)

H13=(α-β)2F3+2(αβ-β2)(Δt)F2+

(20c)

方程(17)的映射關系可以通過如下矩陣表示：

式中

(22a)

(22b)

(22c)

銑削系統的Floquet轉移矩陣ψ可以表示為

ψ=MmMm-1…M1

(23)

式中

(24)

計算系統的狀態轉移矩陣Ψ的特征值，通過特征值模的大小來判定系統的穩定性，具體的判定準則如下：

(25)

2.3 計算時間的對比

為了驗證本文所提方法的計算效率，從計算時間方面將其與廣泛應用的零階半離散法[8]和全離散法[12]作了比較。這三種方法獲取的穩定性圖如圖2(a)～(c)所示。在利用上述三種方法獲取穩定性圖的過程中，均采用相同的系統參數，這些系統參數與文獻[8]中的參數相同，具體的參數為：2齒銑刀，自然頻率為fn=922 Hz,相對阻尼比為ζ=0.011，模態質量為my=0.039 93 kg,徑向浸入比ae/D=1,徑向切削力系數和法向切削力系數分別為Kt=6×108N/m2和Kn=2×108N/m2。在計算過程中，都將時滯項平均40份，即m=40。

由圖2(a)～(c)可知，利用相同的系統參數，在獲取的銑削穩定性圖一致的前提下，利用零階半離散法獲得銑削穩定性圖需要的時間最長，計算時間為322 s；利用全離散法獲得銑削穩定性圖所需的時間次之，計算時間為201 s；利用本文所提出的基于徑向基函數逼近的方法獲得銑削穩定性圖所需時間最短，計算時間為93 s。這表明本文所提方法具有更高的計算效率。

3 實驗與分析

在對薄壁件進行穩定性分析時，切削力系數和模態參數是穩定性分析過程中的重要參數。本文中，切削力系數通過槽銑AL2A12工件來獲得，銑削系統的模態參數通過錘擊實驗來獲取。切削力系數獲取實驗在3軸加工中心(KT-600)上進行，加工中心的最大主軸轉速為24 000 r/min，硬質合金平底立銑刀安裝在加工中心的主軸上，刀具的刀齒數為3，直徑為10 mm。三向測力儀9257B和電壓放大器5070用來測量x，y和z方向的動態力。通過PCI-9118DG數據采集卡和Labview軟件來采集銑削力數據。在銑削力系數的辨識實驗中，工件水平夾持在卡具上，卡具固定在測力儀平臺上。用來獲得切削力系數的實驗裝置,如圖3所示。

(a)零階半離散法的計算時間：322s(b)全離散法的計算時間：201s(c)基于徑向基函數逼近方法的計算時間：93s圖2 三種不同方法獲得的銑削穩定性圖的計算時間對比Fig．2Comparisonofcomputationtimeforobtainingstabilitylobediagramwiththreedifferentmethods

圖3 切削力系數獲取裝置圖Fig.3 Apparatus used for obtaining cutting force coefficients

基于文獻[16]中的平均切削力模型，獲得的銑削力系數為Kt=685.1 MPa，Kn=228.3 MPa。

在模態實驗過程中，力錘MSC-1、加速度傳感器YD67、電壓放大器DLF-3、數據采集卡AD8304和筆記本電腦用來獲取薄壁件的模態參數。獲取薄壁件模態參數的實驗裝置,如圖4所示。

圖4 錘擊實驗裝置圖Fig.4 Apparatus used for hammer test

本文中用到的薄壁件的尺寸為120 mm×60 mm×8 mm。在模態實驗過程中，刀具安裝在加工中心的主軸上，薄壁件通過卡具垂直裝卡在機床工作臺上，工件的夾持高度為2 mm,如圖5所示。在測試過程中，力錘MSC-1用來敲擊薄壁件上激勵點，以產生激勵信號。加速度傳感器YD67黏附在薄壁件上的信號采集點以獲取敲擊的響應信號。兩通道的電壓放大器DLF-3用來將響應信號放大。最后，激勵信號通過四通道的數據采集卡AD8304來進行采集，并通過DynaCut模態分析軟件對所采集到的激勵信號進行分析。模態參數辨識的實驗圖,如圖5所示。

圖5 模態參數辨識實驗圖Fig 5 Photograph of theexperiment for modal parameter identification

在獲取薄壁件的模態參數時，參考了湯愛君[17]的模態測試方法。實驗中，激勵點和信號采集點的布置如圖6所示。

圖6 激勵點和信號采集點的布置圖Fig.6 The layout diagram of exciting points and signal acquisition points

通過對圖6中所有激勵點進行敲擊，發現8號點能更好地將整個銑削系統激勵起來。所以最終選8號點為模態實驗的最佳激勵點。通過激勵8號點，分別采集所有15個信號采集點處的響應信號。為了保證每個信號采集點處信號的準確性，在獲取每個信號采集點處的響應信號時，均激勵8號點5次。

通過對15個信號采集點處采集到的信號進行綜合分析，最終得到的模態參數,如表1所示。

表1 刀具-工件系統的模態參數

利用本文所提出的基于徑向基函數的穩定性預測方法，并代入獲取的切削力系數與模態參數，得到穩定性葉瓣圖，如圖7所示。

圖7 AL2A12薄壁件的銑削系統的穩定性圖Fig.7 Milling stability lobe diagram of AL2A12 thin-walled workpiece

在圖7中，選擇4個不同的點，這些點的橫坐標對應主軸轉速，縱坐標對應軸向切深，所選的4個點的具體參數值如表2所示。由圖7可知，點1和點4位于穩定切削區域，點2和點3位于不穩定區域。

表2 選定點的加工參數值

在加工中心(KT-600)上對所選的4個點進行驗證實驗，在驗證過程中，刀具的懸伸長度為45 mm，徑向切深為1 mm，進每齒進給量為0.025 mm。與參數點對應的表面形貌如圖8所示。選定的4個點的具體表面粗糙度如表3所示。

表3 不同參數點的表面粗糙度值

由圖8可知，點1和點4所對應的加工表面光滑，加工過程中沒有發生顫振，表面質量相對較高；點2和點3所對應的加工表面有明顯的振紋，加工過程中發生了顫振，表面質量相對較差。

圖8 不同選定點的加工表面Fig.8 Machined surface of different selected points

通過對比圖8(a)和圖8(d)可知，在加工AL2A12的過程中，當軸向切深相近時，較高的主軸可以獲得相對較好的表面質量。圖8(b)中所示的加工表面除了有振紋出現外，還發生了黏刀現象。通過對比圖8(b)和圖8(c)圖可知，在加工AL2A12的過程中，較高的主軸轉速可以避免黏刀現象的發生。

4 結 論

本文提出一種基于徑向基函數的銑削穩定性預測方法，并且利用該方法預測AL2A12薄壁件加工過程中的穩定性。具體結論如下：

(1)在穩定性預測過程中，選擇多元二次函數作為徑向基函數，逼近銑削動力學方程中的狀態項、時滯項和周期系數項。構建了系統的狀態轉移矩陣，通過狀態轉移矩陣模的大小來判定銑削系統的穩定性，利用Matlab軟件繪制出了銑削穩定性圖。

(2)為了驗證本文所提方法的計算效率，采用相同的系統參數來進行計算。通過與零階半離散法和全離散法相比，表明在獲得一致銑削穩定性圖的前提下，本文所提方法的計算效率最高。

(3)為了驗證所提出方法的有效性，獲取了AL2A12的切削力系數和模態參數。在穩定性圖上選定4個點，并利用選定點所對應的加工參數來加工AL2A12薄壁件。通過對加工表面進行分析，表明本文所提出方法的預測結果與實際加工結果一致，驗證了所提方法的有效性。

(4)在AL2A12薄壁件的加工過程中，在軸向切深相近的情況下，較高的主軸可以獲得相對質量較高的加工表面，同時較高的主軸轉速能夠避免黏刀現象的產生。

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Milling stability prediction of AL2A12 thin-walled workpiece based on radial basis functions

YAN Zhenghu, LIU Zhibing, WANG Xibin, LIU Biao, WANG Dongqian

(School of Mechanical Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)

During a thin-walled workpiece’s milling, its surface quality is greatly affected by chatter. Chatter free condition can be obtained if the milling stability is predicted before practical machining. Here, a milling stability prediction method was proposed based on the radial basis function approaching theory. The cutting force coefficients and modal parameters of the AL2A12 thin-walled workpiece were acquired with cutting tests and hammer tests, respectively. The state transfer matrix of the milling system was deduced with the proposed method, and the stability lobe diagram was determined with Floquet theorem. In order to verify the computational efficiency of the proposed method, the same system parameters were used in different methods. Compared with the zeroth-order semi-discretization method and the full-discretization method, it was indicated that the proposed method has the highest computational efficiency under the premise that the stability lobe diagrams obtained with different methods are coincident. Then, the AL2A12 thin-walled workpiece was machined with the given spindle speeds and axial cut depths being corresponding to the four points selected from the predicted stability lobe diagram. The effectiveness of the proposed method was verified through comparing the machining results with the prediction ones. The practical machining showed that better machined surface can be obtained with higher spindle speed when the axial cut depths are close to each other, the milling tool sticky phenomenon can also be avoided with higher spindle speed.

thin walled workpiece; stability prediction; radial basis function; floquet theorem

國家自然科學基金面上項目(51375055; 51575050)

2015-08-07 修改稿收到日期：2016-01-15

閆正虎 男，博士，1986年生

劉志兵 男，博士，副教授，碩士生導師，1977年生

TH161.6；TH547

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.03.032