考慮關節摩擦的3-UPS/PU并聯機構模糊自適應滑模控制

張 達 原大寧 劉宏昭

西安理工大學機械與精密儀器工程學院,西安,710048

考慮關節摩擦的3-UPS/PU并聯機構模糊自適應滑?？刂?/p>

張 達 原大寧 劉宏昭

西安理工大學機械與精密儀器工程學院,西安,710048

為克服3-UPS/PU并聯機構關節摩擦力突變現象帶來的跟蹤畸變問題，設計了一種模糊自適應滑?？刂品椒āＪ紫仍跈C構動平臺工作空間內建立該機構的整體動力學模型。針對切換型滑模控制驅動力抖振以及自適應滑模控制(ASMC)對摩擦突變較敏感的不足，提出一種模糊自適應滑模控制(FASMC)方法，該方法以自適應理論為基礎，可以在線估計包括摩擦在內的系統模型不確定項，自適應增益通過模糊邏輯系統實現了動態調整，相比ASMC可以更準確地逼近摩擦的變化情況，從而更有效地抑制摩擦力突變影響，增強了系統魯棒性。由于無需依賴具體的摩擦模型以及簡單的控制結構，FASMC適用于并聯機構這類復雜不確定系統。仿真結果顯示，所采取的控制方法能有效估計并克服機構摩擦干擾，提高了機構的控制精度，而且驅動力沒有出現抖振現象。

3-UPS/PU并聯機構；關節摩擦；動力學模型；自適應滑模；模糊邏輯

0 引言

少自由度并聯機構因精度高、結構簡單、成本低的優點受到廣泛關注。本文的研究對象3-UPS/PU并聯機構具有動平臺位姿檢測方便、機架尺寸小、剛度大、實現點位能力強的特點，這為其應用在切削加工或裝配等領域提供了可行性。軌跡控制對于并聯機構的應用非常重要，基于機構動力學模型的控制方法考慮到機構的動態特性，可有效提高運動精度。制約該方法的主要問題是機構模型存在不確定性，而關節摩擦是導致該問題的重要因素，尤其是當3-UPS/PU并聯機構的關節換向時會導致摩擦力出現正負突變現象，造成系統跟蹤發生畸變，嚴重影響控制品質，因此研究如何抑制3-UPS/PU并聯機構摩擦突變對控制的影響具有重要意義。通常針對摩擦的控制方法是基于摩擦模型的補償控制，分為固定模型補償和自適應補償。固定模型補償在模型參數的優化選擇上存在困難；自適應補償的參數通過線性迭代估計確定[1]，比如文獻[2-3]將摩擦模型作線性參數化處理再通過自適應律在線辨識模型參數，文獻[4]基于LuGre模型設計觀測器進行補償。但摩擦模型還沒有一個統一的標準，無法確定哪個模型更適合，因此依賴于某個摩擦模型來設計控制律有一定的局限性。在機器人領域廣泛應用的滑?？刂?sliding mode control，SMC)[5-6]由于具備實現簡單、對擾動不敏感的特點，也被用于抑制機構關節摩擦干擾[7]。近年來更為流行的是通過智能算法如模糊[8-10]、神經網絡[11]、模糊神經網絡[12]等技術對機器人關節摩擦進行在線逼近。文獻[8]利用模糊系統的非線性函數逼近性能來辨識摩擦，但控制律中存在獲取不確定的界的問題。文獻[12]采用模糊神經網絡來辨識機器人的關節摩擦，但參數的取值與計算過程比較繁瑣。以上文獻都只給出了速度穩態時的控制效果，沒有說明關節過零速時摩擦突變現象對機器人控制精度的影響，對此文獻[13]采用常規觀測器來補償單自由度伺服系統過零速時摩擦滯-滑現象，但在并聯機構控制方面考慮摩擦突變影響的研究文獻目前還很少。

本文考慮了3-UPS/PU并聯機構所有移動副的摩擦力影響，推導出了系統數學模型，以滑?？刂茷楹诵?，對比分析了常規滑?？刂坪妥赃m應滑模控制(adaptive sliding mode control，ASMC)的效果，并設計了一種模糊自適應滑?？刂?fuzzy adaptive sliding mode control，FASMC)方法。

1 3-UPS/PU并聯機構

1.1 結構與自由度

如圖1所示，3-UPS/PU并聯機構的基座和動平臺之間由3條UPS驅動支鏈和1條PU從動支鏈連接，基座、動平臺上3個鉸點均為正三角形布置。在基座中心o建立靜坐標系oxyz。驅動支鏈由基座虎克鉸、缸體、移動副、推桿和球鉸組成，缸體上由伺服電機帶動滾珠絲杠，再驅動推桿伸縮，從而驅使動平臺運動。PU從動支鏈起到約束作用，位于基座中心并垂直于基座，在其約束下，動平臺只有3個自由度：繞著從動虎克鉸(下文均用Uc表示)的動軸、定軸轉動，分別用歐拉角α、β表示；動平臺的o′點與Uc中心重合，并隨從動支鏈沿z軸平動，用h表示o和o′之間距離。另外動平臺平面中心m與Uc之間加長一段距離以擴大動平臺的工作空間。

1.虎克鉸 2.缸體 3.移動副 4.推桿 5.球鉸6.動平臺 7.基座圖1 3-UPS/PU并聯機構簡圖Fig.1 Diagram of 3-UPS/PU parallel mechanism

1.2 動平臺位姿的檢測

從動支鏈的并聯機構由于動平臺位姿檢測困難，更多采用關節空間控制，但因此忽略了機構的耦合特性而影響控制效果，相比之下該機構采用PU從動支鏈的優點是動平臺(即末端操作器)的位姿檢測比較方便，無需運動學正解，更容易實現工作空間的閉環控制，其中動平臺姿態參數可通過編碼器檢測從動虎克鉸Uc的轉角得到，在從動支鏈移動副安裝光柵尺可檢測動平臺o′點沿z軸的位移參數，與使用陀螺儀、視覺技術等復雜軟硬件相比，要更加簡便，有利于該機構的推廣應用和實現精密控制。

2 系統數學模型

2.1 機構雅可比矩陣

在靜坐標系oxyz下推導并聯機構各桿件的速度雅可比矩陣。將動平臺的位姿參數作為系統廣義坐標，記為q=(α,β,h)T。

動平臺角速度為

(1)

以下以某條驅動支鏈為例來說明機構運動學，故變量中暫不出現下標?；趧悠脚_的運動可得到球鉸中心的速度：

(2)

式中,vS為動平臺o′點沿z軸升降速度；n為Uc中心指向球鉸中心的矢量;JS為球鉸中心速度雅可比矩陣。

將vS投影到驅動支鏈軸向，得到驅動速度:

(3)

式中,c為沿驅動支鏈軸向的單位向量；JL為驅動速度雅可比矩陣對應第i條驅動支鏈的行向量。

驅動支鏈繞基座虎克鉸轉動，推桿還可沿其軸向伸縮，則基于驅動支鏈的運動可得出球鉸中心的速度：

(4)

式中,ω為驅動支鏈角速度；l為驅動支鏈長度。

式(4)兩邊同時叉乘，經整理得

(5)

式中,Jω為驅動支鏈角速度雅可比矩陣。

推桿質心速度為

(6)

式中,ru為推桿質心到球鉸中心的距離;Ju為推桿質心線速度雅可比矩陣。

2.2 機構動力學模型

常用的機構動力學建模方法有虛功原理法[14]、牛頓-歐拉法[15]、拉格朗日法[16]，其中虛功原理法只需分析系統主動力，不必考慮關節約束反力，推導過程簡明，以下基于虛功原理建立3-UPS/PU并聯機構的動力學模型。由虛功原理可知，機構所受主動力做的虛功之和為零，各主動力包括各桿件的慣性力(矩)、重力(矩)、作用在推桿上的驅動力、動平臺所受負載和關節摩擦，在此考慮從動支鏈和各驅動支鏈移動副的摩擦。因此有

Wd+Wl+Wp+Wo=0

(7)

式中，Wl、Wu、Wp、Wo分別為缸體、推桿、從動支鏈、動平臺上的主動力做的虛功。

根據各桿件的運動、受力情況分別計算虛功：

(8)

(9)

(10)

(11)

δl=JLδqδφ=Jωδqδφ=Jpδqδu=Juδq

z=(0,0,1)T

式中，下標i表示第i條驅動支鏈，i=1,2,3；δq為廣義坐標的虛位移；δl為推桿沿其軸向的虛位移；δθ為驅動支鏈繞基座虎克鉸轉動的虛位移；δφ為動平臺繞從動虎克鉸Uc轉動的虛位移；δφ為推桿質心在空間平動的虛位移；τ為螺母作用在推桿軸向的驅動力；FE∈R3×1為作用在動平臺位姿方向的廣義負載；md、ml、mp、mo分別為缸體、推桿、動平臺、從動支鏈的質量；g為重力加速度；al為推桿沿軸向的線加速度；Rn為從Uc指向動平臺質心的矢量；Rd為基座虎克鉸中心指向缸體質心的矢量；Ed、El、Ep分別為缸體、推桿、動平臺的慣性力矩;Id為缸體關于基座虎克鉸中心的慣性張量;Il為推桿關于其質心的慣性張量;Ip為動平臺關于o′點的慣性張量；fl、fo分別為驅動支鏈、從動支鏈移動副摩擦力。

相比傳統的靜態摩擦模型，LuGre摩擦模型由于考慮了動態特性，模擬精度高，將其引入并聯機構，可以更真實地模擬系統的摩擦環節，對機構的高精度控制具有重要的意義。該摩擦模型可表示為

(12)

將式(8)～式(11)代入式(7)，各雅可比矩陣JL、Jω、Jp、Ju已在2.1節中推導得到，再消去δqT，最后整理得到3-UPS/PU機構關于廣義坐標的動力學模型：

(13)

式中,M∈R3×3為系統慣性矩陣，對稱正定且有界；C為向心力和科氏力系數矩陣；G為重力項；f為廣義坐標下的各移動副摩擦力；FE∈R3×1為作用在動平臺位姿方向的廣義負載；τ為驅動力，τ=(τ1,τ2,τ3)T；J為力雅可比矩陣。

3 控制方法

本文以滑模控制作為基本控制方法并加以展開，控制目標是有效抑制3-UPS/PU并聯機構摩擦、負載等干擾因素，使得機構動平臺的實際軌跡能準確跟蹤期望軌跡，并保持系統穩定。

3.1 滑模面

(14)

為使系統的跟蹤誤差在有限時間內收斂，定義Terminal滑模面[17]：

(15)

式中,λ∈R3×3是正定陣；a、b均為正奇數，ab。

設定輔助控制量：

(16)

(17)

為解決該問題，采用線性滑模面和Terminal滑模面結合的方法，由于控制律奇異性是誤差e為零造成的，當e接近于零時，采用線性滑模面，以避免控制系統奇異性；當e較大時，則采用Terminal滑模面，以加快控制誤差的收斂速度。因此將滑模面設計為復合型滑模面：

(18)

i=1,2,3

3.2 模型不確定性

考慮機構的物理參數誤差、摩擦力和外負載之后，式(13)又可以表示為

(19)

式中,下標0表示由實測參數得到的模型名義值；下標Δ表示參數測量誤差所致的建模誤差。

將模型參數誤差、未知的摩擦和負載集中起來作為總的不確定項，記為d，即

(20)

式中,d的第i個分量|di|≤bi，bi>0是上界值，i=1,2,3。

3.3 常規滑?？刂?/p>

4）胸骨固定的鋼絲以及一些特殊設計的、記憶合金的胸骨柄固定器：胸骨固定鋼絲是鋼制的，但胸骨固定以后，是非常牢固的，不易發生移位，因此1.5T以下磁共振檢查是安全的。特殊類型的胸骨柄固定器，大多都是鈦金屬制造，所以磁共振檢查不受限制。

SMC根據滑模面的正負狀態進行來回切換以實現對不確定項d的抑制。控制律如下：

τ=J-T(F0-Ks-ρsgns)

(21)

為減弱滑模面切換造成的控制輸入抖振，采用飽和函數替代式(21)中的符號函數，即

(22)

i=1,2,3

式中，ε為邊界層厚度，ε>0。

從圖2可看出，常規Terminal滑模控制存在驅動力抖振現象，雖然已經采用飽和函數減緩滑模面正負切換帶來的抖振，但是當機構的移動副過零速導致摩擦突變時，驅動力還是會發生嚴重的抖振，這會降低驅動電機的使用壽命，因此該方法不利于實際應用。

(a)驅動桿1的驅動力

(b)驅動桿2的驅動力

(c)驅動桿3的驅動力圖2 SMC驅動力曲線Fig.2 Curve of driving force with SMC

3.4 自適應滑模控制

式(21)的滑?？刂菩枰獪蚀_預估不確定d的上界以滿足穩定性，但在實際應用中由于工況的多變性與不可測性，d的上界值很難預先確定，另外驅動力抖振也制約了該方法的應用。自適應滑?？刂朴捎诳梢詫ο到y建模誤差及擾動因素進行實時估計，從而省去了切換控制，是處理驅動力抖振問題的有效方法。自適應滑模控制律如下:

(23)

考慮到d會影響軌跡誤差從而影響滑模面，故從滑模面的變化中可以反映出d的信息，由李雅普諾夫函數推導可以得出自適應律[18]。此處對于d的每個分量di分別給定如下自適應律：

(24)

i=1,2,3

式中，Λi是正的自適應增益。

由于自適應增益取得過大會造成控制輸入飽和，因此這里的增益大小取為適中且固定。驅動力的仿真計算結果如圖3所示，ASMC可以有效克服常規滑模控制驅動力抖振的問題，說明該控制方法具有可行性?？紤]到動平臺h方向的運動受到各移動副摩擦力突變的影響較大，此處就以h位移的控制誤差曲線為例來說明控制效果。如圖4所示，當摩擦不發生突變時，控制誤差可以穩定在零附近;但是當摩擦力一旦突變，控制誤差會顯著增大，說明ASMC對機構的摩擦突變比較敏感，很難有效地抑制摩擦對機構運動的影響。

圖3 ASMC驅動力曲線Fig.3 Curve of driving force with ASMC

圖4 ASMC位移h的跟蹤誤差Fig.4 Tracking error in h direction with ASMC

3.5 模糊自適應滑模控制

(25)

模糊規則表示為如下if-then形式：

(a)輸入系統

(b)輸出系統圖5 模糊系統的隸屬度函數Fig.5 Membership function of fuzzy system

為考察所提出的控制器的平均性能，在此引入評價指標平均絕對值跟蹤誤差：

表1 模糊規則

圖6 FASMC系統框圖Fig.6 Framework of FASMC system

(26)

式中,Tm為運行時間。

從圖7的驅動力曲線可以看出，驅動力隨時間的變化總體上較為平穩，沒有抖振現象，這是FASMC得以應用的前提條件。從圖8的軌跡跟蹤誤差曲線可以看出，當摩擦突變時，FASMC與ASMC相比，其跟蹤畸變有了明顯改善。表2是兩種控制方法的平均誤差指標eITA的對比，在達到穩定狀態后，采用ASMC時α、β、h的平均跟蹤誤差分別為0.041°、0.042°、0.628 mm，相比之下，采用FASMC時對應的誤差值分別為0.025°、0.023°、0.156 mm，其平均控制精度要比ASMC更高。其原因是FASMC可以更有效地抑制摩擦力突變造成的影響。圖9反映了不確定項d各個分量的逼近值與實際值的對比，可以看出模糊自適應律可以準確平穩地逼近時變的不確定項d的各個分量。

4 結論

(1)建立了3-UPS/PU并聯機構在其工作空間的動力學模型，為基于模型的控制提供了參考。分析對比了常規Terminal滑模控制和自適應滑?？刂频男Ч?，發現常規滑模控制帶有驅動力抖振問題，而傳統自適應滑?？刂圃跈C構摩擦突變時有跟蹤畸變現象。

(2)在傳統自適應滑?？刂频幕A上做了改進，通過模糊控制器實現了自適應增益的動態調整，可以更精確地估計并補償零速下的摩擦突變問題，提高了系統魯棒性和動態品質。所設計的模糊自適應滑模控制與摩擦模型無關，物理實現簡單，沒有驅動力抖振現象，適用于3-UPS/PU機構這類多輸入多輸出的復雜不確定系統。

圖7 FASMC驅動力曲線Fig.7 Diagram of driving force with FASMC

(a)姿態角α跟蹤誤差

(b)姿態角β跟蹤誤差

(c)位移h跟蹤誤差圖8 FASMC的動平臺軌跡跟蹤誤差Fig.8 Tracking error of platform with FASMC

姿態角α(°)姿態角β(°)位移h(mm)ASMC0.0410.0420.628FASMC0.0250.0230.156

(a)不確定項分量d1

(b)不確定項分量d2

(c)不確定項分量d3圖9 不確定項d的估計值與實際值Fig.9 Estimation value and actual value of uncertainty d

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(編輯 王旻玥)

Adaptive Fuzzy Sliding Mode Control of 3-UPS/PU Parallel Mechanisms Including Joint Frictions

ZHANG Da YUAN Daning LIU Hongzhao

School of Mechanical and Precision Instrument Engineering,Xi’an University of Technology,Xi’an,710048

In order to overcome the tracking aberration caused by joint friction mutations of a 3-UPS/PU parallel mechanism, a fuzzy adaptive sliding mode control was proposed. Firstly, dynamics model of the mechanisms with respect to platform workspaces was constructed. Considering the traditional sliding mode control(SMC) had deficiency that driving force chattering and adaptive SMC(ASMC) was sensitive to friction mutations, a fuzzy ASMC(FASMC) was proposed, which might estimate and compensate the model uncertainty including joint friction based on adaptive theory. And the adaptive gains were adjusted dynamically by means of fuzzy logic system. Consequently, FASMC may estimate the frictions more accurately and restrain friction mutations more efficiently compared with ASMC, and the system robustness was improved. This control method did not need to rely on the friction model and had a simple structure, therefore it was suitable for complicated and uncertain systems such as parallel mechanisms. The simulation results show that the proposed control method may estimate and overcome the friction disturbances efficiently and improve the control precision, the chattering problems from driving torque are also resolved.

3-UPS/PU parallel mechanism; joint friction; dynamics model; adaptive sliding mode; fuzzy logic

2016-03-25

國家自然科學基金資助項目(51275404)；陜西高校省級重點實驗室科研項目(2010JS080)

TH212；TH213.3

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.04.003

張 達，男，1990年生。西安理工大學機械與精密儀器工程學院碩士研究生。主要研究方向為并聯機構動力學建模及控制。E-mail：1837099973@qq.com。原大寧，女，1957年生。西安理工大學機械與精密儀器工程學院教授。劉宏昭，男，1954年生。西安理工大學機械與精密儀器工程學院教授、博士研究生導師。