高速轉子分布式不平衡量無試重識別方法

章 云， 胡振邦， 梅雪松

(1.西安電子科技大學 機電工程學院，西安 710071； 2.西安交通大學 機械制造系統工程國家重點實驗室，西安 710049)

高速轉子分布式不平衡量無試重識別方法

章 云1， 胡振邦2， 梅雪松2

(1.西安電子科技大學 機電工程學院，西安 710071； 2.西安交通大學 機械制造系統工程國家重點實驗室，西安 710049)

為有效抑制分布式不平衡量所導致的轉子故障振動，提出一種高速轉子分布式不平衡量識別方法，該求解方法無需試重，且振動測試過程可在低于臨界轉速下進行。通過擴展影響系數動平衡方法與轉子動力學模型的比較分析，得出了動力學傳遞函數與影響系數之間的關聯關系。基于有限元動力學模型結點，實現了分布式不平衡具體描述，通過增加振動測試轉速的方式，實現了動力學傳遞函數矩陣的滿秩，進而給出了分布式不平衡量的求解公式,并在轉子動平衡實驗平臺上進行了實例驗證。結果表明,按該方法識別的不平衡量進行配重校正后，轉子臨界轉速前后殘余振動比動平衡前降幅非常明顯，驗證了該方法所識別不平衡量的準確性。

高速轉子；分布式不平衡；不平衡識別；無試重

旋轉設備的振動狀況是評估設備運行健康狀態的重要參數。當轉子處于高速旋轉狀態時，即使微弱不平衡量也會引起轉子撓曲和內應力，導致轉子劇烈振動，直接影響加工質量、甚至對轉子自身組件造成破壞[1]。由于制造、安裝誤差以及材料的不均勻，轉子不平衡故障必然存在。因此，如何控制轉子不平衡振動是旋轉機械使用過程中最為關鍵的問題之一[2]。

動平衡是典型的已知輸出求解輸入的逆問題，其實施過程中通常要進行多次啟停車、試重，以獲取轉子影響系數、敏感因子等特性響應參數。然而，試重意味著自動化環節的中斷，并且錯誤的試重更會使旋轉機械運轉狀態急劇惡化。能否通過最少的試重次數實現轉子的高效、平穩運行，是衡量現場動平衡方法的一個重要指標。如果試重選擇得當，可以實現“試重即配重”的效果，無試重平衡方法[3-5]正是立足于這一思路而提出。

對于典型的質量呈集中分布的轉子，如離心壓縮機、發電機組、航空發動機轉子等，其不平衡質量一般位于葉輪、風漿等特定的質量集中截面。然而，并非所有轉子都屬于這一類型，如機床主軸轉子，其質量分布較為均勻，其不平衡狀態假定為沿軸向呈連續空間分布更為合理。實質上，按照集中質量模型處理連續分布質量轉子，可以識別出等效集中不平衡量[6]，并在當前轉速下取得平衡效果，但若轉速發生變化，此時仍用上一轉速下識別的等效集中不平衡量為配重依據，將起不到良好的平衡效果。此外，無試重平衡方法通常需要運行在臨界轉速或臨界轉速附近獲取振動模態信息，這給現場實施帶來一定的風險。

為解決這一問題，通過有限元結點描述分布式不平衡量，并基于擴展影響系數動平衡方法與轉子動力學模型，提出一種僅需在低于臨界轉速下采集不平衡振動數據的分布式不平衡量無試重識別方法，進而通過實驗驗證其有效性。

1 擴展影響系數動平衡方法

假設在K個校正面施加校正量抑制J個測振點的振動，則施加校正配重量之后，轉子振動須要滿足以下關系式[7]

Vj+TjkWk=0

(1)

式中:Tjk(j=1,2,…,J;k=1,2,…,K)為在第k個校正面施加單位校正量對第j個測點的影響系數；Vj為第j個測點的振動響應；Wk為第k個校正面所加校正質量。

式(1)中，若振動測點數J小于校正面數量K時，方程將有無窮解，需要增加式(1)的行數，使得影響系數矩陣滿秩。為此，可增加平衡轉速的數目，確保在各個轉速下轉子振動被抑制。假設平衡轉速數為U，式(1)可擴展為

V+TW=0

(2)

式中:W={W1,W2,…,WK}T∈K為校正矢量序列;V={(VΩ1)T,(VΩ2)T,…,(VΩU)T}T∈JU為不平衡振動響應序列，VΩu∈J為Ωu(u=1,2,…,U)轉速下振動響應序列；T={(TΩ1)T,(TΩ2)T,…,(TΩU)T}T∈JU×K，TΩu∈JK為Ωu轉速下影響系數矩陣。

顯然，只有當JU=K時，式(1)才有唯一解。

2 動力學傳遞函數與影響系數關聯分析

對于具有N個結點，其間用N-1個軸段連接而成的轉子系統，可分別對各單元進行分析，建立該單元結點力與結點位移間的關系[8]。當轉子具有偏心的不平衡質量時，以結點位移為廣義坐標的轉子系統動力學微分方程式(3)所示

(3)

式中:Q={m1ε1eiα1,m2ε2eiα2, …,mNεNeiαN}T∈N為不平衡激勵序列；δ∈N為不平衡響應；M∈N×N為質量矩陣；G∈N×N為陀螺效應矩陣；K∈N×N為剛度矩陣。

設不平衡響應特解為δ=AeiΩt，其中A={a1eiφ1,a2eiφ2, …,aNeiφN}T∈N，將之代入式(3)，并令B=Ω2[-Ω2M+Ω2G+K]-1，可得

(4)

為便于表述，設定式(4)中與第k個校正面、第j個測量面對應的有限元模型結點編號仍分別為k、j，若第k個結點的不平衡量為Qk，第j個結點的響應為Aj，則有

(5)

式中，ψkj(ω)為振動響應Aj(ω)落后于外部不平衡激勵Qk(ω)的滯后角。

同理，若式(1)在第k個校正面有配重Wk，第j個測量面的響應為Vj，則有

(6)

式中:θkj為積分常數，它與轉子初始條件相關;Πkj為鑒相點到不平衡位置角度。

式(5)與式(6)中，Aj和Vj都是振動響應；Wk是用于校正不平衡量的配重，其與不平衡激勵Qk是反相關系；θkj、Πkj則與機械滯后角為ψkj有如下關系恒成立[9]

θkj-Πkj=-ψkj

(7)

由此，可以認為式(5)及式(6)右端等效，且兩者幅值相等，相位相反。

3 基于動力學傳遞函數的分布式不平衡識別

為實現對連續分布式不平衡量的完整識別，需要對不平衡偏心曲線進行描述，學者們通過傅立葉級數展開[10]、高次多項式[11]等方式進行了嘗試。實質上，如果識別的不平衡截面足夠多，也能滿足連續分布不平衡量的描述需要，在式(1)中，每個平衡校正面可視為一個不平衡量的識別面，即K足夠大時，能夠實現分布式不平衡的完整描述，但要使式(1)有解，需要增加測點J的數量，或者增加式(2)中平衡轉速數U的數量。然而，在工程實際中測點布置及平衡轉速都是有限制的，難以滿足求解條件。

從式(7)可知，影響系數矩陣與動力學傳遞矩陣是等效的，由此，可以將擴展影響系數動平衡方法與動力學行為結合，將主軸轉子的連續不平衡力等效到模型中的每個結點上，通過力學分析得出不同轉速下振動與試重之間的關聯關系，實現分布式不平衡量的完整求解。

通過式(3)可得

(8)

式中，IN∈N×N為單位對角矩陣。

在工業現場，受傳感器布置條件的限制，僅能獲得J個結點處的轉子振動響應數據。為此，需增加平衡轉速的數目U為N/J，使Q可解，則可將式(8)擴展及變形為

(9)

值得關注的是，盡管采用式(2)所表述的增加轉速數量的方法，可以使得方程滿秩，但由于其僅僅是簡單的振動等效原理，所求解的不是真正物理位置上的不平衡量，按該公式進行動平衡也僅能保證測振點的振動被抑制。而通過式(9)所求解的是真正物理意義的不平衡量，平衡配重后轉子各結點上的振動將被完全抑制，而不隨轉速等外部條件的改變而改變。

4 實例驗證與分析

為驗證不平衡識別方法的有效性，在轉子實驗平臺上設計實驗方案，平臺設置兩個振動測試點模擬工業現場測振布置，轉軸上采用四個不平衡激勵點模擬分布式不平衡，實驗現場如圖1所示。

圖1 柔性轉子動平衡實驗現場Fig.1 Dynamic balancing experiment of flexible rotor

為體現不平衡分布差異性，分別采用直徑為75 mm的鋼、鋁制質量盤，以及兩個直徑為50 mm的鋁制質量盤構建轉軸。為測試該轉軸模態特性，對其進行試驗模態分析，通過力錘在質量盤上施加沖擊信號，通過加速度傳感器同步采集獲取振動響應，進而根據輸入輸出信號可得轉軸傳遞函數幅頻特性如圖2所示。

圖2 轉軸傳遞函數幅頻特性Fig.2 Amplitude-frequency characteristics of the transfer function

將圖1所示平臺旋轉部分歸類為彈性軸段、質量圓盤以及支承軸承單元，分別建立各單元微分方程，并在N-1個軸段上按節點順序對各單元方程進行綜合，可得到如式(3)所示的系統動力學微分方程，對該式的齊次式進行求解，可得轉子第一、二階臨界共振頻率分別為29.97 Hz、143.2 Hz，與圖2所示結果對比可知，所構建系統模型精度是可信的。

由于振動測點數量小于不平衡結點數量，需要擴展動平衡轉速使式(9)中的系數矩陣滿秩，實驗中轉速分別設置為1 200 r/min和1 600 r/min。根據兩個轉速下采集的振動數據可構建式(9)中的向量A，根據動力學模型可構建式(9)中的Ψ矩陣，進而對式(9)進行求解可得到四個質量盤所在結點的識別不平量如表1所示。

按表1識別結果在質量盤上反向安裝配重螺釘，運行后可得不平衡振動如圖3所示。

由圖3可知，經動平衡配重后，轉子一階臨界處振動被有效抑制，振幅從379.5 μm降至63.19 μm，臨界轉速前后殘余振動也比動平衡前降幅非常明顯，表現出良好的動平衡效果，證明了不平衡量識別的準確性。此外，測試轉速越高，轉子振動越接近臨界，采集到的轉子振動特性也將越明顯；而轉速間隔增量越大，式(9)中的矩陣各行元素就越不容易出現病態，這在一定程度上都能提高不平衡識別精度。

表1 識別不平衡量

圖3 動平衡前后不平衡振動Fig.3 Vibration response before and after dynamic balancing

圖3中動平衡后殘余振動仍然存在。究其原因，主要在于動平衡精度受到最小平衡配重螺釘質量導致的配重精度偏差、轉軸自身存在的彎曲等非失衡故障、加工裝配精度以及模型構建偏差等因素影響。

5 結 論

為有效抑制轉子分布式不平衡量所致的故障振動，本文提出了一種高速轉子分布式不平衡量識別方法，并基于轉子平臺實例驗證了該識別方法的有效性，主要結論如下：

(1)通過對比分析動力學傳遞函數與影響系數，確定了兩者幅值相等，相位相反的關聯關系。

(2)提出了一種通過有限元動力學模型結點表征分布式不平衡量的描述方式。

(3)通過增加測試轉速數量，可使動力學傳遞函數矩陣滿秩，實現分布式不平衡量解析。

(4)該分布式不平衡量識別方法無需試重，且僅需在低于臨界轉速時采集振動數據。

在工程應用時，可以根據需要選擇合適數量的不平衡量表征結點以及測振結點。對于明確不存在不平衡量的截面，可以在求解過程中略去，以減小求解方程的維數；測振點布置空間較寬裕時，可以適當增加測振點，以減少振動測試的次數。此外，轉子工作轉速越高，則多次測振對應的轉速之間可設置的間隔空間越大，所構建的不平衡量求解方程矩陣越不易呈現病態。因此，該方法更適用于高速轉子的動平衡。

[ 1 ] ZHOU S, SHI J. Active balancing and vibration control of rotating machinery: a survey[J]. The Shock and Vibration Digest, 2001,33(4):361-371.

[ 2 ] 章云, 梅雪松, 鄒冬林, 等. 應用模態分析及傅里葉變換的柔性轉子無試重動平衡方法[J]. 振動與沖擊, 2012,31(11):7-10. ZHANG Yun, MEI Xuesong, ZOU Donglin, et al. A field balancing method of flexible rotors based on modal analysis and fourier transform[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(11):7-10.

[ 3 ] EL-SHAFEI A, EL-KABBANY A S, YOUNAN A A. Rotor balancing without trial weights[J]. Journal of Engineering for Gas Turbines and Power, 2004,126(3):604-609.

[ 4 ] RAMLAU R, NIEBSCH J. Imbalance estimation without test masses for wind turbines[J]. Journal of Solar Energy Engineering, 2009,131(1):284-289.

[ 5 ] 王維民, 高金吉, 江志農, 等. 旋轉機械無試重現場動平衡原理與應用[J]. 振動與沖擊, 2010,29(2):212-215. WANG Weimin, GAO Jinji, JIANG Zhinong, et al. Principle and application of no trial weight field balancing for a rotating machinery [J]. Journal of Vibration and Shock, 2010,29(2):212-215.

[ 6 ] 章云, 梅雪松, 鄒冬林, 等. 應用動力學模型的高速主軸無試重動平衡方法[J]. 西安交通大學學報, 2011, 45(7): 34-37. ZHANG Yun, MEI Xuesong, ZOU Donglin, et al. Model-based balancing method for high-speed machine tool spindle without trial weights[J]. Journal of Xi’an Jiaotong University, 2011,45(7): 34-37.

[ 7 ] ZHOU S Y, DYER S W, SHIN K K, et al. Extended influence coefficient method for rotor active balancing during acceleration[J]. Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 2004,126(1):219-223.

[ 8 ] 鐘一諤, 何衍宗, 王正, 等. 轉子動力學[M]. 北京: 清華大學出版社, 1987.

[ 9 ] ZHANG Y, MEI X, SHAO M, et al. An improved holospectrum-based balancing method for rotor systems with anisotropic stiffness[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science, 2013,227(2):246-260.

[10] SHIN Y, LEE A. Identification of the unbalance distribution in flexible rotors[J]. International Journal of Mechanical Sciences, 1997,39(7):841-857.

[11] YANG T, LIN C. Estimation of distributed unbalance of rotors[J]. Journal of Engineering for Gas Turbines and Power, 2002,124(4):976-983.

An identification method of distributed imbalance without trial weights for high speed rotors

ZHANGYun1，HUZhenbang2，MEIXuesong2

(1. School of Mechano-electronic Engineering, Xidian University, Xi’an 710071, China; 2. State Key Laboratory for Manufacturing Systems Engineering,Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

To avoid the vibration induced by distributed imbalance, an identification method without trial weights of distributed imbalance for high speed rotors, which only need to collect vibration data below the first critical speed, is presented. First, the relationship between the dynamics transfer function and the influence coefficients was identified based on the dynamics analysis and the extended influence coefficients principle. Second, the mass eccentricity curve of distributed unbalance was described by the nodes in finite element model, and then, a formula to solve the distributed unbalance imposing on each finite element model node was derived from the full rank of dynamics transfer matrix, which was obtained by increasing the speed. Finally, the experiment analysis was performed on a flexible rotor test rig, and the results demonstrated that the magnitude of the vibration during the first order critical speed was reduced significantly after adding the correcting weights, which implied that the distributed unbalance could be identified accurately by the proposed method.

high speed rotors; distributed imbalance; imbalance identification; without trial weights

國家自然科學基金項目(51305324);中央高校基本科研業務費專項資金(JB140408)

2015-11-11 修改稿收到日期：2016-01-27

章云 男，博士，講師，1983年8月生

TH113.25

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.04.005